數(shù)學(xué)必修5教案

1.1.1正弦定理

設(shè)計(jì)人：董玉梅

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正

弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生

通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索

數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)

事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

?教學(xué)過程

課題導(dǎo)入

如圖1.1-1,固定使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。人

思考：NC的大小與它的對(duì)邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對(duì)角NC的大小的增大而增大。\

能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？cN_________A

講授新課B

［探索研究］

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如

圖，在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，

有色=sin力，—=sinff,XsinC=1=—,

則=

sinJsir\Bsin。

b=c

從而在直角三角形ABC中'品

sinBsinC

思考1：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（山學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,（1）當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,

有CD=asin5=Z?sinJ,則：，二?..

sin/sinz>

同理可得品b

six\B

ab_c

從而

sinlsinBsin。

（2）當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

思考2：還有其方法嗎？

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作單位向量］_1_萬，由向量的加法可得~AB=JC+CB

則j.AB=j\AC+CB)

C

：.J-AB=J-AC+J-CB/\

同網(wǎng)cos(90。一止0+M詞cosM-C)A4-----------'

csinA=asinC,UPj

smAsine

同理，過點(diǎn)c作7,而，可得，=今從而二~；=~^=「^

sinBsinCsmAsinBsmC

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

sin/sin/?smc

［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，

口［I存在正數(shù)k使己=Asin］，b=ksiwB,c=ksinC；

(2)3=上=上等價(jià)于1-=上，—二上,3

sinJsin夕sinCsinJsin方sin。sinBsin力sin。

思考：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如

sinz)

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sin/l=gsin6。

b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在AA8C中，已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°；

asinB_42.9sin81.8"

根據(jù)正弦定理,7-sinA~sin32.0°^80.l(c〃?)；

根據(jù)正弦定理，C=絲(=名粵軍:74.1(5).

sinAsin32.0°

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

練習(xí)：在AA8C中，已知下列條件解三角形。

(1)A=45°,C=30°,c=10c/n,(2)A=60,B=45°,c=20cm

例2.在AABC中，已知a=20cm,匕=28cm,4=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理，

sin8=史巴4=空空黑=0.8999.因?yàn)?°V3<180°,所以8=64°,或8T16°

a20

(1)當(dāng)3=64°時(shí)，C=180°-(4+B)=180°-(40°+64°)=76<),。=鬻苧=刈鬻￡=30(，優(yōu)).

(2)當(dāng)3-116°時(shí)，C=180°-(A+8)=180°-(40°+116°)=24°,c=鬻苧=個(gè)票=13億優(yōu)).

應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

課堂練習(xí)

第4頁練習(xí)第2題。

思考題：在AABC中，「勺==「空=—三=瓜左＞。)，這個(gè)k與△ABC有什么關(guān)系？

sinJsin6sine

三.課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié))

a_b_ca+b+c

(1)定理的表示形式:=k(k>0)

sin4sin5sinCsin/+sin6+sinC

或a=4sin4,b=ksix\B,c-ksinC(A>0)

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

四.課后作業(yè)：P10面1、2題。

1.1.2余弦定理

設(shè)計(jì)人：董玉梅

(-)教學(xué)目標(biāo)

1.掌B握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法,

2.并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

(-)教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

(三)教學(xué)過程

提出問題：1、知道三角形的三邊如何解三角形？

2、知道兩邊及其夾角如何解三角形？

3、余弦定理是什么？

課堂討論：.

如圖，在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求邊c

得出結(jié)論：余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余

弦的積的兩倍。即a2-b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2-a2+bz-2abcosC

從余弦定理，又可得到以下推論：cos4=；；cosC=々H

〃2噌bc-"2ac2ba

定理理解：余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊：

②已知三角形的三條邊就可以求.出其它角

例題講解：

例1.在△ABC中，已知a=26,,c=次+/,8=45°,求b及A

例2.在△ABC中，8=3,，=3百,3=30°,求4,。和。.

