2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破專題10 相似三角形的綜合問題(教師版)

專題10相似三角形的綜合問題【典型例題】1．(2021·山東省濟(jì)南中學(xué)九年級(jí)期中)如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D、E分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0________；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0______．(2)拓展探究試判斷：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．(3)問題解決SKIPIF1<0繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段SKIPIF1<0的長________．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，SKIPIF1<0的大小沒有變化，證明見解析(3)BD的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)①當(dāng)α＝0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的SKIPIF1<0值是多少．②α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值是多少即可．(2)首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據(jù)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．(3)分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時(shí)，②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別求解即可．(1)解：①當(dāng)α＝0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴AE＝SKIPIF1<0AC＝SKIPIF1<0，BD＝SKIPIF1<0BC＝1，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．②如圖1中，當(dāng)α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故答案為：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0．(2)解：如圖2，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，SKIPIF1<0的大小沒有變化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴△ECA∽△DCB，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，SKIPIF1<0的大小沒有變化．(3)解：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時(shí)，在Rt△BCE中，CE＝SKIPIF1<0，BC＝2，∴BE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BD＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，BE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BD＝SKIPIF1<0，綜上所述，滿足條件的BD的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2022·江蘇海門·九年級(jí)期末)如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，OB=2，OC=5，AB=4，則CD的長為(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】利用8字模型的相似三角形證明△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴CD=10，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握8字模型的相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．(2022·江蘇省南京二十九中教育集團(tuán)致遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，DE∥BC，若ΔADE的面積為6，則ΔABC的面積等于(

)A．12 B．18 C．24 D．54【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得ΔADE~ΔABC，利用其性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出ΔABC的面積．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2022·廣西平桂·九年級(jí)期末)如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段BD長為(

)A．SKIPIF1<0 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)位似變換可知SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，代入數(shù)據(jù)得出OD的長，從而可求出BD的長．【詳解】根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位似變換的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)．掌握位似的兩個(gè)三角形相似是解題關(guān)鍵．4．(2021·廣東禪城·二模)如圖，A、B分別為反比例函數(shù)SKIPIF1<0(x＜0)，y＝SKIPIF1<0(x＞0)圖象上的點(diǎn)，且OA⊥OB，則tan∠ABO的值為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，根據(jù)A、B在函數(shù)圖象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根據(jù)相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，根據(jù)SKIPIF1<0即可求出角的正切值．【詳解】解：如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D則∠BDO＝∠ACO＝90°∵A、B分別為反比例函數(shù)SKIPIF1<0(x＜0)，SKIPIF1<0(x＞0)圖象上的點(diǎn)∴S△AOC＝4，S△BDO＝9∵∠AOB＝90°∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°∴∠DBO＝∠AOC∴△BDO∽△OCA∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)，正切．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．5．(2021·廣東龍門·三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(SKIPIF1<0，0)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，SKIPIF1<0)，延長CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1，……，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2021個(gè)正方形的邊長為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，得出SKIPIF1<0，繼而得知SKIPIF1<0，利用勾股定理計(jì)算出正方形的邊長，從中找出規(guī)律，問題也就迎刃而解了.【詳解】解：根據(jù)題意，得：SKIPIF1<02，SKIPIF1<0(兩直線平行，同位角相等)．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0頂點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為(SKIPIF1<0，0)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，SKIPIF1<0)，∴OASKIPIF1<0，ODSKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，根據(jù)勾股定理得SKIPIF1<0，∴AD＝AB＝1，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，??????