初三中考總復(fù)習(xí)-圖形變換

初三中考總復(fù)習(xí)——圖形變換西城外國語學(xué)校袁慎鵬圖形變換是對幾何圖形認(rèn)識方法上的一種改變．通過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換達(dá)到復(fù)雜圖形簡單化、一般圖形特殊化，分散條件集中化的目的．從圖形變換的角度思考問題，可以整體把握圖形的性質(zhì)，特別是可以幫助我們從更高的層次理解平行線、截長補(bǔ)短、倍長中線等常用輔助線的作用，使問題解決更加簡潔明確．當(dāng)圖形運(yùn)動變化的時(shí)候，從運(yùn)動變換的角度更容易發(fā)現(xiàn)不變量和特殊圖形．一、《考試說明》的要求：考試內(nèi)容考試要求ABC圖形的變化圖形的平移了解平移的概念；理解平移的基本性質(zhì)．能畫出簡單平面圖形平移后的圖形；能利用平移的性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題．運(yùn)用平移的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題圖形的軸對稱了解軸對稱的概念；理解了解平移的概念；了解軸對稱圖形的概念．能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)；能利用軸對稱的性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題．運(yùn)用軸對稱的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題軸對稱旋轉(zhuǎn)認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)；理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)；理解中心對稱、中心對稱圖形的概念；理解中心對稱的性質(zhì)．能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)圖形；探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)；能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題．運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題變化：1．順序有變化，符合學(xué)生學(xué)習(xí)的順序；2．變換的性質(zhì)比較籠統(tǒng)沒有2014年的說明具體；3．“作圖”變?yōu)椤爱媹D”，畫圖的要求更加具體；4．基本的軸對稱圖形由六個變?yōu)槲鍌€，刪掉了“等腰梯形”；5．C級要求的“解決簡單問題”統(tǒng)一變?yōu)椤敖鉀Q有關(guān)問題”．二、圖形變換在近6年中考中的分布及呈現(xiàn)方式：近6年的中考中，變換在選擇、填空、操作題、第23題、第24題、第25題中都有出現(xiàn)過，主要的考察方式有：辨別軸對稱圖形與中心對稱圖形；通過閱讀理解獲取有效信息，選擇合適的的變換對圖形進(jìn)行重新構(gòu)造從而解決問題；把函數(shù)的圖象進(jìn)行變換，要求發(fā)現(xiàn)平移后的函數(shù)與原函數(shù)之關(guān)系；應(yīng)用變換的思想綜合運(yùn)用幾何知識添加適當(dāng)?shù)妮o助線解決問題．三、復(fù)習(xí)建議：1．基本概念要明晰；平移軸對稱旋轉(zhuǎn)中心對稱圖示性質(zhì)(1)平移前后的圖形全等；(2)對應(yīng)線段平行(或共線)且相等；(3)對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或共線)且相等．(1)關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等；(2)對稱點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分；※(3)對應(yīng)線段所在直線若相交，則交點(diǎn)在對稱軸上．(1)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；(2)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；⑴關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.⑵關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.性質(zhì)簡明圖形性質(zhì)間接概述全等、平行四邊形的性質(zhì)※全等、中垂線、共線全等、等距、等角全等、平分、共點(diǎn)2．復(fù)習(xí)要有淺入深逐層深入，讓各層的學(xué)生都有所收獲．3．對于幾何綜合題的復(fù)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形與變換的角度重新認(rèn)識常見輔助線的添加方法，比如：（1）中點(diǎn)、中線——中心對稱——倍長中線——中位線（2）等腰三角形、角平分線、垂直平分線——軸對稱——截長補(bǔ)短；（3）平行四邊形——平移；（4）正多邊形、共端點(diǎn)的等線段——旋轉(zhuǎn)；4．對于坐標(biāo)系中研究函數(shù)圖象的平移和對稱的問題要引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，把該問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象上點(diǎn)的變換問題，進(jìn)而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上關(guān)鍵點(diǎn)的變換問題．四、第一輪復(fù)習(xí)安排和例題共用三個課時(shí)，第一課時(shí)：三種變換的概念和性質(zhì)的簡單應(yīng)用；第二課時(shí)，作圖和操作問題；第三課時(shí)：綜合.例1（2013北京）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）學(xué)生存在的問題：審題只看見是什么，忽略不是什么；旋轉(zhuǎn)對稱與中心對稱易混淆；怕文字表述的圖形.例2如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2cm，．將△ABC沿AB邊所在直線向右平移，記平移后它的對應(yīng)三角形為△DEF．（1）若將△ABC沿直線AB向右平移3cm，求此時(shí)梯形CAEF的面積；【答案】（2）若使平移后得到的△CDF是直角三角形，則△ABC平移的距離應(yīng)為______cm．【答案】1或4學(xué)生存在的問題：弄不清3cm是那條線段的長，不會分類.例3（2011上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0?<m<180?）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝_________．【答案】80和120西總P31T10學(xué)生存在的問題：會將整個△ABC旋轉(zhuǎn)后的圖形都畫，把圖形弄復(fù)雜.例4（2013湖南郴州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（）【答案】DA．25°B．30°C．35°D．