《電動(dòng)力學(xué)》大學(xué)本科課件6

第六章狹義相對(duì)論SpecialTheoryofRelativityAlbert·Einstein阿爾伯特·愛因斯坦(1879—1955)相對(duì)論的創(chuàng)始人:Albert·Einstein〔阿爾伯特·愛因斯坦〕1905年，狹義相對(duì)論〔SpecialTheoryofRelativity〕1916年，廣義相對(duì)論(GeneralTheoryofRelativity)“IfrelativityisprovedrighttheGermanswillcallmeaGerman，theSwisswillcallmeaSwisscitizen，andtheFrenchwillcallmeagreatscientist.IfrelativityisprovedwrongtheFrenchwillcallmeaSwiss，theSwisswillcallmeaGerman，andtheGermansandthewillcallmeaJew.〞

—Albert·Einstein前幾章中，我們討論了經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的根本理論和有關(guān)規(guī)律，但是討論的范圍限于“靜止〞介質(zhì)中的電磁場(chǎng)。本章將著重討論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)，即研究時(shí)空理論，闡述狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)根底、根本原理、數(shù)學(xué)工具和相對(duì)論電動(dòng)力學(xué)。本章將著解決電動(dòng)力學(xué)中的幾個(gè)問題：第一,麥克斯韋方程組究竟對(duì)于哪一個(gè)參考系是正確的？第二，從一個(gè)參考系變換到另一個(gè)參考系時(shí)，根本規(guī)律的形式如何改變？第三，根本物理量如何變換？本章內(nèi)容狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)根底狹義相對(duì)論的根本原理閔可夫斯基空間和洛侖茲變換相對(duì)論的時(shí)空性質(zhì)相對(duì)論力學(xué)電磁規(guī)律的相對(duì)性理論§6.1狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)根底ExperimentFoundationsoftheSpecialTheoryofRelativity1、經(jīng)典力學(xué)的相對(duì)性原理大家知道，自由粒子在其中作勻速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系稱為慣性系。經(jīng)典力學(xué)中的一個(gè)根本原理也就是伽利略相對(duì)性原理,它表示：運(yùn)動(dòng)定律從一個(gè)慣性系變換到另一個(gè)慣性系時(shí)，運(yùn)動(dòng)定律的形式保持不變。也就是說，一切作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的慣性系是等價(jià)的。在牛頓力學(xué)中，認(rèn)為空間距離和時(shí)間間隔是絕對(duì)的,與參考系無關(guān)。這種認(rèn)為也稱絕對(duì)時(shí)空觀。為了精確地研究物質(zhì)在空間和時(shí)間中的運(yùn)動(dòng)過程，我們從物質(zhì)運(yùn)動(dòng)中抽象出“事件〞的概念。在無限小的空間元中無限短瞬間內(nèi)發(fā)生的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程叫做一個(gè)事件。物質(zhì)運(yùn)動(dòng)可看作是一連串事件在時(shí)空中的開展過程，在一個(gè)參考系中，總是用一定的時(shí)間t和空間(x,y,z)來描述一個(gè)事件。

在牛頓絕對(duì)時(shí)空觀中要求：a)時(shí)間是絕對(duì)的兩個(gè)事件在系中的時(shí)間間隔和在∑系〔相對(duì)于∑的運(yùn)動(dòng)速度為v〕中的時(shí)間間隔相同，即如果兩事件在∑系中是同時(shí)的〔〕，那么系中也是同時(shí)的〔〕，同時(shí)性是絕對(duì)的。這就是說，假設(shè)宇宙中各處存在著一個(gè)跟參考系的選擇無關(guān)的、不受物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程影響的、統(tǒng)一的普適時(shí)間，時(shí)間與空間沒有任何聯(lián)系；不管有無任何其他客體，絕對(duì)的、真實(shí)的時(shí)間本身，永遠(yuǎn)無條件的、均勻地流逝著。b)長(zhǎng)度是絕對(duì)的在給定時(shí)刻，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)∑系中的距離和它在系中的距離相同，即這就是說，假設(shè)長(zhǎng)度〔或兩個(gè)同時(shí)事件之間的距離〕與參考系選擇無關(guān)；物質(zhì)的廣延性不受其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。2、伽利略變換如果兩個(gè)慣性系和∑的坐標(biāo)軸彼此平行，在時(shí)，兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，并且系相對(duì)于∑系的沿x軸方向運(yùn)動(dòng)。P(x,y,z,t,x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’設(shè)在P點(diǎn)站著一人，按了一個(gè)閃光燈，在∑系中觀察者看來，按燈的這個(gè)現(xiàn)象發(fā)生于t時(shí)刻、〔x,y,z〕點(diǎn)；在系中觀察者看來，按燈這個(gè)現(xiàn)象發(fā)生于t’時(shí)刻、〔x’,y’,z’〕點(diǎn)；這兩組數(shù)〔x,y,z,t〕與〔x’,y’,z’,t’〕之間的關(guān)系是與時(shí)空觀有關(guān)的。根據(jù)經(jīng)典時(shí)空觀，得到寫成矢量形式為：這就是伽利略變換，它集中地反映了牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀。根據(jù)伽利略變換，可得事件的速度變換：即在牛頓力學(xué)中，認(rèn)為物體的質(zhì)量和它的速度無關(guān)，于是可得：即這說明牛頓力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)方程在伽利略變換下根本方程保持形式不變。3、邁克爾遜—莫雷〔Michelson-Morley)實(shí)驗(yàn)由于在伽利略變換下，Maxwell’sequations不能保持其形式不變，這是因?yàn)閺腗axwell’sequations得到電磁波在真空中的傳播速度為c的結(jié)論。如果Maxwell’sequations在伽利略變換下保持不變，那么在任何慣性系中電磁波在真空中的各個(gè)方向速率都應(yīng)該等于c，那么在另一個(gè)與它有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系中，該電磁波的傳播速度不可能各向都是c。由此可見，在不同的慣性系中，電動(dòng)力學(xué)的規(guī)律并不相同。如果確實(shí)如此，從牛頓絕對(duì)時(shí)空觀出發(fā)，電磁波只能夠?qū)σ粋€(gè)特定參考系的傳播速度為c，進(jìn)而Maxwell’sequations也就只能對(duì)該特殊參考系成立。電磁現(xiàn)象不服從傳統(tǒng)的相對(duì)性原理。歷史上，把這個(gè)在絕對(duì)時(shí)間和絕對(duì)空間〔長(zhǎng)度〕假設(shè)下得出的、Maxwell’sequations和電磁波傳播速度各向同性定律在其中成立的特殊參考系，稱為絕對(duì)參考系。然而，絕對(duì)參考系是對(duì)哪個(gè)參照物建立的呢？當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為傳播電磁波的媒質(zhì)是以太，電磁波傳播速度c是對(duì)以太這一特殊參考系而言的。也就是說，以太就是那個(gè)絕對(duì)參考系。為了找出或證明這個(gè)絕對(duì)慣性系的存在，邁克爾遜〔michelson〕和莫雷〔Morley〕于1887年利用靈敏的干預(yù)儀，企圖用光學(xué)方法測(cè)定地球的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。假定以太相對(duì)太陽靜止，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就是地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)的根本思想是：地球以30千米/秒的速度通過以太運(yùn)動(dòng)，地面上的觀察者將會(huì)感到“太陽風(fēng)〞，并且其運(yùn)動(dòng)方向要隨季節(jié)而異，在略去地球自轉(zhuǎn)及其他不均勻運(yùn)動(dòng)所引起的偏差后，地球的運(yùn)動(dòng)在實(shí)驗(yàn)持續(xù)的時(shí)間內(nèi)可以看做是勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而地球可看作是一個(gè)慣性系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)時(shí)先使干預(yù)儀的一臂與地球的運(yùn)動(dòng)方向平行，另一臂與地球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，按照經(jīng)典的理論，在運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)中，光速應(yīng)該各向不同，因而可看到干預(yù)條紋；再使整個(gè)儀器轉(zhuǎn)過π/2，就應(yīng)該發(fā)現(xiàn)條紋的移動(dòng)，由條紋移動(dòng)的總數(shù)，就可算出地球運(yùn)動(dòng)的速度v.實(shí)驗(yàn)裝置：說明：由光源S發(fā)出的光線在半反射鏡M上分為兩束，一束通過M，被M1反射回到M，再被M反射而SlMlM1M2T到達(dá)目鏡T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直達(dá)目鏡T。調(diào)整兩臂長(zhǎng)度使有效光程為MM1=MM2=l.設(shè)地球相對(duì)于以太的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度沿MM1方向，那么由于光線MM1M與MM2M的傳播時(shí)間不同，因而有光程差，在目鏡T中將觀察到干預(yù)效應(yīng)。當(dāng)?shù)厍蛳鄬?duì)于以太的速度為v運(yùn)動(dòng)時(shí)，可看出光線MM1和M1M間猶為如順?biāo)湍嫠兄?，它相?duì)于儀器的速度應(yīng)各自為(c-v)和(c+v)，如果MM1的長(zhǎng)度為l時(shí)，那么光通過距離MM1+M1M所需的時(shí)間為