第2021個(gè)正方形的邊長為SKIPIF1<0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了相似三角形的判定、勾股定理、解直角三角形，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，另外在解題過程中，要認(rèn)真挖掘題中隱藏的規(guī)律，這樣可以降低解題的難度，提高解題效率.二、填空題6．(2021·廣東·東莞市石龍第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積為4，則四邊形BCED的面積為___．【答案】3【解析】【分析】由題意知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，有SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，對(duì)SKIPIF1<0計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，相似三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確相似三角形的面積比等于相似比的平方．7．(2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)期末)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的角平分線CD交AB于點(diǎn)D．若AC＝2，則CB＝_____．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB=∠B=72°，∠A=36°，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACD=∠BCD=36°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CDB=72°，可得AD=CD，CD=BC，△BDC∽△BCA，設(shè)BC=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2∠B=36°，∵∠ACB的角平分線CD交AB于點(diǎn)D．∴∠ACD=∠BCD=36°，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴AD=CD，CD=BC，∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，∴△BDC∽△BCA，設(shè)BC=x，∴CD=BC=x，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：x=SKIPIF1<0，(負(fù)值舍去)故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．8．(2022·山東嶗山·九年級(jí)期末)如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分線交BC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CE⊥DG，垂足為E，CE=2，則△BFG的周長為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】首先利用已知條件可證明△CDF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出DF=2DE，而在Rt△CDE中，由勾股定理可求得DE的值，即可求得DF的長，從而求出△CFD的周長；然后，證明△CDFSKIPIF1<0△BFG，然后根據(jù)周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵SKIPIF1<0是∠ADC的平分線∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(2022·山西太原·九年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在x軸的負(fù)半軸上，y軸的正半軸上，y軸平分AB邊，點(diǎn)A的坐標(biāo)(﹣2，0)，AB＝5．過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的表達(dá)式是_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為點(diǎn)SKIPIF1<0，先根據(jù)相似三角形的判定證出SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再根據(jù)相似三角形的判定證出SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，從而可得出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸平分SKIPIF1<0邊，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)過點(diǎn)SKIPIF1<0的反比例函數(shù)的表達(dá)式為SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，則過點(diǎn)SKIPIF1<0的反比例函數(shù)的表達(dá)式為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．10．(2022·河北·石家莊市第二十八中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，為一塊鐵板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用這塊余料裁出一個(gè)矩形PQMN，使矩形的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB，AC上．頂點(diǎn)Q，M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為_____．【答案】25【解析】【分析】設(shè)DE=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，PQ=MN=DE，證明△APN∽△ABC，得到SKIPIF1<0，求出PN=10-x得到矩形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：設(shè)DE=x，∵四邊形PQMN是矩形，AD⊥BC，∴SKIPIF1<0，PQ=MN=DE，∴△APN∽△ABC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴PN=10-x，∴矩形PQMN面積=SKIPIF1<0，∴當(dāng)x=5時(shí)，矩形PQMN面積有最大值，最大值為25cm2，故答案為：25．．

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，正確掌握相似三角形的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．(2022·江蘇溧水·九年級(jí)期末)折疊矩形ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE．(1)求證△ABF∽△FCE；(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)矩形ABCD的面積為80【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)即可證明△ABF∽△FCE．(2)由(1)得△ABF∽△FCE，所以SKIPIF1<0，進(jìn)而可以解決問題．(1)證明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折疊得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；(2)解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°∴EF＝DE＝5，∴AB＝CD＝8．由(1)得△ABF∽△FCE，∴SKIPIF1<0∴BF＝6．∴BC＝10．∴S＝AB?CB＝10×8＝80．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABF∽△FCE．12．(2022·湖北硚口·九年級(jí)期末)如圖，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，點(diǎn)G、F分別是ED、BC的中點(diǎn)，連接CD、BE、GF．