中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)模型幾何變換的三種模型手拉手半角對角互補

幾何變換的三種模型手拉手、半角、對角互補知識關(guān)聯(lián)圖知識關(guān)聯(lián)圖真題演練真題演練（2013北京中考）在中，，（），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段．（1）如圖1，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，，判斷的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)，若，求的值．（2012年北京中考）在中，，是的中點，是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）若且點與點重合（如圖1），線段的延長線交射線于點，請補全圖形，并寫出的度數(shù)；（2）在圖2中，點不與點重合，線段的延長線與射線交于點，猜想的大小（用含的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對于適當(dāng)大小的，當(dāng)點在線段上運動到某一位置（不與點，重合）時，能使得線段的延長線與射線交于點，且，請直接寫出的范圍．

例題精講例題精講考點1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等）（2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等）（3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等）（4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似）

（14年海淀期末）已知四邊形和四邊形都是正方形，且．（1）如圖，連接、．求證：；（2）如圖，如果正方形的邊長為，將正方形繞著點旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得，．=1\*GB3①求的度數(shù)；=2\*GB3②請直接寫出正方形的邊長的值．【題型總結(jié)】【題型總結(jié)】手拉手模型是中考中最常見的模型，突破口常見的有哪些信息？常見的考試方法有哪些？

（2014年西城一模）四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，，連接，為的中點，連接，，。（1）如圖24-1，若點在邊的延長線上，直接寫出與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖24-1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；ACACDGEFB圖111124-1圖24-2ACDGEFB【題型總結(jié)】【題型總結(jié)】此類型題目方法多樣，你還能找到其他的解題方法嗎？另外涉及到的中點輔助線你還能說出幾種？

（2015年海淀九上期末）如圖1，在中，，以線段為邊作，使得，連接，再以為邊作，使得，．（1）如圖2，當(dāng)且時，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系；圖1圖1（2）將線段沿著射線的方向平移，得到線段，連接．若，依題意補全圖3，求線段的長；請直接寫出線段的長（用含的式子表示）．圖2圖3備用圖

（13年房山一模）（1）如圖1，和都是等邊三角形，且、、三點共線，聯(lián)結(jié)、相交于點，求證：．（2）如圖2，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、和交于點，下列結(jié)論中正確的是_______（只填序號即可）①；②；③；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：．圖1圖1圖2【題型總結(jié)】【題型總結(jié)】到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比較重要的就是費馬點問題費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換．

考點2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等（2012年西城期末）已知：如圖，正方形的邊長為a，，分別平分正方形的兩個外角，且滿足，連結(jié)，，．猜想線段，和之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

（2014年平谷一模）（1）如圖1，點分別是正方形的邊上的點，，連接，則之間的數(shù)量關(guān)系是：．連結(jié)，交于點，且滿足，請證明這個等量關(guān)系；（2）在中，，點分別為邊上的兩點．①如圖2，當(dāng)，時，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________；②如圖3，當(dāng)，，時，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________．【參考：】【題型總結(jié)】【題型總結(jié)】角含半角的特點有哪些，哪些是不變的量？由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？如何描述這類題目的輔助線？考點3：對角互補模型常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法（全等型—90°）（全等型—120°）（全等型—任意角）四邊形被對角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對角線的長度為，求四邊形的面積．

已知：點是的平分線上的一動點，射線交射線于點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交射線于點，且使．（1）利用圖1，求證：；（2）如圖1，若點是與的交點，當(dāng)時，求與的比值；圖1圖2【題型總結(jié)】【題型總結(jié)】對角互補模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)，題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪種圖形同時出現(xiàn)？(初二期末)已知：如圖，在中，，，且．為內(nèi)部一點，且，．（1）用含的代數(shù)式表示，得=_______________________；（2）求證：；（3）求的度數(shù)．【題型總結(jié)】【題型總結(jié)】一般涉及到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比較便捷的方法。（

全能突破全能突破（2015年昌平九上期末）如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，．連接交于,連接交于，與交點為，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，求證：是的平分線；（3）如圖2，當(dāng)，時，求的長.

（2014西城九上期末）已知：，都是等邊三角形，是與的中點，連接，.（1）如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）固定不動，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（≤≤）角，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請加以證明；若不成立，說明理由；（3）△ABC固定不動，將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)（≤≤）角，作于點．設(shè)，線段，，，所圍成的圖形面積為．當(dāng)，時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值范圍．圖圖2備用圖圖1

（2014年朝陽一模24題）在中，，在中，，點、分別在、上，（1）圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系是______________；（2）若，將繞點旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系是______________；（3）若，將繞點旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含的式子表示）（2015年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，點，在邊上，．若，，求的長．圖1圖1圖2圖3小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到，連接（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及，可證，得．解，可求得(即)的長．請回答：在圖中，的度數(shù)是__________，的長為___________．參考小輝思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形中，，．分別是邊上的點，且．猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（11年石景山一模）已知：如圖，正方形中，,為對角線，將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)()，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點、點，交,于點、點，聯(lián)結(jié)、．（1）在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變，若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍（直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明）；（2）探究與的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明．

（2015年延慶九上期末）已知：是的內(nèi)接三角形，，在所對弧上，任取一點，連接，（1）如圖1，，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，如果，求證：；（3）如圖3，如果，那么與之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫出猜測并加以證明；（4）如果，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系.圖3圖2圖1圖3圖2圖1

（1)如圖，在四邊形中，，分別是邊上的點，且．求證：;(2)如圖在四邊形中，，分別是邊上的點，且，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明．(3)如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長線上的點，且，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．小華遇到這樣一個問題，如圖1,中，30o，，在內(nèi)部有一點，連接，求的最小值．小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題．他的做法是，如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60o，得到，連接，則的長即為所求．（1）請你寫出圖2中，的最小值為________；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：①如圖3，菱形中，60o，在菱形內(nèi)部有一點，請在圖3中畫出并指明長度等于最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；②若①中菱形的邊長為4，請直接寫出當(dāng)值最小時的長．圖1圖圖1圖2圖3（2014年西城二模）在，為銳角，，平分交于點．（1）如圖1，若是等腰直角三角形，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）的垂直平分線交延長線于點，交于點．①如圖2，若，判斷，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②如圖3，若，求的度數(shù)．(2014年1月西城八年級期末試題—附加題)已知：如圖，為銳角，平分，點，點分別在射線和上，.（1）若點在線段上，線段的垂直平分線交直線于點，直線交直線于點，求證：；（2）若（1）中的點運動到線段的延長線上，（1）中的其它條