圓錐曲線的解題方法

圓錐曲線的解題方法導(dǎo)語：定義中提到的定點(diǎn)，稱為圓錐曲線的焦點(diǎn);定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線;固定的常數(shù)（即圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離比值）稱為圓錐曲線的離心率;焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距;焦點(diǎn)到曲線上一點(diǎn)的線段稱為焦半徑。過焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)線的直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學(xué)中又稱為正焦弦。做好圓錐曲線的題，主要從以下四個(gè)方面入手：一.牢記核心知識(shí)好多同學(xué)在做圓錐曲線題時(shí)，特別是小題，比如橢圓，雙曲線離心率公式和范圍記不清，焦點(diǎn)分別在軸，軸上的雙曲線的漸近線方程傻傻分不清，在做題時(shí)自然做不對。所以核心知識(shí)必須記清楚，記準(zhǔn)確。建議在這章學(xué)習(xí)時(shí)多畫圖，把基礎(chǔ)性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)盡可能的標(biāo)注在圖上，這樣記憶更加方便，深刻，也可以通過作圖來檢驗(yàn)自己是否記住。二.計(jì)算能力與速度這一章計(jì)算能力強(qiáng)的同學(xué)學(xué)習(xí)起來相對輕松一些，但是計(jì)算能力是可以通過多做題來提升的。后期可以嘗試訓(xùn)練自己口算得到聯(lián)立后的二次方程，然后得到判別式，兩根之和，兩根之積的整式。三.思維套路拿到圓錐曲線的題，很多同學(xué)說無從下手，從表面感覺很難。老師建議：山重水復(fù)疑無路，沒事你就算兩步。大部分的圓錐曲線大題，都有共同的三部曲：一設(shè)二聯(lián)立三韋達(dá)定理。一設(shè)：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，直線方程為：二聯(lián)立：通過快速計(jì)算或者口算得到聯(lián)立的二次方程。三韋達(dá)定理：得到二次方程后立馬得出判別式，兩根之和，兩根之積。走完三部曲之后，在看題目給出了什么條件，要求什么。例如涉及弦長問題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式);涉及弦的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.總結(jié)起來：找值列等量關(guān)系，找范圍列不等關(guān)系，通常結(jié)合判別式，基本不等式求解。一、求圓錐曲線方程(1)軌跡法：設(shè)點(diǎn)建立方程，化簡證明求得。例題：動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)A(3,0)的距離比它到定直線x=-5的距離少2。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解析：依題意可知，{C},由題設(shè)知{C},{C}{C}。(2)定義法：根據(jù)圓錐曲線的定義確定曲線的形狀。上述例題同樣可以由定義法求出曲線方程：作直線x=-3,則點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線x=-3的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以x=-3為準(zhǔn)線的拋物線。(3)待定系數(shù)法：通過題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)系式，待定參數(shù)即可。例1：已知點(diǎn)(-2,3)與拋物線{C}的焦點(diǎn)的距離是5,則1JP二。解析：拋物線(｝的焦點(diǎn)為｛C｝,由兩點(diǎn)間距離公式解得P=4。例2：設(shè)橢圓｛C｝的右焦點(diǎn)與拋物線(｝的焦點(diǎn)相同，離心率為｛C｝，則橢圓的方程為。解析：拋物線(｝的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，所以橢圓焦半徑為2，故離心率(｝得m=4,而｛C｝，所以橢圓方程為｛C｝。二、圓錐曲線最值問題(1)化為求二次函數(shù)的最值根據(jù)已知條件求出一個(gè)參數(shù)表示的二次函數(shù)解析式，用配方法求出在一定范圍自變量下函數(shù)的最值。例題：曲邊梯形由曲線｛C｝及直線x=1,x=2所圍成，那么通過曲線上哪一點(diǎn)作切線，能使此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)最大面積的普通梯形。解析：設(shè)切點(diǎn)｛C｝，求出切線方程｛C｝，再求出這條切線與直線x=1,x=2的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)梯形面積公式列出函數(shù)關(guān)系式：梯形面積二｛C｝，從而得出結(jié)論。(2)利用圓錐曲線性質(zhì)求最值先利用圓錐曲線的定義性質(zhì)列出關(guān)系式，再用幾何或代數(shù)方法求最值。例題：已知雙曲線｛C｝的右焦點(diǎn)為F，有一點(diǎn)A(9,2)。試在雙曲線上求一點(diǎn)M，使｛C｝的值最小。解析：設(shè)點(diǎn)M到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d,由雙曲線的第二定義有d=｛C｝,｛C｝》點(diǎn)A到點(diǎn)M對應(yīng)準(zhǔn)線的距離｛C｝(點(diǎn)A在對應(yīng)準(zhǔn)線上的投影為點(diǎn)A’)。