(1)求證：∠ACD＝∠ABE；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)若四邊形BEDC的面積為42，周長為SKIPIF1<0，GF＝5，則AB＝．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0(3)10【解析】【分析】(1)由題意得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0，根據(jù)SAS證明SKIPIF1<0，即可得；(2)連接AG，AF，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)角之間的關(guān)系得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；(3)由GF=5得SKIPIF1<0，根據(jù)四邊形的周長可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)BC=a，ED=b，列方程SKIPIF1<0，進(jìn)行計(jì)算得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0．(1)證明：∵AB=AC，AE=AD，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(SAS)，∴SKIPIF1<0．(2)解：如圖，連接AG，AF，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，且點(diǎn)G，F(xiàn)分別是ED，BC的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(3)解：∵GF=5，∴SKIPIF1<0，由(1)SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)BC=a，ED=b，∴SKIPIF1<0由②得，SKIPIF1<0③，將③代入①得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．13．(2022·四川成都·九年級(jí)期末)如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，AE與DF交于點(diǎn)O．(1)射線EF經(jīng)過點(diǎn)B，射線DF與BC交于點(diǎn)G．ⅰ)求證：△ADE∽△DCG；ⅱ)若AB＝10，AD＝6，求CG的長；(2)如圖2，射線EF與AB交于點(diǎn)H，射線DF與BC交于點(diǎn)G，連接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的長．【答案】(1)ⅰ)見解析；ⅱ)SKIPIF1<0(2)9【解析】【分析】(1)i)根據(jù)翻折的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；ii)根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例解答即可；(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解得即可．(1)解：i)由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠ADO+∠EAD＝90o，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90o，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE＝∠DCG＝90o，∴△ADE∽△DCG；ii)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90o，∵△ADE≌△AFE，∴∠AFE=∠ADE＝90o，AF＝AD＝6，∴∠AFB=90o，∴在Rt△ABF中，BF＝SKIPIF1<0，設(shè)DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即(8+x)2＝62+(10﹣x)2，解得：x＝2，由i)可知△ADE∽△DCG，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：CG＝SKIPIF1<0；(2)解：由i)可知，△ADE∽△DCG，∴SKIPIF1<0=2，∠OAD＝∠ODE，∵△ADE≌△AFE，∴AD=AF，DE=FE，∴DF⊥AE，∴∠DOE＝∠FOE=90°，∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，∴△ADE∽△DOE，∴SKIPIF1<0，∵HG∥AE，∴∠OEF＝∠GHF，∵∠OFE＝∠GFH，∴△HGF∽△EOF，∴SKIPIF1<0，∠HGF＝∠EOF=90°，∴∠BGH+∠CGD＝90°，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠CGD＝∠BHG，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BHG∽△CGD，∴SKIPIF1<0，∴△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，設(shè)CE＝x，DC＝5+x，CG＝SKIPIF1<0，BG＝10﹣CG＝10﹣SKIPIF1<0，BH＝SKIPIF1<0BG＝SKIPIF1<0，HG＝SKIPIF1<0BH＝SKIPIF1<0，∵HG：GF＝1：2，∴GF＝SKIPIF1<0，在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5SKIPIF1<0，DO＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴OE＝SKIPIF1<0，DO＝OF＝2SKIPIF1<0，在△DCG中，DC＝5+x，CG＝SKIPIF1<0，DG＝DF+FG＝4SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴DG＝SKIPIF1<0CG，即SKIPIF1<0，解得：x＝9，即CE＝9．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答．14．(2021·山東濟(jì)陽·九年級(jí)期中)(1)問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：SKIPIF1<0．(2)探究若將90°角改為銳角或鈍角(如圖2)，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．(3)應(yīng)用如圖3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰SKIPIF1<0．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求CD的長．【答案】(1)見解析；(2)成立，理由見解析；(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADPSKIPIF1<0△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；(2)由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADPSKIPIF1<0△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；(3)先證△ABDSKIPIF1<0△DFE，求出DF=4，再證△EFCSKIPIF1<0△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【詳解】(1)證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADPSKIPIF1<0△BPC，SKIPIF1<0，∴ADSKIPIF1<0BC=APSKIPIF1<0BP，(2)結(jié)論仍然成立，理由如下，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴ADSKIPIF1<0BC=APSKIPIF1<0BP，(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．15．