第14講 圓（易錯(cuò)點(diǎn)梳理+微練習(xí)）【有答案】-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第14講圓易錯(cuò)點(diǎn)梳理易錯(cuò)點(diǎn)梳理易錯(cuò)點(diǎn)梳理易錯(cuò)點(diǎn)01在弧、弦、圓心角之間的關(guān)系中忽略“在同圓或等圓中”這一前提條件只有“在同圓或等圓中”，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系才能成立。易錯(cuò)點(diǎn)02忽視弦所對(duì)的圓周角的多種可能而漏解忽視弦所對(duì)的圓周角的多種可能而漏解在同一個(gè)圓中，一條弦對(duì)著兩種圓周角，這兩種圓周角互補(bǔ)。易錯(cuò)點(diǎn)03忽視弦的位置的不同情況而漏解在同一個(gè)圓中，求兩條平行弦的距離時(shí)，兩條弦可能在圓心的同側(cè)，也可能在圓心的兩側(cè)，解題時(shí)應(yīng)分類討論。易錯(cuò)點(diǎn)04混淆三角形的外心和內(nèi)心三角形的內(nèi)心是指三角形內(nèi)切圓的圓心，是三角形3條角平分線的交點(diǎn)；三角形的外心是指三角形外接圓的圓心，是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).。例題分析例題分析考向01與圓有關(guān)的性質(zhì)例題1：（2021·山東臨清·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，∠BED＝20°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．80° B．75° C．70° D．65°【答案】C【思路分析】連接BC，證明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得結(jié)論．【解析】解：連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DCB＝∠DEB＝20°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查圓周角定理，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例題2：（2021·山東陵城·九年級(jí)期中）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，則△OFC的面積是（）A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2【答案】D【思路分析】根據(jù)垂徑定理得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，從而得到OC的長(zhǎng)，即可求出△BOC的面積，再根據(jù)三線合一定理得到BF=CF，則，由此求解即可．【解析】解：連接OB，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．∴，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3cm，∴，∴，∵OB=OC，OF⊥BC，∴BF=CF，∴∴，故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理．考向02與圓有關(guān)的位置關(guān)系例題3：下列說(shuō)法：①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的??；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過(guò)三點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓；⑤圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等．正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路分析】由垂徑定理的推論可判斷①，由圓心角，弧，弦之間的關(guān)系可判斷②③，由不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓可判斷④，由圓的對(duì)稱軸是直線可判斷⑤，由三角形的外心的性質(zhì)可判斷⑥，從而可得答案.【解析】解：當(dāng)被平分的這條弦是直徑時(shí)，平分弦的直徑，不平分這條弦所對(duì)的??；故①不符合題意；在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也不一定相等；因?yàn)閳A當(dāng)中任意一條弦都與兩條弧相對(duì)，故②不符合題意；等弧所對(duì)的圓心角相等；正確，故③符合題意；過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓；故④不符合題意；圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；故⑤不符合題意；三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．故⑥不符合題意；故選A【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理的推論，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓的確定，三角形的外心的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.例題4：（2021·山東·德州市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△AOB中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半徑為3，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（其中點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【思路分析】連接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得到PQ＝，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，根據(jù)30度角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【解析】連接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ，∴PQ＝＝，當(dāng)OP最小時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最小，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，，∴，由勾股定理得：在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OA=2OP′＝12，∴OP′＝6，∴線段PQ長(zhǎng)度的最小值＝＝3，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理、含30度角直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．