拔高練習(xí).：在△ABC中，若a2=〃+c2+6c,求角A。

［課堂小結(jié)］

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦淀理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

課后思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平

方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

1.2解三角形應(yīng)用舉例第一課時(shí)

設(shè)計(jì)人：董玉梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常用的測

量相關(guān)術(shù)語

2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題

意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖

三、教學(xué)設(shè)想

1、復(fù)習(xí)舊知

復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、設(shè)置情境

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及

的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，

是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇

的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，

但山于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三

角形的方法來測量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。

今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的.重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。

3、新課講授

（1）解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求

轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

（2）例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸

邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離是55m,ZBAC=51°,ZACB=75%求A、B兩點(diǎn)的距離（精確到0.Im）

圖1.2-1

提問1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊

AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦

定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得.至=-

sinZACBsinZABC

AB=ACsinZ4c8=55sinZAC8二55sin75°二55sin750比gg7（m）

sinZABCsinZABCsin（l8（F-510-75°）sin54°

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,燈塔B

在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少?

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：V2akm

例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所

以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分

別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

A------------------------------------------B

圖1.2-2

解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)c、D,測得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測得NBCA=a,

ZACD=p,ZCDB=y,ZBDA=S,在AADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC=?sin(7+(y)=“sin(7+b)

sin[i8(T—(夕+7+力]sin(￡+y+力

Be=asin/二asin/

sin。80P—(a+/7+”］sin(a+/?+y)

計(jì)算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練:若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn),測得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,ZBDA=60

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

評(píng)注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù),

如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。

4、學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

5、課堂練習(xí)：課本第14頁練習(xí)第1、2題

6,歸納總結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜

三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

四、課后作業(yè)

1.2解三角形應(yīng)用舉例第二課時(shí)

設(shè)計(jì)人：董玉梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測量的問題

2、鞏固深化解三角形實(shí)際問題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。

3、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)際測量工具，解決生活中的測量高度問題

難點(diǎn)：能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件

三、教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

提問：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量

飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題

II.講授新課

［范例講解］

例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)?種測量建筑物高度AB的方

法。

圖1.2-4

分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在AACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA,再測出由C點(diǎn)

觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角

分別是a、#,CD=a,測角儀器的高是h,那么，在AACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=。sin-AB=AE+h=ACsina+h—sinasin.+h

sin(a-/?)sin(a—6)

例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角a=54°40',在塔底C處測得A處的俯角,=50°1'。

已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？

若在AABD中求CD,則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)/BAD=a求得。

解:在AABC中,NBCA=90°+夕，NABC=90--a,

ZBAC=a-,NBAD=a.根據(jù)正弦定理，

sinQ--

AB

sin(90°+p)

所以AB/Csin(9O°+0-8或。鈔在RtAABD中，得BD=ABsinNBAD=&c°s.sma

sin(a-〃)sinQ一功sinQ一夕)

/

將測量數(shù)據(jù)代入上式，得BD=27.3co/sin5y=27.3cos501sin544(X^n7加)

疝044(/-501)sin43V

CD=BD-BC??177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

思考：有沒有別的解法呢？若在AACD中求CD,可先求出AC。思考如何求出AC?

例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南

15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處,測得此山

B

25*

頂在東偏南25°的方向匕仰角為8°,求此山的高度CD.

思考1：欲求出CD,大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？（在ABCD中）

思考2：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長？（BC邊）

解:在AABC中，ZA=15°,NC=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理，

—=—,BC=-'sin”Q7.4524（km）CD=BCxtanZDBC?=BCxtan8°?=1047（m）

sinAsinCsinC

答：山的高度約為1047米

III.課堂練習(xí)：課本第17頁練習(xí)第1、2、3題

IV.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中

進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?/p>

V.課后作業(yè)

1.2解三角形應(yīng)用舉例第三課時(shí)

設(shè)計(jì)人：董玉梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題

2、通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問題的過程中來，逐

步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

3、培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題

三、教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的

問題。然而在實(shí)際的航海生活中，人們又會(huì)遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷

