等差等比數(shù)列的應(yīng)用測模擬試題

等差等比數(shù)列的應(yīng)用(2)【知識網(wǎng)絡(luò)】1、運用等差、等比數(shù)列的知識，解決數(shù)列實際問題模型；2、運用等差、等比數(shù)列的知識，用切合實際意義的語言表述問題的解；3、解決數(shù)列有關(guān)綜合性問題?！镜湫屠}】例1：（1）北京市為成功舉辦2022年奧運會，決定從2022年到2022年5年間更新市內(nèi)現(xiàn)有全部出租車，若每年更新的車輛數(shù)比前一年遞增10%，則2022年底更新車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的（參考數(shù)據(jù)1．14=1．461．15=1．61） （）A．20% B．18．8% C．16．4% D．10%答案:C。解析：設(shè)2022年底更新的車輛為x，總更新車輛數(shù)為a，則。（2）一條信息，若一人得知后用一小時將信息傳給兩個人，這兩個人又用一小時各傳給未知信息的另外兩個人，如此繼續(xù)下去，要傳遍100萬人口的城市，所需的時間大約為（）A、三個月B、一個月C、10天D、20小時答案:D。解析，每小時傳遞人數(shù)構(gòu)成數(shù)列2，4，8……所以n小時共傳遞人數(shù)，∴小時。（3）數(shù)列前n項的和為（ ）A． B． C．D．答案:B。解析：（4）某廠在1997年底制定生產(chǎn)計劃，要使2022年底的總產(chǎn)量在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長率為_________________,答案:。解析：令97年底的產(chǎn)量為1，則2022年底的產(chǎn)量為4，則。（5）樓梯共n級，每步只能上1級或2級，走完這n級樓梯共有種不同的走法，則的關(guān)系式為。答案：。解析：第n+1級樓梯只能由第n級及第級樓梯上來。例2：．等比數(shù)列共有偶數(shù)項，且所有項之和是奇數(shù)項之和的3倍，前3項之積等于27，求這個等比數(shù)列的通項公式。答案:S=3S奇S奇+qS奇=3S奇q=2又（aq）3=27∴aq=3a1=∴an=·2n-1=3·2n-2例3：某漁業(yè)公司年初用98萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用為12萬元，以后每年都增加4萬元，每年捕魚收益50萬元．（1）問第幾年開始獲利；（2）若干年后，有兩種處理方案：方案一：年平均獲利最大時，以26萬元出售該漁船；方案二：總純收入獲利最大時，以8萬元出售該漁船．問哪種方案合算？答案:（1）由題意知，每年的費用是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列．設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），則…．由題知獲利即為f（n）＞0，由，得．∵nN，∴n＝3，4，5，…，17．即第3年開始獲利．（2）方案一：年平均收入．由于，當且僅當n＝7時取“＝”號．∴（萬元）．即前7年年平均收益最大，此時總收益為12×7＋26＝110（萬元）．方案二：f（n）＝＋40n-98＝-2＋102．當n＝10時，f（n）取最大值102，此時總收益為102＋8＝110（萬元）．比較如上兩種方案，總收益均為110萬元，而方案一中n＝7，故選方案一．例4：設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項和最大？(lg2=03,lg3=04)答案:設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,m∈N*化簡得設(shè)數(shù)列{lgan}前n項和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+3lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n可見，當n=時，Sn最大而=5,故{lgan}的前5項和最大【課內(nèi)練習(xí)】1．已知數(shù)列滿足（nN*），則= （）A． B．0 C． D．答案:D。解析：∵從而知3為最小正周期，從而。2．數(shù)列的前項和為，若，則這個數(shù)列一定是() A．等比數(shù)列B．等差數(shù)列C．從第二項起是等比數(shù)列D．從第二項起是等差數(shù)列答案:A。解析：由得時，，即為等比數(shù)列。3．若數(shù)列的前8項的值各異，且對任意都成立，若，則下列數(shù)列中可以取遍的8項的值的數(shù)列為（）A．B． C．D．答案:B。解析：通過分析即可得。4．已知是遞增數(shù)列,且對任意都有恒成立,則實數(shù)的取值范圍是。答案。解析：當時，恒成立，∴5．一個凸n邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，公差為20度，且最小內(nèi)角為60°，則凸n邊形的邊數(shù)為。答案：4或9。解析：或9。6.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每20分鐘分裂一次(1個分裂為2個).經(jīng)過3小時,這種細菌由1個可繁殖成：。答案:512個。解析：形成的數(shù)列為1，2，4，8……7．正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2eq\r(Sn)＝an+1．試求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,an·an+1)，{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<eq\f(1,2)．解析:（1）∵an>0，，∴，則當n≥2時，即，而an>0，∴又（2）8．已知數(shù)列中，a1=，以an-1，an為系數(shù)的二次方程：an－1x2－anx+1=0都有實根、，且滿足3－+3=1。①求證：｛a－｝是等比數(shù)列；②求的通項。解析:①∵3（+）－=1∴3a=an-1+1an－=(an-1－)∴｛a－｝是等比數(shù)列②a－=·()n-1=()n∴a=()n+9．甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲，由于計算錯誤，在A、B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克，實際要求兩個噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個容量為1千克的藥瓶，他們從A、B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為，B噴霧器中藥水的濃度為。（1）證明：是一個常數(shù)；（2）求與的關(guān)系式；（3）求的表達式。解析：（1）開始時，A中含有10=千克的農(nóng)藥，B中含有10=千克的農(nóng)藥，n次操作后，A中含有千克的農(nóng)藥，B中含有千克的農(nóng)藥，它們的和應(yīng)與開始時農(nóng)藥的重量和相等，從而不（常數(shù)）。（2）第n次操作后，A中10千克的藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式：由（1）知，代入化簡得①（3）令，利用待定系數(shù)法可求出λ=—9，所以，可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。由①，由等比數(shù)列的通項公式知：，所以。