40°學(xué)生存在的問題:軸對稱的性質(zhì)應(yīng)用不全面，想到了邊，但忘了角.《探診》P17T10題例5西總P29例4學(xué)生存在的問題：一是沒看清把那個三角形平移或?qū)ΨQ，二是不會判斷中心對稱.西總P88例1例6（2014順義二模）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線向點(diǎn)F運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到BC邊時(shí)，小球P所經(jīng)過的路程為；當(dāng)小球P第一次碰到AD邊時(shí)，小球P所經(jīng)過的路程為；當(dāng)小球P第n（n為正整數(shù)）次碰到點(diǎn)F時(shí)，小球P所經(jīng)過的路程為．【答案】，，．學(xué)生存在的問題：作圖不合理，不會將角關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系.例7（2011北京中考）．閱讀下面材料： 小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在梯形中，，對角線、相交于點(diǎn)．若梯形的面積為1，試求以、、的長度為三邊長的三角形的面積．小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計(jì)算其面積即可，他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題．他的方法是過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，得到的即是以、、的長度為三邊長的三角形（如圖2）．請你回答：圖2中的面積等于________．參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，的三條中線分別為、、．⑴在圖3中利用圖形變換畫出并指明以、、的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；⑵若的面積為1，則以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積學(xué)生存在的問題：主要是在第三問，能畫出圖但找不出新三角形與原圖形之間的面積關(guān)系，究其原因就是對于中線等分面積的性質(zhì)不太會用.例8（2013北京中考）在平面直角坐標(biāo)系O中，拋物線（）與軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與軸交于點(diǎn)B。（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式。P89西總例2學(xué)生存在的問題：讀不懂第三問是什么意思，不能很好地抓住拋物線式軸對稱圖形這一特點(diǎn)，同時(shí)對于拋物線的連續(xù)性理解不到位.例9（海淀期末）．拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC．（1）求這條拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q在（1）中的拋物線上，且，PQ=n.①求的值；②將拋物線在PQ下方的部分沿PQ翻折，拋物線的其它部分保持不變，得到一個新圖象.當(dāng)這個新圖象與x軸恰好只有兩個公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是.學(xué)生存在的問題：第2問主要是不能從坐標(biāo)的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)P、Q是關(guān)于直線x=1對稱的，另外就是n與的關(guān)系弄錯，再就是消元不明確；第三問主要是臨界點(diǎn)把握不好，缺乏對于運(yùn)動變換問題連續(xù)搜索的習(xí)慣.例10（2014海淀二模）在中，，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，，，其中a，b為常數(shù)，且.將沿射線方向平移，得到，點(diǎn)A、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)F、C、E.連接.（1）如圖1，若在內(nèi)部，請?jiān)趫D1中畫出；（2）在（1）的條件下，若，求的長（用含的式子表示）；（3）若，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，則的大小為__________；當(dāng)線段的長度最小時(shí)，則的大小為_______________（用含的式子表示）圖1備用圖西總P93例8:平移方向不是水平的，與x軸負(fù)半軸的角的正切為例11（2014北京中考）．在正方形外側(cè)作直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接，其中交直線于點(diǎn)．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）若，求的度數(shù)；（3）如圖2，若，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．學(xué)生存在的問題：第2問一是沒想到連AE，二是連BF后證不出直角；沒有吃透第一問解決問題的策略與方法，另外就是對于線段之間的關(guān)系不敏感.例12（2014昌平二模）【探究】如圖1，在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，AE，BF相交于點(diǎn)M，連接DE，DF.則DE，DF的數(shù)量關(guān)系為.【拓展】如圖2，過點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E，MF⊥AC于點(diǎn)F，連接DE，DF.求證：DE=DF；【推廣】如圖3，若將上面【拓展】中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.學(xué)生存在的問題：主要問題出在第三問一是二次相似確實(shí)是一個難點(diǎn)，二是證角等的方法不多.五．專題整理專題一、平移變換1.（2011湖北黃岡）如圖，把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，BC=5，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x?6上時(shí)，線段BC掃過的面積為（）【答案】CA．4 B．8 C．16 D．2．（2011廣東臺山）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為，對角線BD、FH都在直線L上，分別是正方形的中心，線段的長叫做兩個正方形的中心距。當(dāng)中心在直線L上平移時(shí)，正方形EFGH也隨平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有改變。（1）計(jì)算：2，1。（2）當(dāng)中心在直線L上平移到兩個正方形只有一個公共點(diǎn)時(shí)，中心距=3。（3）隨著中心在直線L上的平移，兩個正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)還有哪些變化？并求出相對應(yīng)的中心距的值或取值范圍（不必寫出計(jì)算過程）。