光往返于MM2和M2M間猶為橫渡流水，在以太系看來光所走路經(jīng)為M’M2M〞，當(dāng)MM2的長(zhǎng)度為l時(shí)，光通過距離M’M2+M2M〞所需的時(shí)間是t2，即M’MM”lM2M’2那么因?yàn)?，故作二?xiàng)式展開，得兩束光的光程差〔回到M點(diǎn)的時(shí)間差〕把儀器繞豎直軸旋轉(zhuǎn)π/2，那么MM2變成沿地球運(yùn)動(dòng)方向，MM1垂直于地球運(yùn)動(dòng)方向。這樣沿MM2和MM1進(jìn)行的光往返各需的時(shí)間為：兩束光回到M點(diǎn)的時(shí)間差為：有了光程差，在目鏡處應(yīng)該觀察到干預(yù)條紋的移動(dòng)個(gè)數(shù)。當(dāng)時(shí)間差的改變量是光波的一個(gè)周期τ時(shí)，就引起一條干預(yù)條紋的移動(dòng)，所以條紋移動(dòng)的總數(shù)為：式中λ是光波的波長(zhǎng)，當(dāng)l=11米，λ=5.9×10-7米，v=3×10-4米/秒，c=3×108米/秒，得到而實(shí)驗(yàn)觀察到只有小到移動(dòng)條條紋的1/100，但從來也沒有看到過0.4個(gè)條紋的移動(dòng)。因此，可以得到結(jié)論：測(cè)不出地球的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，或者說地球相對(duì)于絕對(duì)參考系的速度為零。由此可見，邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)否認(rèn)了物殊參考系—以太的存在，并說明光速不依賴于觀察者所在參考系，也就是說Maxwell’sequations在地球上始終是正確的，而且在地球上真空光還始終是c=2.99792×108米/秒，從而也否認(rèn)了伽利略變換的絕對(duì)正確性?！?.2狹義相對(duì)論的根本原理FundamentalPrinciplesofTheSpecialTheoryofRelativity1、AlbertEinstein的選擇由牛頓時(shí)空觀出發(fā)，在伽利略變換下，一切力學(xué)規(guī)律對(duì)所有的慣性系都有相同的形式，但電磁學(xué)卻不服從伽利略相對(duì)性原理。從邏輯上說，對(duì)同一種變換，力學(xué)規(guī)律有相同的形式，而電磁學(xué)規(guī)律的形式卻不相同，這是不可思義的。這個(gè)矛盾的存在有兩種可能性：一種可能性是Maxwell給出的電動(dòng)力學(xué)定律并不正確，而Galileantransformation是正確的；另一種可能性是Maxwelltheory是正確的，但力學(xué)規(guī)律在高速〔v→c〕情況下并不正確，Galileantransformation在高速情況下，也不正確，應(yīng)存在一種新的變換，在新變換形式下，電動(dòng)力學(xué)規(guī)律服從相對(duì)性原理。AlbertEinstein面對(duì)這兩條路，他大膽地選擇第二條道路，在1905年提出了新的時(shí)空理論—thespecialtheoryofrelativity.2、AlbertEinstein建立相對(duì)論的思想根底狹義相對(duì)論主要是討論時(shí)空的理論。而時(shí)間和空間都是均勻的，對(duì)這均勻性如何理解？所謂空間的均勻性：就是說在一個(gè)實(shí)驗(yàn)室所做的實(shí)驗(yàn)和在另一個(gè)實(shí)驗(yàn)室所做同樣的實(shí)驗(yàn)將有相同的結(jié)果。并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果不依賴于實(shí)驗(yàn)所取的方位，這就意味著，自然界的定律在旋轉(zhuǎn)和平移下是不變的，因而線動(dòng)量、角動(dòng)量都是守恒的。所謂時(shí)間的均勻性：就是說昨天所做的實(shí)驗(yàn)將和今天所做同樣的實(shí)驗(yàn)有相同的結(jié)果。這就意味著，自然界的定律在時(shí)間平移下是不變的，從而導(dǎo)致了能量守恒。AlbertEinstein所建立的相對(duì)論，就是在以下思想根底之上的，即時(shí)空具有更深刻地均勻性，自然定律在時(shí)空的四維“空間〞的一組變換Lorentztransformation下是不變的，時(shí)空中的旋轉(zhuǎn)和平移是這類變換的特殊情形。3、狹義相對(duì)論的根本原理根據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，AlbertEinstein提出了如下兩條根本假設(shè)：a)一切物理規(guī)律，無論是力學(xué)的，還是電磁學(xué)的，對(duì)于所有慣性系都具有相同的數(shù)學(xué)形式，這就是相對(duì)性原理。b)在所有慣性系中，真空中的光速在任何方向上都恒為c，并與光源的運(yùn)動(dòng)無關(guān)，這就是光速不變?cè)?。這兩條根本假設(shè)構(gòu)成了AlbertEinstein的狹義相對(duì)論，是因?yàn)檫@個(gè)原理限于相互作勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系。如果取消這限制就是廣義相對(duì)論〔包括萬有引力作用〕，這不在本書的討論范圍之內(nèi)。狹義相對(duì)論批判地繼承和創(chuàng)造性地開展了牛頓、麥克斯韋理論，它不僅能統(tǒng)一地解釋已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果而不發(fā)生新的矛盾，而且還可以導(dǎo)出一系列新的普遍性的結(jié)果，預(yù)言一系列新的事實(shí)，已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證示。狹義相對(duì)論把一系列牛頓絕對(duì)時(shí)空融為一體，相對(duì)論的一切結(jié)果，在v<<c或在形式上c→∞時(shí)，都與牛頓時(shí)空理論結(jié)果相同，這表達(dá)了物理理論開展中新舊理論之間的辯證關(guān)系。幾十年來，物理學(xué)家就這兩條假設(shè)不斷地進(jìn)行了許多實(shí)驗(yàn)性的探索。1963年沙姆本萊〔champeney〕等及后來1970年依薩克〔Issak〕利用穆斯堡爾〔〕效應(yīng)測(cè)定裝在迅速轉(zhuǎn)動(dòng)的園盤直徑兩端的放射源與吸收劑之間的γ射線頻譜來尋找地球的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的精度超過了最好的邁克爾遜—莫雷類型實(shí)驗(yàn)的300倍。也始終測(cè)不出地球的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。從而有力地支持了狹義相對(duì)論的第一條根本假設(shè)—相對(duì)性原理。1964年在歐洲原子核中心，測(cè)量由同步加速器產(chǎn)生的高速運(yùn)動(dòng)πo介子衰變時(shí)產(chǎn)生的6Gev光子的速率，πo介子的速率為0.99975c，通過測(cè)量光子飛行80m所需的時(shí)間，得到從高速的πo介子輻射出的光子的速率仍等于c,這明確地支持了狹義相對(duì)論的第二個(gè)根本假設(shè)—光速不變?cè)怼！?.3閔可斯基空間和洛侖茲變換MinkowskiSpaceandLorentzTransformation本節(jié)將從AlbertEinstein的兩個(gè)根本假設(shè)出發(fā)，建立狹義相對(duì)論的理論框架。