考向03正多邊形與圓例題5：（2021·江蘇宿遷·九年級(jí)期中）如圖，在正六邊形中，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【思路分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC=∠BCA=30°，∠FAE=∠FEA=30°，求出∠CAE=30°．【解析】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，∴∠BAC=∠BCA=30°，∵AB∥CF，∴∠CAB=∠ACF=30°．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，求出∠B、∠BAF和∠F的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例題6：（2021·浙江·杭州市采荷中學(xué)九年級(jí)期中）下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為720°C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓D．不存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【答案】C【思路分析】根據(jù)正多邊形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的性質(zhì)分析，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)多邊形外角和的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)正多邊形與圓的性質(zhì)分析，即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正多邊形和外角的性質(zhì)分析，即可判斷選項(xiàng)D，從而得到答案．【解析】正九邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A不正確；任何多邊形的外角和都為360°，故選項(xiàng)B不正確；任何正多邊形都有一個(gè)外接圓，故選項(xiàng)C正確；等邊三角形的每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍，故選項(xiàng)D不正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、正多邊形與圓、外角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、正多邊形與圓、外角的性質(zhì)，從而完成求解．考向04弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算例題7：（2021·浙江·杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，半徑為10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為弧AB上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，若∠CDE為36°，則圖中陰影部分的面積為（）A．10π B．9π C．8π D．6π【答案】A【思路分析】連接OC交DE于F，證得四邊形ODCE是矩形，得到△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，推出，∠COE=∠CDE=36°，再利用扇形面積公式計(jì)算．【解析】解：如圖，連接OC交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，∴，∠COE=∠CDE=36°，∴陰影部分的面積=，故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的判定及性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算公式，熟記矩形的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例題8：（2021·江蘇宿遷·九年級(jí)期中）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)．若⊙O的面積為，，則△AMN周長(zhǎng)的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【思路分析】由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解．【解析】解：連接AC，⊙O的面積為6π，則圓的半徑為，則BD＝2＝AC，由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，BD⊥AC，過(guò)點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，∴CA′⊥AC，連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N為平行四邊形，則A′N＝CM＝AM，故△AMN的周長(zhǎng)＝AM+AN+MN＝AA′+1為最小，則A′A＝＝5，則△AMN的周長(zhǎng)的最小值為5+1＝6，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)M、N的位置是本題解題的關(guān)鍵．微練習(xí)微練習(xí)一、單選題1．（2021·天津?yàn)I海新·九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接AC，CD，AD，若，則的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．75°【答案】A【解析】解：連結(jié)BC，∵AB是⊙O的直徑，，∵∠ABC=∠ADC=75°，，故選A．2．（2021·浙江省寧波市實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC，BC為斜邊向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中點(diǎn)分別是M，N．連接DM，EN，若C在半圓上由點(diǎn)A向B移動(dòng)的過(guò)程中，DM：EN的值的變化情況是（）A．變大 B．變小C．先變大再變小 D．保持不變【答案】D【解析】解：如圖，連接OD，OE，OC．

∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°，DA＝DC，∵OA＝OC，∴OD垂直平分線段AC，∴點(diǎn)M在線段OD上，∴∠ODC＝45°，同法點(diǎn)N在OE上，∠OED＝45°，∴∠DOE＝90°，∵∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE，∵OM＝ON，∴DM＝EN，∴DM：EN的值不變．故選：D．3．（2021·廣東·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)期中）若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，⊙D是它的外接圓，⊙E是它的內(nèi)切圓，連接AE、BE，∵等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2，∴AB=4，∴在Rt△ABC中，，∵⊙E是內(nèi)切圓，∴EF=EG=ED，∴，∵，∴，即，∴．故選：B．4．（2021·江蘇玄武·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝62°，E是BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的度數(shù)為（）A．58° B．59° C．60° D．61°【答案】B【解析】解：連接CD，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∠A＝62°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝59°，故選：B．5．（2021·江西興國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n＝2020時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）【答案】B【解析】解：連接OA，∠AOH=30°，AH=2，∴OH=，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0），∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置，2020÷6=336…4，∴當(dāng)n=2020時(shí)，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，∴此時(shí)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），故選：B．6．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在⊙O上任取一點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，BO為半徑作圓弧分別交⊙O于C，D兩點(diǎn)；③連接CO，DO并延長(zhǎng)分別交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)；④順次連接BC，CF，F(xiàn)A，AE，ED，DB，得到六邊形AFCBDE．連接AD，EF，交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是．A．△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G B．∠FGA＝∠FOAC．點(diǎn)G是線段EF的三等分點(diǎn) D．EF＝AF【答案】D【解析】解：如圖，在正六邊形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，∵OF=OA=OE=OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等邊三角形，∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，∴四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥OA，∴△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G，故A正確，∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，∴∠FAD=90°，∵∠AFE=30°，∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正確，∵∠GAE=∠GEA=30°，∴GA=GE，∵FG=2AG，∴FG=2GE，∴點(diǎn)G是線段EF的三等分點(diǎn)，故C正確，∵AF=AE，∠FAE=120°，∴EF=AF，故D錯(cuò)誤，故答案為：D．7．（2021·山東巨野·九年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC及其內(nèi)切圓與外接圓構(gòu)成的圖形中，若外接圓的半徑為3，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵△ABC是等邊三角形，大⊙O是△ABC的外切圓，∴AO=OB=OC，∵小⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OM=ON=OP，∴∠AOC=120°，∠AON=∠BON=∠AOP=∠CON=60°，BN=CM=AP=CP，∴S陰影=S扇形AOC==3π，故選：B．8．（2021·河北古冶·九年級(jí)期中）如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：①以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓；②在⊙O上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合），連接AP；③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F(xiàn)．結(jié)論Ⅰ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點(diǎn)必能得到矩形；結(jié)論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點(diǎn)P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)【答案】D【解析】解：如圖，連接，，．．垂直平分，垂直平分，由“垂徑定理的逆定理”可知，和都是的直徑，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，故（Ⅰ）正確，觀察圖形可知當(dāng)，，觀察圖形可知，這樣的點(diǎn)不唯一（如下圖所示），故（Ⅱ）錯(cuò)誤，故選：D．二、填空題9．（2021·福建福清·九年級(jí)期中）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，下列四個(gè)結(jié)論正確的有_____．（填序號(hào)）①點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離是3；②CE＝BE；③CE長(zhǎng)的最大值2.4；④BE的長(zhǎng)的最小值是2﹣2．【答案】①③【解析】解：連接BC，取AC的中點(diǎn)T，連接ET，BT．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，故①正確，當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，BE＞CE，故②錯(cuò)誤，當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，CE的值最大，最大值＝＝＝2.4，故③正確，∵EC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵CT＝AT，∴ET＝AC＝2，∵BT＝＝＝，∴BE≥BT﹣ET＝﹣2，∴BE的最小值為﹣2．故④錯(cuò)誤，故答案為：①③．10．（2021·江蘇宿遷·九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊、分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】【解析】解：連結(jié).∵，∴∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)∴弧=弧∴∵∴∴又∵(同弧所對(duì)的圓周角相等）∴11．（2021·江蘇灌南·九年級(jí)期中）在RtABC中，∠C＝90°，AB＝5，周長(zhǎng)為12，那么△ABC內(nèi)切圓半徑為_(kāi)____．【答案】1【解析】解：設(shè)切點(diǎn)分別為D、F、E，連結(jié)OD，OF，OE在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AB+BC+AC=12，∴BC+AC=12-AB=12-5=7，∵AC,BCAB為圓的切線，∴AF=AE，BD=BE，CD=CF，OD⊥BC，OF⊥AC，∴CD+CF=BC+AC-AB=7-5=2，∴CD=1，∵∠C=90°，∠ODC=∠OFC=90°，∴四邊形CDOF為矩形，∵CD=CF，∴四邊形CDOF為正方形，∴△ABC內(nèi)切圓半徑r=CD=1．故答案為1．12．（2021·江蘇新吳·九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則△AMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．【答案】4【解析】解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為AC，由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N為平行四邊形，則A′N＝CM＝AM，故△AMN的周長(zhǎng)＝AM+AN+MN＝AA′+1為最小，則A′A3，則△AMN的周長(zhǎng)的最小值為3+1＝4，故答案為：4．13．（2021·山東青島·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，，分別與⊙O相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．已知，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__________．【答案】【解析】解：連接AC，OD，