失方向，保持??定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。

n.講授新課

［范例講解］

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),

沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎

樣的方向航行,需要航行多少距離？（角度精確到0.1°,距離精確到0.Olnmile）

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊

所對(duì)的角NABC,即可用余弦定理算出AC邊，再根

據(jù)正弦定理算HlAC邊和AB邊的夾角NCAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°，根據(jù)余弦定理,

AC=y/AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC=A/67.52+54.02-2x67.5x54.0xcosl37°=113.15

根據(jù)正弦定理，—BC=忙sinZCAB=BCsinZABC=54-0sin137^o.3255,

sinNCABsinZABCAC113.15

所以ZCAB=19.0°,75°-ZCAB=56.0

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1°的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為0,沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測得頂端A的仰

角為26,再繼續(xù)前進(jìn)106m至D點(diǎn)，測得頂端A的仰角為46,求。的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中,

AC=BC=30,AD=DC=10百，ZADC=180°-46,

.10后=30因?yàn)閟in49=2sin26cos26

sin26sin(180-40)

cos26?=—,W2”30°6=15°,.?.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

2

答：所求角6為15°,建筑物高度為15m

解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE=x,AE=h

在RlAACE中，（10石+x）2+h2=302在RtAADEft,x2+h2=(10V3)2

兩式相減，得x=5石，h=15.,.在RtAACE中，tan26=---《---出

10V3+xT

.?.28=30",6=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8,由題意，得

ZBAC=6?,NCAD=28,AC=BC=30m,AD=CD=1073m

Y

在RtAACE中，sin26=—

30

②+①得cos20=——,2ff=30°,6=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10

海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該

沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

個(gè)北

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。

解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

/.（14x）2=92+（lOx）2-2x9x10xcosl20°

Qn

???化簡得32x2-30x-27=0,即x=一，或x二-一（舍去）

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

又因?yàn)閟in/BAC=^Ax叵辿

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'（鈍角不合題意,舍去），

.?.38°13'+45。=83°13'

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13'方向去追，經(jīng)過1.4小時(shí)才追趕上該走私船.

評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必

須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

III.課堂練習(xí)

課本第16頁練習(xí)

IV.課時(shí)小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：

(1)己知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或兒個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步

在其余的三角形中求出問題的解。

V.課后作業(yè)

1.2解三角形應(yīng)用舉例第四課時(shí)

設(shè)計(jì)人：董玉梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題，掌握三角形的面積公式

的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用

2、本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸

進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓

學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。

只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。

3、讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)

現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目

難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題

三、教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在

△ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h.、般、hc,那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

生：ha=bsinC=csinBhfc=csinA=asinChc.=asinB=bsinaA

師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=」ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h〃=bsinC代入，可以推導(dǎo)

2

出下面的三角形面積公式，S=iabsinC,大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

IL講授新課

［范例講解］

例1、在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.IcY)

(1)已知a=14cm,c=24cm,B=150°;

(2)已知B=60°,045°,b=4cm;

(3)已知三邊的長分別為a=3cm,b=4cm,c=6cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)

用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。

解：略

例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把?個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個(gè)三

角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）?

思考：你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，

C+i.72+68-882-0.7532

2x127x68

2

sinB=Vl-0.7532=0.6578應(yīng)用S=—acsinB

2

1°

SX68X127x0.6578^2840.38(m2)

2

答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。

變式練習(xí)1：已知在△ABC中，NB=30°,b=6,c=6石，求a及AABC的面積S

提示：解有關(guān)已知兩邊和其中邊對(duì)角的問題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。

答案：a=6,S=9A/3;a=12,S=18石

例3、在AABC中，求證:

八、a2+b2sin2A+sin2B

⑴——；-=-----------；

c2sin2C

（2）a2+b2+C2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，用正弦定理來證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)

=±=，=k顯然k*0,所以

sinAsinBsinC

a2+b2k2sin2A+k2sin2B_sin2A+sin2B

左邊二二右邊

c2fc2sin2Csin2C

（2）根據(jù)余弦定理的推論,

bI2+.c2-a2a2+b2-2

右邊二2（be+ab

2bc2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)2：判斷滿足sinC=SinA+Smg條件的三角形形狀

cosA+cosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（解略）直角三角形

山.課堂練習(xí)課本第18頁練習(xí)第1、2、3題

IV.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察

邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者

混用。

V.課后作業(yè)

2.1數(shù)列的概念與簡單表示法（一）

設(shè)計(jì)人：董玉梅

一、教學(xué)要求：

理解數(shù)列及其有關(guān)概念；了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出

數(shù)列的任意一項(xiàng)；對(duì)于比較簡單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)的特征寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.