1、間隔不變性(intervalinvariance)假設(shè)有兩個(gè)慣性參考系∑和∑’，∑’相對(duì)于∑沿x軸正向以勻速運(yùn)動(dòng)，把兩個(gè)坐標(biāo)完全重合的時(shí)刻選作兩個(gè)坐標(biāo)系時(shí)間t和t’的起算點(diǎn)。x,x’0’0zz’y∑y’∑’當(dāng)∑’和∑的坐標(biāo)原點(diǎn)0’，0重合時(shí)〔t=t’=0)發(fā)出一光脈沖，根據(jù)光速不變?cè)恚凇葡涤^察者看來，任何時(shí)間t光的波前皆為一球面，即也就是：而在∑’系觀察者看來，因?yàn)楣饷}沖也是在∑’系的原點(diǎn)0’發(fā)出，根據(jù)光速不變?cè)?，任何時(shí)刻t’光的波前同樣是球面，即或者因?yàn)闀r(shí)間和空間是均勻的，而且空間是各向同性的，這就意味著∑系和∑’系之間的時(shí)空變換必須是線性的。通過線性變換可知：對(duì)于以光信號(hào)聯(lián)系的兩事件上的兩個(gè)二次式，從兩個(gè)慣性系觀察都等于零，因此必然相等。即對(duì)于不以光信號(hào)聯(lián)系的其他事件，從兩慣性系觀察，它們雖然不等于零，但由于時(shí)空坐標(biāo)變換是線性的。這兩個(gè)二次式至多只能相差一個(gè)系數(shù)A。即其中系數(shù)A僅與兩個(gè)慣性系的相對(duì)速度的絕對(duì)值有關(guān)，系數(shù)A不可能與坐標(biāo)或時(shí)間有關(guān)。否那么空間的不同點(diǎn)及時(shí)間的不同時(shí)刻就不等價(jià)了，這與時(shí)間，空間的均勻性相矛盾。另外，系數(shù)A也不可能與慣性系的相對(duì)速度的方向有關(guān)。因?yàn)檫@與空間的各向同性的性質(zhì)相矛盾。由此可見由于∑’系相對(duì)∑系的運(yùn)動(dòng)速度顯然與∑系相對(duì)∑’系的運(yùn)動(dòng)速度相同，因此從以上兩個(gè)式子可看出：為了從兩個(gè)值±1中選擇一個(gè)，我們應(yīng)注意：A只可以永遠(yuǎn)等于+1，或永遠(yuǎn)等于-1，假設(shè)A(v)真的對(duì)于某些速度為+1，而對(duì)于另外某些速度為-1，那么，就一定有些速度存在，與這些速度相應(yīng)的A(v)是在+1與-1之間，而這是不可能的，既然如此，A(v)要么只取+1，要么只取-1，最后，我們?nèi)(v)應(yīng)該永遠(yuǎn)為+1，這是因?yàn)楹愕仁绞亲儞Q式的一個(gè)特殊例子，可見其中A(v)=+1。假設(shè)x1，y1，z1，t1及x2，y2，z2，t2是∑系任何兩個(gè)事件的坐標(biāo)，那么稱為這兩個(gè)事件的間隔。同理，在∑’系中任何兩個(gè)事件的間隔為：由上述比例關(guān)系式得到這就是間隔不變式。如果兩事件彼此無限地接近，那么間隔為：也可得到因此，我們得到一個(gè)很重要的結(jié)論：兩個(gè)事件的間隔在所有慣性系里都是一樣的，即當(dāng)由一個(gè)慣性系變換到任何另一慣性系時(shí)，它是不變的。這也是光速不變的數(shù)學(xué)表示。2、閔可夫斯基空間(MinkowskiSpace)由間隔不變性可知：令根據(jù)AlbertEinstein求和法那么，且有或者如果把x1,x2,x3,x4看作一個(gè)四維空間坐標(biāo)矢量的四個(gè)分量，那么間隔不變性意味著∑系與∑’系之間的變換是一個(gè)由線性變換式所表征的四維空間旋轉(zhuǎn)操作，通常把由這個(gè)x1,x2,x3,x4所組成的空間叫做閔可夫斯基空間。3、洛侖茲變換(LorentzTransformation)這里討論閔可夫斯基空間的坐標(biāo)變換的具體形式。因?yàn)橐笤谧鴺?biāo)變換下不改變閔可夫斯基空間的矢量長(zhǎng)度，根據(jù)間隔不變性和變換式，我們看到：及可見變換系數(shù)服從以下正交條件：下面具體地確定變換系數(shù)，為了方便計(jì)，我們把寫成如下形式：由于沿x2、x3方向的兩個(gè)坐標(biāo)標(biāo)之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因而又由于當(dāng)t=t’=0時(shí)，∑和∑’完全重合，所以當(dāng)x1、x4為零時(shí)，x1’、x4’也應(yīng)為零，從而得到：于是我們有把這個(gè)新的變換關(guān)系代入間隔不變的關(guān)系中得到展開得到：比較等式兩邊系數(shù)，即有因?yàn)樵诘狞c(diǎn)應(yīng)該是的點(diǎn)，所以根據(jù)那么有故從而得到：由這套變換式，我們從第一、第四兩個(gè)關(guān)系式出發(fā)，a44乘以第一式，乘以第二式，即有兩式相減，得到故得假設(shè)考慮空間各向同性，因而x1的逆變換為比較兩式，得到由此可見：將組合，即有故得：再由得到〔注：也可以由得到即〕從而得到：由于x軸和x’軸正向相同，變換系數(shù)a11應(yīng)取大于零；又由于時(shí)間t和t’的正向相同，a44亦取大于零。因此于是，我們得到∑和∑’系之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為：即得到Lorentz變換式為：