10．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…)(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求數(shù)列{bn}的通項bn；(3)求和b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1解析(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t∴a2=又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，n≥2 ①3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t n≥3 ②①－②得3tan－(2t+3)an－1=0∴,n=2,3,4…,所以{an}是一個首項為1公比為的等比數(shù)列；(2)由f(t)==,得bn=f()=+bn－1可見{bn}是一個首項為1，公差為的等差數(shù)列于是bn=1+(n－1)=;(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首項分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b2n=,∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)=－(b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－(2n2+3n)【作業(yè)本】A組1．已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛an｝中,公比q=2,a1·a2·a3·…·a30=245,則a1·a4·a7·…·a28=（）A25B210C215答案:C。解析：∴。2．已知實數(shù)滿足，那么實數(shù)是（ ）A．等差非等比數(shù)列 B．等比非等差數(shù)列C．既是等比又是等差數(shù)列 D．既非等差又非等比數(shù)列答案:A。解析：。3．設(shè)數(shù)列{xn}滿足，且，則的值為（）A．100aB．101a2C．101a答案:D。解析：4．如圖，一個計算裝置有兩個數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運算結(jié)果輸出口Ⅲ，當Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)時，輸出結(jié)果記為，且計算裝置運算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則；②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大3；③若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍。則=．答案：。解析：5．一個類似于楊輝三角的三角形數(shù)組(如圖)滿足：當n>2時,①第n行首尾兩數(shù)均為n；②中間各數(shù)都等于它肩上兩數(shù)之和．則第n行第2個數(shù)是．1223434774答案：＋1。解析：考慮前n－1行的第1個數(shù)之和與第n行第2個數(shù)的關(guān)系。6．設(shè)數(shù)列｛an｝中，首項a1=1，點均在直線上。（1）求的值（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式答案:（1）由在上得（2）是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴。7．自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響．用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N＊，且x1>0．不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．⑴求xn＋1與xn的關(guān)系式；⑵猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）。答案:：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為，因此①即②（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由①式得因為x1>0，所以a>b.猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.8.從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。(Ⅰ)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達式(Ⅱ)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?答案:第1年投入800萬元，第2年投入800×(1-)萬元……，第n年投入800×(1－)n－1萬元,所以總投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］,同理：第1年收入400萬元，第2年收入400×（1＋）萬元，……，第n年收入400×（1＋）n－1萬元,bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0化簡得，5×（）n＋2×（）n－7＞0設(shè)x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5.B組1．是成等比數(shù)列的（ ）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案:B.解析：若，則不能推出成等比數(shù)列。2．某城市郊區(qū)冬季種植番茄供應(yīng)城市市場，當市場價格上漲時，市場供給量增加，市場需求量減少，具體調(diào)查結(jié)果如下表：表（1）市場售價與供給量的關(guān)系表（2）市場售價與需求量的關(guān)系單價（元/公斤）24供給量（噸）單價（元/公斤）24供給量（噸）506070758090單價（元/公斤）42需求量（噸）506065707580 A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）答案:C提示：市場供需平衡必須在單價相同的前提下考慮．3．設(shè)是一次函數(shù)，若則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（）A．n(2n+3) B．n(n+4) C．2n(2n+3) D．2n(n+4)答案:A。解析：由，可令，由成等比數(shù)列，則。4．已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1,則m的取值范圍是_________答案:(8，+∞)解析，即。5．從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒次后才能使酒精濃度低于10%。答案：4次。解析：設(shè)開始濃度為1，操作一次后溶液的濃度是，設(shè)操作n次后，溶液濃度為，則，得。6．已知f(x＋1)＝x2－4，等差數(shù)列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq\f(3,2)