二、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)，抽象、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

三、教學(xué)過程：

導(dǎo)入新課

“有人說，大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”“樹木的，。。。。。”，

（一）、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:

i.在必修①課本中，我們?cè)谥v利用二分法求方程的近似解時(shí)，曾跟大家說過這樣一句話：“一尺之梗，

日取其半，萬世不竭”，即如果將初始量看成“1”，取其?半?！?”，再取一半還?！?”.......

24

如此下去，即得到1,--.....................

248

2.生活中的三角形數(shù)、正方形數(shù).閱讀教材

提問：這些數(shù)有什么規(guī)律？與它所表示的圖形的序號(hào)有什么關(guān)系？

（二）、講授新課：

1.教學(xué)數(shù)列及其有關(guān)概念：

（1）三角形數(shù)：1,3,6,10,-

（2）正方形數(shù)：1,4,9,16,-[[]

（2）1,2,3,4......的倒數(shù)排列成的了....一列數(shù)：

（3）：的1次幕，2次幕，3次幕...排列成一列數(shù)：-1,1,-1,1,-1,。。。。。

（4）無窮多個(gè)1排列成的一列數(shù)：1,1,1,1,。。。。。。

有什么共同特點(diǎn)？1.都是一列數(shù)；2.都有一定的順序

①數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一-個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

辯析數(shù)列的概念：（1）“1，2,3,4,5”與“5,4,3,2,1”是同一個(gè)數(shù)列嗎？

與“1,3,2,4,5"呢？------數(shù)列的有序性

（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)嗎？

（3）數(shù)列與集合有什么區(qū)別？

集合講究：無序性、互異性、確定性，數(shù)列講究：有序性、可重復(fù)性、確定性。

②數(shù)列中每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng)，排在第-位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱

為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng).....排在第〃位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第〃項(xiàng).

③數(shù)列的一般形式可以寫成6,外,%,……，簡記為{4}.

④數(shù)列的分類：（1）按項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，

（2）按項(xiàng)之間的大小關(guān)系：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動(dòng)數(shù)列.

⑤數(shù)列中的數(shù)與它的序號(hào)有怎樣的關(guān)系？

序號(hào)可以看作自變量，數(shù)列中的數(shù)可以看作隨著變動(dòng)的量。把數(shù)列看作函數(shù)。

即：數(shù)列可看作?個(gè)定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對(duì)應(yīng)的

一列函數(shù)值。反過來，對(duì)于函數(shù))，=f(x),如果/(i)(i=l、2、3、4)有意義，可以得到

一個(gè)數(shù)列：/(1)\/(2)\/(3)\……

如果數(shù)列｛%｝的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用?個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)

列的通項(xiàng)公式。

函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))

定義域R或R的子集N*或它的子集

解析式

y=an=/(?)

圖象點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合

2.應(yīng)用舉例

例1、寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

(1)1,(2)2,0,2,0.

234

練習(xí)：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

2_6__8_22

⑴3,5,7,9,11,

3'15,35*63z99

(3)0,1,0,1,0,1,……；⑷1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；

(5)2,-6,18,-54,162,........

2345

例2.寫出數(shù)列1,±,二二..…的一個(gè)通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性。

471013

思考：是不是所有的數(shù)列都存在通項(xiàng)公式？根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式是唯一的嗎？

例3.根據(jù)下面數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式，寫出前五項(xiàng)：

n

n

⑴%=-----⑵an=(-l)?n

例4.求數(shù)列卜2/+9〃+3｝中的最大項(xiàng)。

例5.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=log?(〃2+3)—2,求log23是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？

三.小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.