式中取：根據(jù)，寫成矩陣形式，即為：類似地，如果把該式中的v改成-v，就可得到逆變換的關(guān)系式：矩陣的形式：Lorentz變換說明：a)空間和時(shí)間是統(tǒng)一的，時(shí)空的度量與物質(zhì)運(yùn)動(dòng)密不可分。b)如果對(duì)Lorentz變換式中把c看成無窮大，即c→∞，那么變換式立即成為：所以說伽利略變換是洛侖茲變換在低速運(yùn)動(dòng)下的一個(gè)近似。c)以上所得到的洛侖茲變換式，是在一種特殊的運(yùn)動(dòng)條件下所構(gòu)成的時(shí)空變換關(guān)系，即∑’系相對(duì)于∑系沿x正方向運(yùn)動(dòng)，而且x’與x平行，如果∑’系相對(duì)于∑系不是沿x正方向運(yùn)動(dòng)，那么以上洛侖茲變換式不能適用。4、一般情況下的Lorentz變換式如果∑’系相對(duì)于∑系的速度并不平行于x軸，且相應(yīng)的Lorentz變換式的形式是怎樣的呢？將位置矢量分解為平行于相對(duì)速度的分量和垂直于相對(duì)速度的矢量：其中：利用相對(duì)速度平行于x軸情況下的Lorentz變換式，得到將些結(jié)果合成，即為：時(shí)間變換為：將上述結(jié)果寫成關(guān)于xu的分量形式，并進(jìn)一步用矩陣表示，即相對(duì)速度沿任意方向時(shí)的Lorentz變換式為：其中：

洛侖茲變換式的另外一種推導(dǎo)

設(shè)有一慣性參考系S和相對(duì)于S作勻速運(yùn)動(dòng)的另一慣性系S’，它們的三條坐標(biāo)軸彼此平行，并且S’系沿公共軸x—x’相對(duì)于S系速率v運(yùn)動(dòng)，在t=t’=0時(shí)，它們的坐標(biāo)原點(diǎn)0、0’相重合，如下圖。yY’SS’ZZ’00’xP0(x,y,z,t)(x’,y’,z’,t’)·那么空間中任一點(diǎn)P在這兩個(gè)慣性系S和S’中的時(shí)空坐標(biāo)之間的Lorentz變換為該組變換式推導(dǎo)如下：考慮S’系的原點(diǎn)0’，在S’系上觀察，0’點(diǎn)坐標(biāo)永遠(yuǎn)是x’=0，但在S系上觀察，0’點(diǎn)以速率v沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，因而其坐標(biāo)為x=vt，或者x-vt=0，可見，在空間同一點(diǎn)上，數(shù)值x’和(x-vt)同時(shí)為零，因此我們可以假設(shè)，在任何時(shí)刻，x’與x-vt之間的線性關(guān)系為式中k’為一與x,t無關(guān)的常數(shù)。同理，S系的原點(diǎn)0，可有式中k也是與x’,t’無關(guān)的常數(shù)。由(2)，(3)式得對(duì)于y’與y，z’與z之間的關(guān)系，由于S’系的原點(diǎn)0’在y方向和z方向沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因而無論x,z,t如何，在兩個(gè)慣性系中0’點(diǎn)的坐標(biāo)永遠(yuǎn)是y’=y=0和z’=z=0，于是我們可假設(shè)y’與y，z’與z之間的關(guān)系分別為：又假設(shè)當(dāng)S系和S’系的坐標(biāo)原點(diǎn)0，0重合時(shí)，由重合點(diǎn)發(fā)出一個(gè)沿各方向傳播的光信號(hào)〔點(diǎn)光源〕，根據(jù)光速不變?cè)?，在每一慣性系中光信號(hào)在所有方向上均以速率c傳播。因此，對(duì)于S系，經(jīng)過時(shí)間t光信號(hào)構(gòu)成的0為中心，ct’為半徑的球面，球面方程分別為分別將(2)、(5)、(6)、(4)式中的x’,y’,z’,t’之值代入(8)式，即經(jīng)整理得該式與(7)式表示的是同一回事，為使該式與(7)式一致，x2,xt,t2,y2和z2的系數(shù)必須滿足以下關(guān)系聯(lián)立解方程〔9〕的第一、第二式，由第一式得由第二式得或解是在二式〔即(11)、(12)兩式〕，并舍去不符合物理意義的解，可得聯(lián)立解方程〔9〕的第一與第三式，或第二與第三式，也得到同樣的結(jié)果，其中解第二與第三式為最簡(jiǎn)單。將k，k’之值代入(2)、(4)式，便得到方程(1)的一、四式現(xiàn)解方程(10)，由(10)式可得由于y’軸與y軸，z’軸與z軸同方向，必須有a’>0，b’>0，故取代入(5)、(6)式，便得到方程(1)的第二、第三式，于是方程(1)得證。結(jié)論：Lorentz變換式可以只根據(jù)狹義相對(duì)論的附加假設(shè)—時(shí)空?qǐng)鰟蛐浴矎亩笞儞Q必須是線性〕以及狹義相對(duì)論的根本假充—光速不變?cè)怼矎亩髸r(shí)空間隔永遠(yuǎn)不變〕就能推導(dǎo)出來，而需用相對(duì)性原理這一根本假設(shè)。§6.4相對(duì)論的時(shí)空性質(zhì)Space-TimePropertyoftheSpecialTheoryofRelativity在Lorentz變換下，空間距離和時(shí)間間隔都要發(fā)生變化，只有在閔可夫斯基的四維時(shí)空中的線元，即間隔才是不變量，對(duì)這種時(shí)空性質(zhì)，閔可夫斯基曾有過這樣一句名言：“從今以后，空間本身和時(shí)間本身都已成為陰影，只有兩者的結(jié)合才能獨(dú)立存在〞。

本節(jié)將詳細(xì)地討論狹義相對(duì)論的時(shí)空性質(zhì)。1、相對(duì)論時(shí)空結(jié)構(gòu)以第一個(gè)事件為空時(shí)原點(diǎn)〔0，0，0，0〕，設(shè)第二個(gè)事件的空時(shí)坐標(biāo)為〔x,y,z,t)，這兩個(gè)事件的間隔為：式中為兩事件的空間距離。對(duì)于任意兩個(gè)事件，間隔并不一定為零。因此，可以把間隔分成三類：(1)假設(shè)兩事件可以用電磁信號(hào)〔光波〕聯(lián)系，此時(shí)，；(2)假設(shè)兩個(gè)事件可以用低于電磁信號(hào)傳播的作用來聯(lián)系，此時(shí)

(3)假設(shè)兩個(gè)事件的空間距離超過了光波在時(shí)間t所傳播的距離，此時(shí)為了說明問題的方便，把三種間隔用一個(gè)三維時(shí)空?qǐng)D形表示出來，事件用一個(gè)三維時(shí)空點(diǎn)P來表示。

P點(diǎn)在xy面上的投影表示事件發(fā)生的地點(diǎn)，P點(diǎn)的垂直坐標(biāo)表示事件發(fā)生的時(shí)刻t乘以c。在四維時(shí)空中，任何一個(gè)事件都可以用其中xyct·Po45o的一個(gè)點(diǎn)來表示，這個(gè)點(diǎn)稱為世界點(diǎn)。事件開展的過程，用四維時(shí)空中的軌跡線表示，稱為世界線。由于四維時(shí)空的結(jié)構(gòu)由三個(gè)區(qū)域組成，對(duì)于上述三種情況，具體分析它們各自的特點(diǎn)：(1)假設(shè)事件P與事件0的間隔是，那么，因此P點(diǎn)在一個(gè)以0點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面上，這個(gè)錐面稱為光錐。但凡光錐上的點(diǎn)，都可以和0點(diǎn)用光信號(hào)聯(lián)系，這類型的間隔稱為類光間隔。(2)假設(shè)事件P與事件0的間隔是，那么，因而P點(diǎn)在光錐之內(nèi)。這類型的間隔稱為類時(shí)間隔。(3)假設(shè)事件P與事件0的間隔是，那么，因而P點(diǎn)在光錐之外。這時(shí)P點(diǎn)不可能與0點(diǎn)用光信號(hào)或低于光信號(hào)的傳播速度的作用相聯(lián)系。這類型的間隔稱為類空間隔。間隔的劃分是絕對(duì)的，不因參考系為而變，這是相對(duì)論時(shí)空性質(zhì)中的絕對(duì)性。概括起來，事件P相對(duì)于事件0的時(shí)空關(guān)系可作如下的絕對(duì)分類：

