黑龍江省哈爾濱市重點中學2022-2023學年高二下學期4月月考數(shù)學試題及參考答案

級高二下學期4月月考數(shù)學試題（考試時間：120分鐘 滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知等差數(shù)列10，9，8，7，6，……，則該數(shù)列的公差是（）A．0.5 B．1 C．－1 D．－0.52．已知，，且A與B相互獨立，則（）A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.883．已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前9項和（）A．9 B．18 C．36 D．724．成對樣本數(shù)據(jù)Y和x的一元線性回歸模型是，則下列四幅殘差圖滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差e的假定的是（）A． B．C． D．5．古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，所以都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列。類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．646．已知數(shù)列滿足：對任意的m，，都有，且，則（）A． B． C．7．某大學畢業(yè)生為自主創(chuàng)業(yè)于2019年8月初向銀行貸款360000元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進行還款，從2019年9月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為0.5%，現(xiàn)因經(jīng)營狀況良好準備向銀行申請?zhí)崆斑€款，計劃于2024年8月初將剩余貸款全部一次還清，則該大學畢業(yè)生按現(xiàn)計劃還款的所有還款數(shù)額比按原約定還款的所有還款數(shù)額少（）（注：“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率。1年按12個月計算）A．27450元 B．22450元 C．18300元 D．28300元8．已知等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且前三項和為9，前三項積為24，數(shù)列的前n項和為且，則（）A．當時，的值最小 B．當時，的值最大C．當時，的值最小 D．無最值二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．設公比為q的等比數(shù)列，若則（）A． B．當時，C．和的等比中項為4 D．10．設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A． B． C． D．11．已知為數(shù)列前n項和，則下列結(jié)論成立的有（）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列為等差數(shù)列，若，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，其前10項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為9：8，且，則公差為2D．若數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的前100項和12．已知歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：，，則（）A． B．n為素數(shù)時，C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個小題，每小題5分，共20分．13．已知數(shù)列的前n項和為，且，則。14．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則。15．甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加學校組織的朗誦比賽，決出第1名到第5名的名次。甲和乙去詢問成績，評委對甲說：“很遺憾你和乙都沒得到冠軍?！睂σ艺f：“你當然不會是最差的?！睆倪@兩個回答分析，5人的名次排列有種不同情況。（用數(shù)字作答）16．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，函數(shù)定義域為R，對任意都有．若，則的值為．四、解答題：本題共有6個小題，共70分．17．（本小題10分）等比數(shù)列的公比為2，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18．（本小題12分）在①，②，③這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并進行解答．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，證明數(shù)列的前n項和．19．（本小題12分）某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A、B兩名同學中產(chǎn)生，測試方案如下：A、B兩名學生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率是，A、B兩名同學作答問題相互獨立．（1）設A答對的題數(shù)為X，求X的分布列；（2）設B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生，并說明理由。20．（本小題12分）已知數(shù)列滿足．數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求的前n項和．21．（本小題12分）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前n項之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求對所有的正整數(shù)n都有成立的k的范圍．22．（本小題12分）如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學生更是頻頻使用網(wǎng)絡外賣服務．A市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡外賣在該市各大學的發(fā)展情況，在某月從該市大學生中隨機調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡外賣消費金額不超過3000元）：消費金額（單位：元）頻數(shù)2035251055（1）由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學生網(wǎng)絡外賣消費金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）．現(xiàn)從該市任取20名大學生，記其中網(wǎng)絡外賣消費金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望；（2）A市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學生每人發(fā)放價值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關，送大獎”的活動．活動規(guī)則是：某張方格圖上共61個方格，依次記為第0格、第1格、第2格、…、第60格．棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從k到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從k到）．重復多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認為“闖關成功”，并贈送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第60格，則認為“闖關失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束。①設棋子移到第n格的概率為（其中），求證：當時，是等比數(shù)列；②若某大學生參與這檔“闖關游戲”，試比較該大學生闖關成功與闖關失敗的概率大小，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．2021級高二下學期4月月考數(shù)學試題答案1-8．C B C B A B A C9-12．ABD ABC ACD ABC13-16．9；3；54；17．【答案】（1）， （2）【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且，，成等差數(shù)列，∴，∴，解得，∴，：（2），∴．綜上，．18．【答案】（1）， （2）【詳解】（1）由于是等差數(shù)列，設公差為d，當選①②時：，解得，所以的通項公式，．選①③時，解得，所以的通項公式，．選②③時，解得，所以的通項公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，∵∴19．【答案】（1）略 （2）選擇A同學，理由見解析【詳解】（1）設A答對的題數(shù)X，則，且，，則X的分布列為：X23P（2）設B答對的題數(shù)Y，且，，，，由（1）知：，，而，，所以，，故選擇A．20．【答案】（1），【詳解】（1）由題可知，①，所以，②，①－②得，所以（*），又因為，所以，符合（*）式，所以，．∵，∴，則，所以為等比數(shù)列．又因為，所以，（2）由（1）可知，∴21．【答案】（1）， （2）【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，，∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，化為：，，解得．又滿足，∴，即，解得，∴，（），∵數(shù)列的前n項之積為，∴，∴，即，∴是以2為公差的等差數(shù)列．又，即，（2）由（1）知，所以恒成立，所以數(shù)列單調(diào)遞減，即又因為對所有的正整數(shù)n都有成立，所以，由可得，若恒成立，只需即可，又，當且僅當，即時成立所以22．【答案】（1）16.372；（2）①證明見解析；②闖關成功的概率大于闖關失敗的概率，理由見解析．【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由Z服從正態(tài)分布，算出概率，即，進而算出X的數(shù)學期望；（2）①棋子開始在第0格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即．棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，所以，即，進而求證當時，是等比數(shù)列；②由①知，，，…，，得，所以，算出相應概率判斷出闖關成功的概率大于闖關失敗的概率．【詳解】解：（1），因為Z服從正態(tài)分布，所以．所以，所以X的數(shù)學期