四、鞏固練習(xí)：

例5數(shù)列的概念與簡單表示法(二)

設(shè)計(jì)人：董玉梅

--教學(xué)要求：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)

列的前幾項(xiàng)；理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與a“的關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

三.教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.

四.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)：

1).以下四個(gè)數(shù)中，是數(shù)列｛〃(〃+1)｝中的一項(xiàng)的是(A)

A.380B.39C.32D.18

2).設(shè)數(shù)列為V2,V5,2V2,Vn,...wij4V2是該數(shù)列的(c)

A.第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)

3).數(shù)列1,-2,3,-4,5的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=(-1)向〃.

4)、圖21—5中的三角形稱為希爾賓斯基(Sierpinski)三角形。在下圖4個(gè)三角形中，著色三角形

的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的

圖象。

CD137

二、探究新知

(一)、觀察以下數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式:

(1)1,3,5,7,9,11,an-2n-l

(2)0,-2,-4,-6,%=-2(〃-1)

(3)3,9,27,81,--%=3"

思考：除了用通項(xiàng)公式外，還有什么辦法可以確定這些數(shù)列的每一項(xiàng)？

(1)?)=l,?2=3=l+2=a(+2,a,=5=a2+2,???,??=a?_i+2

(2)at=0,??=a?_,-2

(3)fl1=3,a?=3?n_,

(-)定義：已知數(shù)列｛a,J的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)明與它的前項(xiàng)a,』(或前幾項(xiàng))間的

關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

練習(xí)：運(yùn)用遞推公式確定一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)：

(1)2,5,8,11<"%=2,%+3(n>2)

(2)1,1,2,3,5,8,13,21,。1-1，。2=1，%=%-1+%-2(〃N3)

例1:已知數(shù)歹?%｝的第一項(xiàng)是1,以后的各項(xiàng)由公式%=1+2一給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng).

%-1

解：1,2,|1,|

S“-(n>2)

若記數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)之和為S“，則%=

』(〃=1)

2

練習(xí)：已知數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和為：（1）S“=2/_〃；（2）Sn=n+n+1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

例2已知％=2,a〃+i-4，求.

/、+可以寫出：9=2,%=-2,。3=一6,%=-1°，…，觀察可得:

觀察法

an=2+(n-1)(-4)=2-4(〃-1)

解法二：

由題設(shè)：%+i-%=-4.

aa

n-n-\=-4

an-\~a?-2=-4

an-2-a,,-3=—4

累加法

%一％二-4

相加得:an-a{=-4(/?-1)

an=2—4(〃—1)

例3:已知6=2,%+i=勿“，求明.

解法一：解法二:邃乘法

2由您+i=2%,

ax=2,a2=2x2=2,

23

%=2x2=2,1??,4“=2%_”，即巴^=2

觀察可得：%=2"J

??.J也X幺=2"T

aa

n-\n-2a吁3%

三、課堂小結(jié)：

=a}.2〃T=2〃

1.遞推公式的概念；

2.遞推公式與數(shù)列的通項(xiàng)公式的區(qū)別是:

（1）通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相臨兩項(xiàng)或n項(xiàng)）之間的關(guān)系.

Q）對(duì)于通項(xiàng)公式，只要將公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相應(yīng)的項(xiàng),而遞推公式則要已知首

項(xiàng)（或前n項(xiàng)），才可依次求出其他項(xiàng).

3用遞推公式求通項(xiàng)公式的方法：觀察法、累加法、迭乘法.

四、作業(yè)

2.2等差數(shù)列（一）

設(shè)計(jì)人：董玉梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問題情

境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；

2.過程與方法:讓學(xué)生對(duì)日常生活中實(shí)際問題分析，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列

的概念；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)

公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。

三、教學(xué)設(shè)想

［創(chuàng)設(shè)情景］

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得

比較多的實(shí)際計(jì)算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來解決。今天我們先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。

［探索研究］

由學(xué)生觀察分析并得出答案：

（放投影片）1、在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0,5,

2、2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7

個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48,53,58,63。

3、水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個(gè)

水庫的水位為18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清

理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18,15.5,13,10.5,8,5.5

4,我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利