(1)類時(shí)間隔a)絕對(duì)將來，即P在0的上半光錐內(nèi)。b)絕對(duì)過去，即P在0的下半光錐內(nèi)。

(2)類光間隔

P點(diǎn)在光錐面上。

(3)類空隔

P與0絕對(duì)遠(yuǎn)離，P點(diǎn)在光錐之外。2、同時(shí)的相對(duì)性

定性描述：一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的車子，其前后兩門皆用光信號(hào)控制其開和關(guān)。后門前門車子O.∑O’.∑’地面在車廂中o’與地面上o點(diǎn)相遇時(shí)發(fā)一光信號(hào)，在與車廂相對(duì)靜止的∑’系中的觀察者看來，由光速不變?cè)恚庑盘?hào)必然同時(shí)到達(dá)前、后門，所以看到的是前、后門同時(shí)開啟。但∑系觀察者看來，因光往前、往后的傳播速度都是c(光速不變?cè)怼?，而前、后門又都以速度前進(jìn)，所以從∑系看到的是光信號(hào)相對(duì)于后門的傳播速度是(c+v)，相對(duì)于前門的傳播速度是(c-v)，因此后門先開、前門后開。開門是一個(gè)事件，開前門與開后門那么是兩個(gè)事件，從∑’系看來，這兩個(gè)事件是同時(shí)事件；從∑系看來，這兩個(gè)事件是不同時(shí)事件。這就是同時(shí)的相對(duì)性。

定量描述：一物體a’b’隨∑’系一起運(yùn)動(dòng)，M’處于a’b’的中點(diǎn)上，在M’點(diǎn)發(fā)一光脈沖，在∑’系看來，光信號(hào)將同時(shí)到達(dá)a’和b’，這兩個(gè)事件以及∑∑’oo’a’M’b’xx’表示，那么在∑系中，是否也觀察到光信號(hào)同時(shí)到達(dá)a’,b’呢？根據(jù)Lorentz變換式：兩式相減，得到：由于，因此t2>t1.這就說明：在∑系看來，信號(hào)不是同時(shí)到達(dá)a’和b’點(diǎn)的，t2的讀數(shù)大于t1的讀數(shù)，即t1時(shí)刻在先，t2時(shí)刻在后，即信號(hào)是先到a’點(diǎn)，后到b’點(diǎn)。由此得到結(jié)論：假設(shè)兩個(gè)事件在某一參考系中為同時(shí)異地事件，那么根據(jù)Lorentz變換式，在其他參考系中這兩個(gè)事件就不是同時(shí)的。這就是同時(shí)的相對(duì)性。3、運(yùn)動(dòng)尺度的縮短—空間距離的相對(duì)性測(cè)量物體的長(zhǎng)度往往就是用一根尺子去和物體比較，看物體的兩端與尺子上哪兩點(diǎn)重合，關(guān)鍵在于必須對(duì)其物體的兩個(gè)端點(diǎn)進(jìn)行同時(shí)測(cè)量。測(cè)量物體每一端的坐標(biāo)都是一個(gè)事件，同時(shí)測(cè)量意味著是同時(shí)事件。設(shè)在∑’系內(nèi)有一根平行x’軸的靜止的桿，在∑’系的觀察者觀測(cè)，桿的后端坐標(biāo)為，前端坐標(biāo)為，桿相對(duì)于∑’系的觀察者沒有運(yùn)動(dòng)。因此，∑’系的觀察者測(cè)得桿長(zhǎng)為∑∑’oo’xx’l0A(x1)t1B(x2)t2在∑系測(cè)量，桿后端在t1時(shí)刻與x軸上的A點(diǎn)重合，A點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，前端在t2時(shí)刻與x軸上的B點(diǎn)重合，B點(diǎn)的坐標(biāo)為x2，由于測(cè)量是同時(shí)的，那么∑系觀察者觀測(cè)到桿的兩端與x軸的A、B兩點(diǎn)重合是同時(shí)的，即t1=t2。測(cè)桿的長(zhǎng)為根據(jù)Lorentz變換式：兩式相減，即得由于t2-t1=0，故有即或者由于，所以l<l0，這說明固定在∑’系中的桿最長(zhǎng)，在相對(duì)于它的速度運(yùn)動(dòng)的參考系∑中，它的長(zhǎng)度就減少到，相對(duì)論的這個(gè)結(jié)果稱為L(zhǎng)orentz收縮，l0稱為固有長(zhǎng)度。由此得出結(jié)論：物體沿其長(zhǎng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其長(zhǎng)度即縮短為靜止時(shí)的倍。如果物體是任意形狀的，那么就是沿運(yùn)動(dòng)方向的長(zhǎng)度有上述的縮短。4、運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的延緩—時(shí)間間隔的相對(duì)性現(xiàn)在來討論：在不同的慣性系中觀察同一物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程所經(jīng)歷的時(shí)間，其結(jié)果是否相同？設(shè)在∑’系中有一靜止時(shí)鐘，在∑’系內(nèi)的同一地點(diǎn)每隔△t’時(shí)間發(fā)出一光信號(hào)，即這些信號(hào)的時(shí)間間隔在∑系看來那么為：根據(jù)Lorentz變換式：那么有：因?yàn)闀r(shí)鐘在∑’系內(nèi)是在同一地點(diǎn)不同時(shí)間發(fā)出光信號(hào)的，因此得到：這說明：在不同慣性系中，同樣兩個(gè)事件之間的時(shí)間間隔是不同的?？梢钥吹?，在某一慣性系中為同地的兩事件在該系中的時(shí)間間隔最短。如果把隨著某一物體〔∑’系〕一起運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘所指示的時(shí)間，稱為該物體的固有時(shí)，以表示。這樣，上式可寫為由于，故?？梢?，一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體〔∑’系〕的固有時(shí)永遠(yuǎn)較在靜止系〔∑系〕內(nèi)的相對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔要小，相對(duì)論的這一運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)稱為運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩，或稱Einstein延緩。

由此得到結(jié)論：運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘所指示的時(shí)間間隔比靜止的時(shí)鐘所指示的時(shí)間間隔要小。換句話說：運(yùn)動(dòng)的鐘比靜止的鐘走得慢一些。5、因果律對(duì)信號(hào)速度的限制從以上討論知道，同時(shí)是相對(duì)的，時(shí)間間隔也是相對(duì)的?，F(xiàn)在我們要問兩事件的先后秩序是否也是相對(duì)的？如果兩個(gè)事件有因果關(guān)系，那么兩事件的先后秩序應(yīng)該是絕對(duì)的，不容顛倒。如播種必在收獲之先，人的死亡必在出生之后，因果關(guān)系的絕對(duì)性反映了事物開展變化的客觀事實(shí)，與參考系的選擇無關(guān)。下面討論相對(duì)論理論在什么條件下才與這個(gè)要求一致。設(shè)兩事件的時(shí)空坐標(biāo)在∑系中為(x1,t1)和(x2,t2)，在∑’系中為，那么由Lorentz變換式，有如果兩事件有因果關(guān)系，而且t2>t1，由于它們的秩序不可顛倒，必須在∑’系中觀察時(shí)，也有，這就說明必須同號(hào)，從形式上看，這就要求：即令信號(hào)速度為：〔當(dāng)然這也是物體的運(yùn)動(dòng)速度〕那么有式中：v是兩慣性系之間的相對(duì)速度，它不可能超過光速c，而且物質(zhì)的速度u<c，由此可見，相對(duì)論與因果律并不矛盾。由此得到結(jié)論：因果事件先后秩序的絕對(duì)性對(duì)相對(duì)論理論的要求是：所有物體運(yùn)動(dòng)的速度、信號(hào)傳播的速度及作用傳遞的速度等都不能超過光速c.對(duì)于沒有因果關(guān)系的兩事件的先后秩序，在不同的慣性系看來，是不同的。因?yàn)閷?duì)這兩事件來說，不代表什么速度，所以它不大于c當(dāng)然是可能的。故因果事件的四維間隔一定是類時(shí)的，而類空間隔的兩事件一定沒有因果關(guān)系。6、速度和加速度變換式