所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為人人’與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí)，｛C｝的值最小。(3)化為一元二次方程，用根的判別式求最值將最值問題轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)量的一元二次方程，利用根的判別式求量范圍求解。例題：直線y=x+9,橢圓C焦點(diǎn)為F1(-3,0),F2(3,0),求與直線有公共點(diǎn)M的橢圓中最短長軸。解析：直線與橢圓有公共點(diǎn)，根據(jù)題意可聯(lián)立方程組｛C｝｛C｝，由條件得｛C｝，所以橢圓的最短長軸為｛C｝。(4)利用不等式求最值列出最值滿足的關(guān)系式，利用平均值不等式中等號成立的條件求最值。在使用平均值不等式求最值時(shí)要滿足三個(gè)條件：①每一項(xiàng)都要取正值;②不等式的一邊為常數(shù);③等號能夠成立。例題：定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線｛C｝上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，則M到y(tǒng)軸的最短距離。解析：設(shè)點(diǎn)A｛C｝，點(diǎn)B｛C｝，｛C｝，長｝，當(dāng)且僅當(dāng)｛C｝時(shí)取得最小值。所以｛C｝，點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離最小值為｛C｝。三、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。例題1：過點(diǎn)(2,4)作直線與拋物線｛C｝只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有 條。解析：由于點(diǎn)(2,4)在拋物線上，其次只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括直線平行于拋物線的對稱軸，和拋物線交于一點(diǎn)的直線，故有2條。例題2：直線y=kx+1與橢圓｛C｝恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是 。解析：直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以聯(lián)立方程｛C｝恒成立，即(｝恒成立，所以長｝且(｝。四、求參數(shù)的取值范圍與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)范圍問題常用兩種解法：(1)不等式(組)求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍。(2)函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求參數(shù)的變化范圍。例題：已知點(diǎn)人(2，0)和拋物線｛C｝上兩點(diǎn)B、C,使得ABLBC，求點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍。解析：由于B、C是拋物線上兩個(gè)相關(guān)的點(diǎn)，所以可通過B點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于C點(diǎn)縱坐標(biāo)的不等式求解。設(shè)點(diǎn)B｛C｝,點(diǎn)C｛C｝,｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝。解得｛C｝或｛C｝。五、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系｛C｝;如：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4,求P點(diǎn)的軌跡方程。根據(jù)題意直接列式：｛C｝。(2)待定系數(shù)法：已知所有曲線的類型，根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由已知條件確定其待定系數(shù)。如：線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M(m,0)(m>0)，端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，求此拋物線的方程。(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。(4)代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)｛C｝依賴于另一動(dòng)點(diǎn)｛C｝的變化為變化，并且2｝又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示｛C｝，再將｛C｝代入已知曲線求得軌跡方程。(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)｛C｝坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x,y均用一中間變量(參數(shù))表示，得到參數(shù)方程，再消去參數(shù)得軌跡方程。六、定點(diǎn)定值問題在幾何問題中，有些幾何量和參數(shù)無關(guān)，從而構(gòu)成定值問題，解決這類問題長用取參數(shù)和特殊值來確定定值的多少，或?qū)⒃搯栴}涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式是恒定的。這類問題通常有兩種出來方法：(1)從特殊入手，求含變量定點(diǎn)定值，再證明這個(gè)定點(diǎn)定值與變量無關(guān)。(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)定值。例題：過拋物線｛C｝的焦點(diǎn)尸作直線1交拋物線于