答案:當(dāng)0≤<2時(shí)，兩個正方形無公共點(diǎn)；當(dāng)＝2時(shí)，兩個正方形有無數(shù)公共點(diǎn)；當(dāng)2<<3時(shí)，兩個正方形有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)＝3時(shí)，兩個正方形有一個公共點(diǎn)；當(dāng)>3時(shí)，兩個正方形無公共點(diǎn)。3.（2014平谷二模）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E為BC上一點(diǎn)，且CE=AB，BE=CD，連結(jié)AE、DE、AD，則△ADE的形狀是_________________________.(2)如圖2，在，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，連結(jié)BE、CD，兩線交于點(diǎn)P．①當(dāng)BD=AC，CE=AD時(shí)，在圖中補(bǔ)全圖形，猜想的度數(shù)并給予證明．②當(dāng)時(shí)，的度數(shù)____________________．4．（07北京）如圖，已知．（1）請你在邊上分別取兩點(diǎn)（的中點(diǎn)除外），連結(jié)，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明AB+AC>AD+AE．專題二、軸對稱變換．5．（2014懷柔二模）如圖（a），有一張矩形紙片ABCD，其中AD=6cm，以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切,將矩形紙片ABCD沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC上，如圖（b）.則半圓被覆蓋部分（陰影部分）的面積為_____________.6．（1）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將矩形OABC沿OB對折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？（2）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連結(jié)OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在的位置，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？7.（2012浙江紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交與點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合,折痕與AD交于點(diǎn)P3;…;設(shè)Pn﹣1Dn﹣2的中點(diǎn)為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn﹣1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為() A． B． C．D． 8.（2012江蘇南京）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=600，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A’、D’處，且A’D’經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)D’FCD時(shí)，的值為()A. B. C. D.9．(2012山東德州)如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時(shí)，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．10．（2014西城二模）在△ABC，∠BAC為銳角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，若△ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）BC的垂直平分線交AD延長線于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．①如圖2，若∠ABE=60°，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②如圖3，若，求∠BAC的度數(shù)．專題三、旋轉(zhuǎn)變換11.（2014大興二模）已知：E是線段AC上一點(diǎn)，AE=AB，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)D，使得∠EDB=∠EAB，聯(lián)結(jié)AD.（1）若直線EF與線段AB相交于點(diǎn)P，當(dāng)∠EAB=60°時(shí)，如圖1，求證：ED=AD+BD；（2）若直線EF與線段AB相交于點(diǎn)P，當(dāng)∠EAB=α（0o﹤α﹤90o）時(shí)，如圖2，請你直接寫出線段ED、AD、BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）；（3）若直線EF與線段AB不相交，當(dāng)∠EAB=90°時(shí)，如圖3，請你補(bǔ)全圖形，寫出線段ED、AD、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.12.（2014房山二模）邊長為2的正方形的兩頂點(diǎn)、分別在正方形EFGH的兩邊、上(如圖1)，現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)第一次落在上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，邊交于點(diǎn)，邊交于點(diǎn).（1）求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)和平行時(shí)(如圖2)，求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3）如圖3，設(shè)的周長為，在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結(jié)論.13.（2014門頭溝二模）在△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點(diǎn)中點(diǎn)，連接MD和ME（1）如圖1所示，若AB=AC，則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是（2）如圖2所示，若AB≠AC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；（3）在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接判斷△MED的形狀．圖1圖2圖314.（豐臺二模）如圖1，在中，∠ACB=90o，BC=2，∠A=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF．（1）線段BE與AF的位置關(guān)系是________，________．