第15講 相似、投影與視圖（易錯(cuò)點(diǎn)梳理+微練習(xí)）【有答案】-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第15講相似、投影與視圖易錯(cuò)點(diǎn)梳理易錯(cuò)點(diǎn)梳理易錯(cuò)點(diǎn)梳理易錯(cuò)點(diǎn)01混淆相似三角形的判定定理與全等三角形的判定定理相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS這4種。易錯(cuò)點(diǎn)02混淆位似和相似位似是一種特殊的相似，位似圖形一定相似（或全等），但相似圖形不一定位似易錯(cuò)點(diǎn)03錯(cuò)誤認(rèn)為相似三角形的面積比等于相似比錯(cuò)誤認(rèn)為相似三角形的面積比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方。易錯(cuò)點(diǎn)04混淆平行投影與正投影的概念由平行的光線所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影叫作正投影，正投影屬于平行投影的一種。易錯(cuò)點(diǎn)05顛倒了視圖的觀察方向一個(gè)物體在3個(gè)相互垂直的投影面內(nèi)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖是主視圖，在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖是俯視圖，在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖是左視。圖.例題分析例題分析考向01相似三角形的性質(zhì)例題1：（2021·陜西興平·九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在、的延長線上，且，連接，交于點(diǎn)，并分別與邊，交于點(diǎn)，，連接，下列結(jié)論：①；②；③S四邊形OECF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，即，在△DAP與中，，∴△DAP≌△ABQ，∴，∵，∴，∴，∴，則結(jié)論①正確；∵，，∴，∴△DAO∽△APO，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；則結(jié)論②錯(cuò)誤；在與△BPE中，，∴△CQF≌△BPE，∴，∴，即，在△ADF與△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴，∴，即，則結(jié)論③正確；綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．例題2：（2021·河南·平頂山市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②；③；④AG+DF＝FG．其中正確的是（）（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】解：∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，

將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，

∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，

∴∠EBG＝∠EBF＋∠FBG＝∠CBF＋∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正確；

在Rt△ABF中，AF＝，

∴DF＝AD?AF＝10?8＝2，

設(shè)AG＝x，則GH＝x，GF＝8?x，HF＝BF?BH＝10?6＝4，

在Rt△GFH中，

∵GH2＋HF2＝GF2，

∴x2＋42＝（8?x）2，

解得x＝3，

∴GF＝5，

∴AG＋DF＝FG＝5，所以④正確；

∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處

∴∠BFE＝∠C＝90°，

∴∠EFD＋∠AFB＝90°，

而∠AFB＋∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠EFD，

∴△ABF∽△DFE，

∴，

∴，

而，

∴，

∴△DEF與△ABG不相似；所以②錯(cuò)誤．

∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，

∴S△ABG＝S△FGH．所以③正確．

∴正確的結(jié)論有：①③④，故選：D．考向02相似三角形的判定例題3：如圖，每個(gè)小方格的邊長都是1，則下列圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因?yàn)椤鰽BC中有一個(gè)角是135°，選項(xiàng)中，有135°角的三角形只有C，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：C．例題4：（2021·上海浦東新·九年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，BM交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)M，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故選項(xiàng)A不合題意；∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故選項(xiàng)B不合題意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF與∠CBG不一定相等，∴△ABF與△CBG不一定相似，故選項(xiàng)C符合題意；△BDE∽△BCG，故D不符合題意；故選：C．考向03投影與視圖例題5：（2021·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖所示的幾何體，從左面看的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：從左面看，是一列三個(gè)小正方形．故選A．例題6：（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線垂直地面，光源與對(duì)角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對(duì)角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會(huì)更長一些，故選D微練習(xí)微練習(xí)一、單選題1．（2021·陜西武功·九年級(jí)期中）如圖，直線，直線、與、、分別交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，若，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵l1∥l2∥l3，

∴AB：BC=DE：EF，

∵AB：BC=2：3，EF=9，

∴2：3=DE：EF，∴DE=6．

故選：C．2．（2021·河南封丘·九年級(jí)期中）下列圖形一定相似的是（）A．兩個(gè)平行四邊形 B．兩個(gè)矩形C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)等腰三角形【答案】C【解析】解：A、兩個(gè)平行四邊形邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)矩形四個(gè)角相等，但是各邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似的定義，故本選項(xiàng)正確；D、兩個(gè)等腰三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．3．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）將兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個(gè)三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（）A．△ABC與△ADE B．△ABD與△AEC C．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC【答案】C【解析】A.△ABC是直角三角形，△ADE不是直角三角形，故不能判斷△ABC與△ADE相似；B.只有，不能判斷B選項(xiàng)中△ABD與△AEC相似；D.只有，不能判斷D選項(xiàng)中△AEC與△ADC相似；C.是等腰直角三角形，則設(shè)，則，，，，,故選C．4．（2021·福建周寧·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【答案】B【解析】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)＝和∠A=∠A不能判斷△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．5．（2021·河南·鄭州市第二初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，?OABC的頂點(diǎn)O（0，0），A（1，2），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點(diǎn)D，將△ODA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OD'A'，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在OA上時(shí)，D'A'的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：延長A′D′交y軸于點(diǎn)E，延長D′A′，由題意D′A′的延長線經(jīng)過點(diǎn)C，如圖，∵A（1，2），∴AD=1，OD=2，∴．由題意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′=AD=1，OA′=OA=，OD′=OD=2，∠A′D′O=∠ADO=90°，∠A′OD′=∠DOD′．則OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE為等腰三角形．∴OE=OA′=，ED′=A′D′=1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC=2．∴C（2，0）．故選：B．6．（2021·安徽·阜陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連接CD．過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF，給出以下四個(gè)結(jié)論：①＝；②若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF＝AB；③當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF＝DB；④若＝，則，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：依題意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴，又AB＝BC，∴．故結(jié)論①正確；如圖，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG與△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB；∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故結(jié)論②正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，∵BG⊥CD，∴DF=∴DF＝DB，故③正確；∵，AG＝BD，，∴，∴＝，∴AF＝AC，∴S△ABF＝S△ABC；∴S△BDF＝S△ABF，∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故結(jié)論④錯(cuò)誤．故選：C．7．如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【答案】B【解析】解：如圖所示，GC⊥BC，AB⊥BC，∵，