(1)這里，我們要找出某個(gè)粒子在一個(gè)參考系內(nèi)的速度與在另一個(gè)參考系內(nèi)的速度之間的變換關(guān)系。假定∑’系相對(duì)于∑系以速度v沿著x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子相對(duì)于∑系、∑’系的速度分別為利用Lorentz變換以及其變換是線性的性質(zhì)，微分得到用dt’去除dx’，dy’，dz’，那么得即即即也就是：討論：a)速度有三種不同的形式v、及，那么v是∑’系相對(duì)于∑系的速度；是粒子〔∑〞系〕相對(duì)于∑系的速度；是粒子〔∑〞系〕相對(duì)于∑’系的速度；要使用速度變換式，必須要有三個(gè)客體存在，即兩個(gè)觀察者∑和∑’，以及一個(gè)粒子〔∑〞系〕。b)在非相對(duì)論極限下c→∞，速度變換式將過渡到經(jīng)典力學(xué)中速度變換式，即c)當(dāng)，v<c時(shí)，那么，這說明不可能把兩個(gè)相對(duì)速度加起來，使它們的合成速度由某一慣性系測(cè)量大于c。

(2)假假設(shè)∑’系相對(duì)于∑系的速度與x軸夾任意角θ，那么此時(shí)的速度變換式推導(dǎo)如下：a)粒子相對(duì)于∑’系的位置矢量是其中：是粒子相對(duì)于∑系的位置矢量。b)假設(shè)令并考慮到那么c)因此找到了三個(gè)客體：兩個(gè)觀察者∑和∑’以及一個(gè)粒子，從而可推導(dǎo)出粒子相對(duì)于∑’系的速度矢量式，因?yàn)橛胐t’去除，即有

即討論：

a)如果∑’系相對(duì)于∑系沿x軸正方向以速度v運(yùn)動(dòng)，即從而可得b)當(dāng)時(shí)，得到這個(gè)式子在本章習(xí)題五第三問要用到，習(xí)題五中的，上式兩邊平方得：這樣即可求出u，從而其它結(jié)果都可求出。(3)

我們還可推出兩個(gè)慣性系之間物體加速度的變換關(guān)系，即

如果∑’系相對(duì)于∑系的速度與x軸夾θ運(yùn)動(dòng)，那么令

〔4〕例題a)設(shè)有兩根相互平行的尺，在各自靜止的參考系中的長(zhǎng)度均為，它們以相同的速率相對(duì)于某一參考系運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺上測(cè)量另一根尺的長(zhǎng)度。l0A∑∑’oo’xx’l0B∑”x”O(jiān)”Solution:站在∑系上觀察到A尺〔∑’系〕、B尺〔∑〞系〕的運(yùn)動(dòng)速度為，根據(jù)速度變換公式，得到從A尺〔∑’系〕測(cè)量B尺〔∑〞系〕的速度為所以在A尺〔∑’系〕測(cè)量B尺〔∑〞系〕的長(zhǎng)度為

或者

綜上所述，相對(duì)論的時(shí)空性質(zhì)不成認(rèn)普適的時(shí)間與不變的空間，而認(rèn)為不同的慣性系有不同的尺和鐘。在這個(gè)意義上它的時(shí)空是“相對(duì)〞的，但這種相對(duì)性并不意味著任何主觀任意性。歸根到底，它只不過是光速不變性這一客觀事實(shí)的反映，光速不變性還規(guī)定了事件間的“間隔〞是絕對(duì)的，不隨參考系而異，這就是狹義相對(duì)論時(shí)空觀中相對(duì)和絕對(duì)的統(tǒng)一?！?.5相對(duì)論力學(xué)RelativisticMechanics相對(duì)論原理要求任何物理規(guī)律在不同的慣性系中形式相同。而牛頓運(yùn)動(dòng)方程不滿足洛侖茲變換下不變的要求。因此，我們要對(duì)牛頓力學(xué)規(guī)律加以修改，使它滿足相對(duì)論的協(xié)變性要求。1、物理量按空間變換性質(zhì)分類一個(gè)表達(dá)物理規(guī)律的方程，當(dāng)坐標(biāo)系經(jīng)過變換而方程的形式不變時(shí)，稱這方程對(duì)于這個(gè)變換為協(xié)變的。狹義相對(duì)論要求所有表達(dá)物理規(guī)律的方程對(duì)Lorentz變換是協(xié)變的，或稱之具有Lorentz協(xié)變性。a)標(biāo)量假設(shè)一物理量在空間中沒有取向關(guān)系，當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這些物理量保持不變，那么稱此量為標(biāo)量。如質(zhì)量、電荷、標(biāo)量勢(shì)等。標(biāo)量與坐標(biāo)變換無關(guān)，設(shè)在∑系中某標(biāo)量用f表示，在∑’系中用f’表示，由標(biāo)量不變性得到：f’=fb)矢量假設(shè)一物理量在空間中有一定的取向性，它由三個(gè)分量表示，當(dāng)空間坐標(biāo)按式作變換時(shí)，該量的三個(gè)分量按同一方式變換，那么稱此量為一矢量。如電場(chǎng)強(qiáng)度、速度、力等。以代表矢量，它在坐標(biāo)系∑中的分量為vi，在∑’系中的分量為，故矢量變換關(guān)系為還有微分算符也具有矢量性質(zhì)，其變換關(guān)系為這里使用了由此可見c)二階張量假設(shè)一物理量在空間的取向比較復(fù)雜，它由兩個(gè)矢量指標(biāo)表示，有九個(gè)分量，從∑系變換到∑’系中，其分量Tij按以下方式變換具有這種變換關(guān)系的物理量稱為二階張量，如電磁場(chǎng)張力張量、電四極矩等。2、閔可夫斯基空間物理量的變換關(guān)系閔可夫斯基空間是一個(gè)四維空間，其坐標(biāo)軸分別為x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict，由間隔不變性和光速不變?cè)?，我們得到四維空間的Lorentz變換式：其中：∑’系相對(duì)于∑系沿x軸正方向以速度v運(yùn)動(dòng)的特殊變換系數(shù)auv的矩陣形式為a)四維標(biāo)量在四維空間中如果一個(gè)物理量只需一個(gè)數(shù)表示，而在坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)數(shù)值不變，那么稱此物理量為四維標(biāo)量，如間隔b)四維矢量如果一個(gè)物理量需四個(gè)數(shù)表達(dá)，而在坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這些數(shù)的變換關(guān)系和坐標(biāo)的變換關(guān)系相同，即，那么稱些物理量為四維矢量，矩陣說明為凡滿足這個(gè)變換式的四個(gè)數(shù)都構(gòu)成一個(gè)四維矢量，四維矢量的前三個(gè)分量是空間分量，第四個(gè)分量是時(shí)間分量。在四維空間中，四維矢量算符為c)