（2）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)（），連結(jié)AF，BE，（1）中的結(jié)論是否仍然成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)（），延長交于點(diǎn)，如果，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．15．（2014石景山二模）將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，的延長線與相交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若==，，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若＜=，，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，若＜，（為常數(shù)），請直接寫出的值（用含、的式子表示）．16．（2011豐臺）已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3，且∠ACB=60°，則CD=；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6，且∠ACB=90°，則CD=；（3）如圖3，當(dāng)∠ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)的∠ACB的度數(shù).17.（2011浙江義烏）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP.將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0?＜α＜180?），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β.當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合.已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系專題四、中心對稱變換18．已知：△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，聯(lián)結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM和DM．（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．圖1圖219.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分別以AB、AC為邊作等邊△ABE和△ACD，連結(jié)ED交AB于F，求證：EF=FD．20．（08北京）請閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．若，探究與的位置關(guān)系及的值．小聰同學(xué)的思路是：延長交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．（3）若圖1中，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．專題五、操作題21．（豐臺二模）閱讀下列材料：已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動點(diǎn)，以PB，PA為邊構(gòu)造□APBQ，求對角線PQ的最小值及此時(shí)的值是多少.在解決這個問題時(shí)，小明聯(lián)想到在學(xué)習(xí)平行線間的距離時(shí)所了解的知識：端點(diǎn)分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短.進(jìn)而，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，并求得PQ的最小值為3.參考小明的做法，解決以下問題：（1）繼續(xù)完成閱讀材料中的問題：當(dāng)PQ的長度最小時(shí)，_______；（2）如圖3，延長PA到點(diǎn)E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）.以PE，PB為邊作□PBQE，那么對角線PQ的最小值為，此時(shí)_______；（3）如圖4，如果P為AB邊上的一動點(diǎn)，延長PA到點(diǎn)E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)），以PE，PC為邊作□PCQE，那么對角線PQ的最小值為______,此時(shí)_______.22．（密云二模）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序折疊：對折、展平，得折痕EF(如圖①)；沿GC折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處(如圖②)；展平，得折痕GC(如圖③)；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的C處(如圖④)；沿GC′折疊(如圖⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如圖⑥)．(1)求圖②中∠BCB′的大??；(2)圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請說明理由．23.（2014平谷二模）如圖1，若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法是：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．（1）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最?。龇ㄊ牵鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為；（2）如圖3，已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為；（3）如圖4，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，BP=m，，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M、N，使的周長最小，求出這個最小值（用含m、的代數(shù)式表示）．專題五、函數(shù)與變換24.（2014房山二模）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個不為0的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，求平移后的函數(shù)圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)圖象位于軸左側(cè)的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象G．當(dāng)直線與圖象G有3個公共點(diǎn)時(shí)，請你直接寫出的取值范圍.25.（豐臺二模）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線（）與x軸的另一交點(diǎn)為A，過點(diǎn)P（1，）作直線PN⊥x軸于點(diǎn)N，