當(dāng)王華在CG處時(shí)，Rt△DCG∽R(shí)t△DBA，即，

當(dāng)王華在EH處時(shí)，Rt△FEH∽R(shí)t△FBA，即，∴，

∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，

設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，

∴，

解得y＝3，

則，

解得，x＝6米．

即路燈A的高度AB＝6米．

故選：B．8．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測(cè)試距離為時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“”字高度為，當(dāng)測(cè)試距離為時(shí)，最大的“”字高度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，得，且∴∴∴故選：C．9．（2021·山東·濟(jì)南市濟(jì)陽區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′：，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．5：5【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，OA：OA′=：，

∴DA：D′A′=OA：OA′=：，

∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為：：=2：5，

故選：B．10．下列命題：①兩個(gè)正方形是位似圖形；②兩個(gè)等邊三角形是位似圖形；③兩個(gè)同心圓是位似圖形；④平行于三角形一邊的直線截這個(gè)三角形的兩邊，所得的三角形與原三角形是位似圖形，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】①兩個(gè)正方形是相似圖形，但對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線不一定交于一點(diǎn)，故不一定是位似圖形，②兩個(gè)等邊三角形是相似圖形，但對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線不一定交于一點(diǎn)，故不一定是位似圖形，③兩個(gè)同心圓符合位似圖形的定義，是位似圖形，④平行于三角形一邊的直線截這個(gè)三角形的兩邊，所得的三角形與原三角形是位似圖形，∴正確的有③④，共2個(gè)，故選：B．11．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：故選：A．12．（2021·福建·中考真題）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】從上面看是一個(gè)正六邊形，中間是一個(gè)圓，故選：A．二、填空題13．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD：DC＝1：2，E為BD中點(diǎn)，延長AE交BC于點(diǎn)F，則BF：FC的值是___．【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即是的中點(diǎn)，即故答案為：14．陽光下，同學(xué)們整齊地站在操場(chǎng)上做課間操，小勇和小寧站在同一列，小勇的影子正好落到后面一個(gè)同學(xué)身上，而小寧的影子卻沒有落到后面一個(gè)同學(xué)身上，據(jù)此判斷他們的隊(duì)列方向是______（填“背向太陽”或“面向太陽”），小寧比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一樣高”）．【答案】面向太陽矮【解析】∵小勇的影子正好落到后面一個(gè)同學(xué)身上，∴他們的隊(duì)列方向是面向太陽，∵小寧的影子卻沒有落到后面一個(gè)同學(xué)身上，∴小勇的影子比小寧的影子長，∴小寧比小勇矮．故答案為：面向太陽，矮15．如圖，在△ABC中，是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF．若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是△ABC的重心，則△ABC與△DEF的位似比為______．【答案】【解析】∵點(diǎn)是△ABC的重心，是的中點(diǎn)∴∵是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF∴∴故答案為：．16．（2021·遼寧千山·九年級(jí)期中）如圖，已知等邊三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)、分別為線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①四邊形為菱形；②△ABE≌△CBF；③△BEF為等邊三角形；④；⑤若，，則．正確的有（填序號(hào)）________．【答案】①②③④【解析】解：由等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AC=BD=CD，即四邊形ABDC為菱形，故①正確；∵在△ABE和△CBF中，，∴△ABE?△CBF(SAS)，故②正確；∵△ABE?△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，∴△BEF為等邊三角形，故③正確；∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG，又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正確；∵AE=CF=1，∴BC=AC=AE+CE=4，∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，∴△CFB～△CGE，∴，即∴CG=，∴BG=BC?CG=4?=，故⑤錯(cuò)誤．綜上，①②③④正確．故答案為①②③④．三、解答題17．（2021·上海市奉賢區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【答案】（1）；（2）0【解析】解：（1）由設(shè)∴（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得整理得，∴∴∴18．（2021·河南原陽·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．（1）求證：；（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF長．【答案】（1）見解析；（2），【解析】（1）證明：∵DF∥AC，∴，∵DE∥BC，∴，∴；（2）解：設(shè)，∵，∴，∵，且AE＝4，EC＝2，∴，解得：，∴，∴．19．（2021·廣東南?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（2，1）．（1）以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OAB放大2倍；（2）分別寫出A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)．【答案】（1）見詳解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【解析】解：(1)如圖，△OB?A?為所作；

(2)∵∴A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)為A′（-6,2），B′（-4，-2）.20．（2021·山東長清·九年級(jí)期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示．（1）請(qǐng)你通過畫圖確定燈泡所在的位置．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子長AC＝1.4m，且他到路燈的距離AD＝2.1m，求燈泡的高．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）解：如圖，點(diǎn)O為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子；（2）解：由已知可得，＝，∴＝，∴OD＝4m．∴燈泡的高為4m．21．（2021·陜西興平·九年級(jí)期中）如圖，在銳角△OAB中，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．（1）求證：