四維張量如果一個(gè)物理量變換滿足關(guān)系一共有16個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)四維張量，其中T4j和Ti4是虛數(shù)。3、質(zhì)點(diǎn)力學(xué)由于四維矢量在坐標(biāo)變換時(shí)是按Lorentz變換改變的，因此一個(gè)物理定律假設(shè)能用四維空間的量表達(dá)，那么此定律具有Lorentz協(xié)變性，即滿足相對(duì)論要求。a〕四維速度由于表示四維位移矢量，速度的定義是坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的微商，但dt不是標(biāo)量，故不是矢量，不能表示四維速度，然而能夠找到一種與坐標(biāo)系無關(guān)的時(shí)間間隔，它對(duì)一切慣性系都不變，即是四維標(biāo)量。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在∑系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的速度為，此后dt時(shí)間內(nèi)位移為，隨質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)的∑’系觀察到這段時(shí)間為，而在時(shí)間內(nèi)位移為，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)相對(duì)于∑’系靜止，由于故是標(biāo)量，又因?yàn)槭枪逃袝r(shí)，不隨慣性系的變換而改變，即于是，定義四維速度為：空間分量為時(shí)間分量為可見將四維速度寫成如下形式說明一點(diǎn)：vi是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于∑系的運(yùn)動(dòng)速度，能觀察或測(cè)定的速度，按照定義總是vi，而不是四維速度

，但滿足Lorentz變換的卻不是vi而是。b)

四維動(dòng)量引入四維標(biāo)量mo，可定義四維動(dòng)量為空間分量為時(shí)間分量為四維動(dòng)量的形式可表示為當(dāng)v<<c時(shí)，p4的展開式為括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)是物體的動(dòng)能，由此可見p4與物體的能量有關(guān)。c)四維力〔閔可夫斯基力〕取pμ對(duì)τ的微商，定義為四維力空間分量為即令故得到當(dāng)v<<0時(shí)這與牛頓運(yùn)動(dòng)方程一致，因此可得這就是三維形式的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)方程。按照力等于動(dòng)量的改變率的定義，那么有式中。這里的是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。m是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量〔質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量〕。由此可見，相對(duì)論中的質(zhì)量是速度的函數(shù)。即m=m(v)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)(v=0)，那么質(zhì)m=mo，所以稱mo為靜止質(zhì)量。另外，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速率趨近于光速c時(shí)，其質(zhì)量將趨近于無窮大，所以任何項(xiàng)大的力都不可能使具有靜止質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)加速到光速c，因而光速是物體運(yùn)動(dòng)速度的極限。四維力的時(shí)間分量為了尋求此式的物理意義，利用求該式對(duì)固有時(shí)τ的微商，由于mo和c都是常數(shù)。故得即故因此得到從而得到該式進(jìn)一步可以寫成該式左邊是力地質(zhì)點(diǎn)所做的功率，根據(jù)能量守恒定律，右邊應(yīng)是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加率，故得到質(zhì)點(diǎn)的能量關(guān)系即積分得到當(dāng)v=0時(shí)，T=0，那么得A=-moc2，故質(zhì)點(diǎn)的v運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為由能量守恒定律，該式可寫為其中：為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總能量，moc2為質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)的能量。由此得到，四維動(dòng)量的第4個(gè)分量p4與W的關(guān)系為從而得到四維力K4可以寫成故d)質(zhì)能聯(lián)系定律由上述討論可知這就是著名的Einstein質(zhì)能聯(lián)系定律。質(zhì)能關(guān)系式表示以速度v〔高速〕運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，具有質(zhì)量m的同時(shí)，還具有能量W。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)〔v=0〕，那么有質(zhì)能聯(lián)系定律揭示出：作為物質(zhì)慣性的量度的質(zhì)量與作為物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的量度的能量之間的普遍聯(lián)系，形式不同的能量之間可以互相轉(zhuǎn)化。以及表現(xiàn)靜止的粒子也蘊(yùn)藏著能量moc2，也證實(shí)了辯證唯物主義的結(jié)論：自然界里既然沒有不運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)，也沒有無物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。e)能量、動(dòng)量和質(zhì)量的關(guān)系由于m=W/c2，故動(dòng)量為又因?yàn)椋谏蟽墒街邢?，即由第二式得第一式代入，即從而得到開方得到這就是相對(duì)論中的能量、動(dòng)量和質(zhì)量的關(guān)系式。當(dāng)粒子的靜止質(zhì)量mo=0時(shí)，那么W2=p2c2，可見，這個(gè)粒子就是電磁場(chǎng)的根本粒子—光子。f)

質(zhì)量虧損前面，我們導(dǎo)出了一個(gè)粒子的相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系它與粒子的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)，所以質(zhì)能關(guān)系對(duì)一個(gè)粒子適用，對(duì)由許多粒子組合而成的復(fù)合體也是適用的。對(duì)于復(fù)合體，它在靜止參考系中的能量與物體的總的靜質(zhì)量mo有關(guān)系。由于復(fù)合體中的粒子之間具有相互作用能，所以Wo不等于所有粒子的靜止能量之和，即式中mo是第三個(gè)粒子的靜質(zhì)量，兩者之差為稱之為復(fù)合體的結(jié)合能，相應(yīng)地質(zhì)量之差稱為質(zhì)量虧損，顯然得到4、粒子的衰變問題a)

一個(gè)不穩(wěn)定粒子在靜止時(shí)衰變?yōu)閮蓚€(gè)其他粒子的情況。設(shè)不穩(wěn)定粒子的靜止質(zhì)量為M，衰變后兩個(gè)粒子的靜止質(zhì)量分別為m1和m2，與質(zhì)量M對(duì)應(yīng)的四維動(dòng)量為pμ，與m1和m2對(duì)應(yīng)的四維動(dòng)量分別為p1μ和p2μ，根據(jù)能量和動(dòng)量守恒定律，在衰變過程中，有pμ=p1μ+p2μ其中為初態(tài)粒子M的四維動(dòng)量，和為示態(tài)粒子m1和m2的四維動(dòng)量，因?yàn)槎视型砜傻媚敲从袕亩玫郊从忠驗(yàn)楫?dāng)衰變時(shí)，M為粒子的靜止質(zhì)量，即從而得到故有得到同理可得那么而故得這樣，衰變前后粒子的靜止質(zhì)量，就可求得衰變后各粒子的能量。b)一個(gè)不穩(wěn)定粒子在運(yùn)動(dòng)過程中衰變?yōu)槠渌麅蓚€(gè)粒子的情況。在這種情況下，有那么根據(jù)得到由此出發(fā)，即各粒子的靜止質(zhì)量，求m1和m2的能量，反之亦然。c)舉例說明：〔1981年1月紐約州立大學(xué)石溪分院研究生入學(xué)試題〕一粒子衰變成能量為E1、E2的兩γ—射線，兩射線之間的夾角為θ，證明原粒子的靜止能量是