(2022·山東歷下·九年級(jí)期末)如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為斜邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作射線SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)問題產(chǎn)生若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0______；(2)問題延伸在(1)的情況下，將若SKIPIF1<0繞著點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，SKIPIF1<0的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說明理由；(3)問題解決如圖3，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不改變，SKIPIF1<0，證明見解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)連接SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，證明四邊形SKIPIF1<0是矩形，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0的長，即可求得SKIPIF1<0；(2)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)(1)的結(jié)論即可解決問題；(3)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；①若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入數(shù)值求解即可；②若SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，同理求得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0求解即可．(1)如圖，連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)不改變，SKIPIF1<0；證明：作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0∴四邊形PMCN是矩形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由(1)得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(3)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，等角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的中線性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．(2022·江蘇廣陵·九年級(jí)期末)已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．(1)觀察猜想：如圖①，如果四邊形ABCD是正方形，當(dāng)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)時(shí)，則DE與CF的數(shù)量關(guān)系為：，位置關(guān)系為：．(2)探究證明：如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：SKIPIF1<0．(3)拓展延伸：如圖③，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得SKIPIF1<0成立？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)DE=CF，DE⊥CF(2)見解析(3)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，SKIPIF1<0成立，證明見解析【解析】【分析】(1)先判斷出AE=DF，進(jìn)而得出△ADE≌△DCF(SAS)，即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可得結(jié)論；(3)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，DE?CD=CF?AD成立，證△DFG∽△DEA，得出SKIPIF1<0，證△CGD∽△CDF，得出SKIPIF1<0，即可得出答案．(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是AB，AD的中點(diǎn)，∴AE=SKIPIF1<0AB，DF=SKIPIF1<0AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，SKIPIF1<0，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案為：DE=CF，DE⊥CF；(2)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴SKIPIF1<0；(3)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，SKIPIF1<0成立．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴SKIPIF1<0，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，SKIPIF1<0成立．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形性質(zhì)和判定，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理的能力．17．(2022·山東天橋·九年級(jí)期末)(1)如圖1，正方形ABCD與調(diào)研直角△AEF有公共頂點(diǎn)A，∠EAF＝90°，連接BE、DF，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BE、DF相交所成的角為β，則SKIPIF1<0＝________；β＝________；(2)如圖2，矩形ABCD與Rt△AEF有公共頂點(diǎn)A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，連接BE、DF，將Rt△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BE、DF相交所成的角為β，請(qǐng)求出SKIPIF1<0的值及β的度數(shù)，并結(jié)合圖2進(jìn)行說明；(3)若平行四邊形ABCD與△AEF有公共項(xiàng)點(diǎn)A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BE、DF相交所成的銳角的度數(shù)為β，則：①SKIPIF1<0＝________；②請(qǐng)直接寫出α和β之間的關(guān)系式．【答案】(1)1，90°；(2)SKIPIF1<0，90°；(3)①SKIPIF1<0；②α+β=180°【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中線段的長度不變，得到AF=AE，又∠BAE與∠DAF都與∠BAF互余，所以∠BAE=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE與DF相等，延長DF交BE于G，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；(2)等同(1)的方法，因?yàn)榫匦蔚泥忂叢幌嗟?，但根?jù)題意，可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=2BE，同理，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；(3)與(2)的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°．【詳解】解：(1)如圖1，延長DF分別交BE于點(diǎn)G，在正方形ABCD和等腰直角△AEF中，AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB(SAS)，∴∠AFD=∠AEB，DF=BE，∵∠AFD+∠AFG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°，∵∠EAF=90°，∴∠EGF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE，∴SKIPIF1<0=1，β=90°，故答案為：1，90°；(2)如圖2，延長DF交EB于點(diǎn)H，∵AD=2AB，AF=2AE，∴SKIPIF1<0，∵∠BAD=∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD∽△EAB，∴SKIPIF1<0，∴DF=2BE，∵△FAD∽△EAB，∴∠AFD=∠AEB，∵∠AFD+∠AFH=180°，∴∠AEH+∠AFH=180°，∵∠EAF=90°，∴∠EHF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE，∴SKIPIF1<0，β=90°；(