人教A版高中數(shù)學(xué)必修4刷題練習(xí)：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

第21課時(shí)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、坐標(biāo)運(yùn)算對應(yīng)學(xué)生用書P61知識點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)表示1．給出下列幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個(gè)向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；③一個(gè)坐標(biāo)對應(yīng)唯一的一個(gè)向量；④平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案C解析由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個(gè)坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個(gè)相等的向量，故③錯(cuò)誤．2．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))可以表示為()A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j答案C解析記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i－j．知識點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))等于()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3，5)D．(2，4)答案B解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)，故選B．4．設(shè)a＝(－1，2)，b＝(－1，1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底，可將向量c表示為c＝pa＋qb，則()A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝－4C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝4答案B解析(3，－2)＝p(－1，2)＋q(－1，1)＝(－p－q，2p＋q)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－p－q＝3，,2p＋q＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝－4.))5．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(6，1)，b＝(－2，3)，c＝(2，2)．(1)求a＋2b－c；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得c＝λa＋μb?解(1)a＋2b－c＝(6，1)＋2(－2，3)－(2，2)＝(0，5)．(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得c＝λa＋μb，則(2，2)＝λ(6，1)＋μ(－2，3)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6λ－2μ＝2，,λ＋3μ＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2)，))即存在實(shí)數(shù)λ＝μ＝eq\f(1,2)滿足等式．知識點(diǎn)三向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用6．已知A(7，1)，B(1，4)，直線y＝eq\f(1,2)ax與線段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)a等于()A．2B．1C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,3)答案A解析設(shè)C(x0，y0)，則y0＝eq\f(1,2)ax0．∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝x0－7，eq\f(1,2)ax0－1，eq\o(CB,\s\up6(→))＝1－x0，4－eq\f(1,2)ax0，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－7＝21－x0，,\f(1,2)ax0－1＝24－\f(1,2)ax0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,a＝2.))7．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j，則△OAB的面積等于()A．15B．10C．7．5D．5答案D解析由題意可知A(4，2)，B(3，4)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋42)＝5，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－i＋2j，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，|eq\o(AO,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|2，所以eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\r(5)＝5．故選D．8．在△ABC中，已知A(2，3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中線AD上一點(diǎn)，且|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝2|eq\o(GD,\s\up6(→))|，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－4，2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4，2)答案C解析由題意，知點(diǎn)G是△ABC的重心，設(shè)C(x，y)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋6＋x,3)＝4，,\f(3－4＋y,3)＝－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))故C(4，－2)．9．已知△ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N是AB，AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，MN與AD交于點(diǎn)F，求eq\o(DF,\s\up6(→))．解因?yàn)锳(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－5)．又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(－3．5，－4)，而M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以F為AD的中點(diǎn)．故有eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1．75，2)．10．如圖，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝p，eq\o(OB,\s\up6(→))＝q，eq\o(OC,\s\up6(→))＝r，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))．(1)試用p，q表示r；(2)若Aeq\f(7,2)，eq\f(1,2)，Beq\f(5,2)，eq\f(3,2)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．解(1)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，∴r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q．(2)設(shè)C(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝x－eq\f(5,2)，y－eq\f(3,2)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5＝－1，,2y－3＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))∴C(2，2)．對應(yīng)學(xué)生用書P62一、選擇題1．若向量a＝(x－2，3)與向量b＝(1，y＋2)相等，則()A．x＝1，y＝3B．x＝3，y＝1C．x＝1，y＝－5D．x＝5，y＝－1答案B解析由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝1，,3＝y(tǒng)＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵c＝eq\f(1,3)(2b－a)＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)a，∴(x，y)＝eq\f(2,3)(－4，－3)－eq\f(1,3)(5，－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)－\f(5,3)，－2＋\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))．故選D．3．已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(－7，6)B．(7，6)C．(6，7)D．(7，－6)答案D解析設(shè)D(x，y)，由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6．4．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，則M∩N等于()A．{(1，2)}B．{(1，2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．?答案C解析令(1，2)＋λ1(3，4)＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3λ1＝－2＋4λ2，,2＋4λ1＝－2＋5λ2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝0.))故M與N只有一個(gè)公共元素是(－2，－2)．5．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝αeq\o(OA,\s\up6(→))＋βeq\o(OB,\s\up6(→))，其中α，β∈R且α＋β＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()A．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－2)2＝5C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0答案D解析設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1，3)．∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝αeq\o(OA,\s\up6(→))＋βeq\o(OB,\s\up6(→))，∴(x，y)＝α(3，1)＋β(－1，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3α－β，,y＝α＋3β.))又∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0，應(yīng)選D．二、填空題6．已知A(2，3)，B(1，4)，且eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(sinα，cosβ)，α，β∈－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，則α＋β＝________．答案eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)解析∵eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－1，1)＝－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－eq\f(1,2)且cosβ＝eq\f(1,2)，∴α＝－eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,3)或－eq\f(π,3)．∴α＋β＝eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)．7．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)得向量eq\o(OB,\s\up6(→))，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(7，9)，且向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝________．答案－eq\f(11,5)，eq\f(23,5)解析設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m，n)，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－n，m)，所以2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2m－n，2n＋m)＝(7，9)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n＝7，,m＋2n＝9.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(23,5)，,n＝\f(11,5).))因此，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,5)，eq\f(23,5)．8．已知點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)，若對于平面上任意一點(diǎn)O，都有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))，λ∈R，則x＝________．答案2解析取O(0，0)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))，得(x，5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－λ＋1－λ，,5＝－λ＋31－λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝2.))三、解答題9．已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))為一組基底來表示eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))．解∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，5)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－5，1)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)m，n，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(