∵四邊形BCD是正方形，

∴∠B=90°，

∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，

∵PA，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，

∴∠PAO=∠PDO=90°，

∴四邊形AODP是矩形，

∵OA=OD，

∴矩形AODP是正方形，

∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，

∴∠E=∠ACB=45°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∵AB=2，

∴AC=2AO=2，DE=CD=2，

∴AP=PD=AO=，

∴PE=3，∴圖中陰影部分的面積故答案為：5-π．14．（2021·江蘇新吳·九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)AC，點(diǎn)P為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC．當(dāng)△BPC為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】解：連接AC，延長(zhǎng)AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC為等腰直角三角形，∴，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，故答案為：．三、解答題15．如圖，是的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D為⊙O外一點(diǎn)，且，．

（1）求證：直線為⊙O的切線．（2）若DC=，AD=2，求⊙P的半徑．（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）4；（3）【解析】（1）證明：如圖1，連接PC，則∠APC=2∠B，∵2∠B+∠DAB=180°，∴∠APC+∠DAB=180°，∴AD∥PC，∵∠ADC=90°，∴∠DCP=90°，∴PC⊥DC，故直線CD為⊙P的切線；（2）如圖2，連接AC、PC，∵DC=，AD=2，∠ADC=90°，∴AC=∴∠CAD=60°，由（1）得AD∥PC，∴∠CAD=∠ACP=60°，又PA=PC，∴△APC是等邊三角形，∴PC=PA=AC=4，故⊙P的半徑是4；（3）∵S梯形ADCP=（AD+PC）×CD=（2+4）×=，S扇形APC==，∴S陰影部分=S梯形ADCP-S扇形APC=，故陰影部分的面積為．16．（2021·浙江·杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠D＝108°，連結(jié)AC．（1）求∠BAC的度數(shù)；（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的長(zhǎng)度；（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【答案】（1）∠BAC的度數(shù)為18°；（2）DC的長(zhǎng)度為；（3）．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC=108°，∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°－72°=18°；（2）如圖，連接OC，OD，∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，∴∠DOC=2∠DAC=90°，∵AB=8，∴OD=OC=OA=4，∴在中，；（3）∵∠DOC=90°，OD=4，∴S扇形OCD，又∵，∴S陰影=S扇形OCD－S△OCD=．17．（2021·湖北新洲·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，CD⊥AE交直線AE于D點(diǎn)．（1）求證：OC//AD；（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5．【解析】（1）連接BE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，∵點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∴EC=∴OC⊥EB，∴OC//AD；（2）設(shè)BE交OC于點(diǎn)T．∵CD⊥AD，∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，∴四邊形DETC是矩形，∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，∵OC⊥EB，∴BT＝TE＝2，設(shè)OB＝OC＝r，∴OT=OC-CT=r-1在Rt△BOT中，由勾股定理得：r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴AB＝2r＝5，即⊙O的直徑為5．18．如圖1，二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）．（2）若以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．①求a的值．②如圖2，點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接BE，將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△PMN（點(diǎn)P、M、N分別和點(diǎn)O、B、E對(duì)應(yīng)），并且點(diǎn)M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點(diǎn)F，若線段BF=2MF，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．③如圖3，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，以Q為圓心的圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且和直線CD相切，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）①；②，、，；③或【解析】解：（1），．（2）①以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為直角三角形，且；由知，、、，則：、、由勾股定理得：，即：，化簡(jiǎn)，得：，由，得：，②，拋物線的解析式：，．將繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，軸，且；設(shè)，則，，；，，化簡(jiǎn)，得：，解得：（舍去）、，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，，又到拋物線上，，，．③設(shè)⊙Q與直線的切點(diǎn)為，連接，過(guò)作于，如下圖：、，，即是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，即：；設(shè)，則，；得：，化簡(jiǎn)，得：，解得：；即點(diǎn)的坐標(biāo)為或．19．（2021·江蘇新吳·九年級(jí)期中）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段BC＝4，使用作圖工具作∠BAC＝30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后得到：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外）……小華同學(xué)畫(huà)出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為；②△ABC面積的最大值為；（2）經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫(huà)的角的頂點(diǎn)不在小華所畫(huà)的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明＞30°；（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)為AB＝2，BC＝4，點(diǎn)P在直線CD的左側(cè)，且∠DPC＝60°．①線段PB長(zhǎng)的最小值為；②若＝，則線段PD長(zhǎng)為．【答案】（1）①4；②；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②【解析】（1）解：①設(shè)O為圓心，連接B