證：

pμ為衰變前原粒子的四維動(dòng)量，p1μ、p2μ為衰變后的兩γ射線的四維動(dòng)量，即有pμ=p1μ+p2μ從而得到又因?yàn)槎プ兦傲Ｗ觿?dòng)量為0，即即也可看到：故得所以證畢。5、兩體碰撞問題設(shè)入射粒子的質(zhì)量為m10，動(dòng)量為,能量為W1；另一個(gè)粒子作為靶，它與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系是相對(duì)靜止的，其質(zhì)量為m20，動(dòng)量為，能量等于靜止能量W2=m20c2。討論這類問題，采用質(zhì)心坐標(biāo)系〔動(dòng)量中心系〕較為方便，在此慣性系中，入射粒子與靶的動(dòng)量大小相等，方向相反，總動(dòng)量為零，在質(zhì)心系中，兩粒子碰撞〔彈性碰撞〕如圖所示。1234在質(zhì)心系中各量帶撇，在實(shí)驗(yàn)室系中各量皆不帶撇，表示碰撞前的動(dòng)量，表示碰撞后的動(dòng)量，對(duì)于彈性碰撞，有。在實(shí)驗(yàn)室系中，入射粒子的能量與動(dòng)量構(gòu)成四維矢量：(p1+p2)μ；在質(zhì)心系中，以(p’1+p’2)μ表示，我們知道能量和動(dòng)量守恒定律，即(p1+p2)μ(p1+p2)μ=(p’1+p’2)μ(p’1+p’2)μ在實(shí)驗(yàn)室系中：在質(zhì)心系中：因此那么有同理可得故得到由于故得當(dāng)W10>>m10c2時(shí)，那么稱為高能碰撞，即有即在實(shí)驗(yàn)室系中，入射粒子的能量近似地等于質(zhì)心系中的各粒子能量和平方除以兩倍靶的靜止能量。再看質(zhì)心系動(dòng)量與實(shí)驗(yàn)室系動(dòng)量的關(guān)系。這時(shí)因?yàn)?1)式那么又因?yàn)槎砜傻霉视杏忠驗(yàn)椴⒘钅敲吹糜?1)式得到將此代入(2)式，得即得同理可得可得對(duì)(3)式平方，即其中因?yàn)楣实玫蕉磧蛇呁詂2，并把移到等式右邊，即得

故從而得到這就是質(zhì)心系動(dòng)量與實(shí)驗(yàn)室的動(dòng)量關(guān)系式。最后，還可求出質(zhì)心系相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室系的速度和〔這里的〕因?yàn)橛?1)、(4)、(5)式那么向但是，和的另一種求出：即由四維動(dòng)量變換式出發(fā)：即得所以對(duì)于非相對(duì)論情況〔c→∞〕，且§6.6電磁規(guī)律的相對(duì)性理論RelativityTheoryofElectromagneticLaw本節(jié)主要是研討電磁規(guī)律的Lorentz協(xié)變性，即Maxwell’sequations表示成四維張量形式。所謂電磁規(guī)律的協(xié)變性是指：電磁運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，比方Maxwell’sequations和電磁波的波動(dòng)方程，在不同的慣性系中有相同的形式，即滿足Lorentz變換的不變性。但它并不要求描述電磁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的所有物理量都保持不變。如光速c，事件的間隔等，在不同的慣性系中保持不變，而電流密度、電荷密度、電磁場(chǎng)強(qiáng)度等，在不同的參考系中是不同的。1、勢(shì)方程的協(xié)變性a)達(dá)朗伯算符〔洛侖茲標(biāo)量算符〕四維矢量算符，它作用到四維矢量上便形成了四維散度，即而是一個(gè)四維標(biāo)量，還可以有微分算符：它是一個(gè)Lorentz標(biāo)量算符。b)四維電流密度矢量實(shí)驗(yàn)告訴我們：電荷是守恒的，由連續(xù)性方程出發(fā)，如果將電流密度矢量的意義擴(kuò)充到以包含電荷密度ρ即假定在某一慣性系中。和ρ構(gòu)成一個(gè)四維矢量：故連續(xù)性方程為這是一個(gè)不變量，因此，只要和ρ一起構(gòu)成一個(gè)四維矢量是協(xié)變的，故稱為四維電流密度矢量。既然jμ是一個(gè)四維矢量，根據(jù)四維矢量變換關(guān)系，我們得到∑’系與∑系的變換即各分量為：c)四維勢(shì)矢量Maxwell’sequations可以通過勢(shì)表示出來，在Lorentz條件下，表出的電動(dòng)力學(xué)方程為其中，Lorentz條件為利用Lorentz標(biāo)量算符，可將真空中的電磁場(chǎng)的勢(shì)方程寫成由上式得到一個(gè)啟發(fā)：假設(shè)將勢(shì)的意義引伸一下，將的方程一起概括在一個(gè)形式統(tǒng)一的方程里。并把看做空間局部，看做時(shí)間局部，即構(gòu)成一個(gè)四維矢量Aμ變換關(guān)系即各分量為通過四維勢(shì)矢量，還可看到

同時(shí)由Loreutz條件，也可得到這也是協(xié)變的。2、Maxwell’sequations的協(xié)變性

a)電磁場(chǎng)張量電磁場(chǎng)用勢(shì)表示為用四維勢(shì)Aμ來表示的各分量，得到當(dāng)Aμ構(gòu)成四維矢量時(shí)都構(gòu)成四維張量，因此也是四維張量，其矩陣形式為稱為電磁場(chǎng)張量(四維二階張量)，它具有如下的特性：第一,對(duì)角元素為零；第二,反對(duì)稱因此是一個(gè)反對(duì)稱的四維二階張量。b)Maxwell’sequations的協(xié)變形式合起來，寫成當(dāng)μ=1,2,3，上式表示，上式表示同理合起來，寫成這里μ,v,λ取值輪換:μ=1,v=2,λ=3;v=1，λ=2，μ=3;λ=1,μ=2,v=3，即當(dāng)

μ=1,v=2,λ=3，得到

c)

電磁場(chǎng)的變換關(guān)系式由于因而即電磁場(chǎng)張量變換式為寫成矩陣形式，即是

由此矩陣形式，即可求出電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量的變換關(guān)系式：

或由此可以看出：電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再彼此獨(dú)立，當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，不是各自獨(dú)立地，而是混合地變換。在一慣性系中純粹是電場(chǎng)或磁場(chǎng)的在另一慣性系中必定是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的混合，不可能將某一慣性系中的純粹的靜電場(chǎng)變換到另一慣性系中純粹的靜磁場(chǎng)。如果把電磁場(chǎng)按平行和垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的方向分解，那么電磁場(chǎng)的變換式可寫成：當(dāng)vc時(shí)，上式過渡到非相對(duì)論電磁場(chǎng)變換式至此，關(guān)于電磁現(xiàn)象的參考系問題完全得到解決，電動(dòng)力學(xué)根本方程式對(duì)任意慣性參考系成立。在坐標(biāo)變換下，勢(shì)按四維矢量變換，電磁場(chǎng)按四維張得變換。b)舉例說明[例1]求勻速運(yùn)動(dòng)的帶電荷為e的粒子的電磁場(chǎng)。Solution:設(shè)∑’系的原點(diǎn)固定在粒子上，那么該粒子相對(duì)于∑’系是靜止的，因而只有靜電場(chǎng)，其電磁場(chǎng)強(qiáng)度為再設(shè)∑系為實(shí)驗(yàn)室參考系，∑’系隨著粒子相對(duì)于∑系沿x軸的速度運(yùn)動(dòng)，由電磁場(chǎng)變換式那么有由于故得現(xiàn)在，必須把用∑系中的坐標(biāo)表示，為此，設(shè)t=0時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)正好與∑系的原點(diǎn)重合，并且我們就在這一時(shí)刻在∑系中測(cè)量空間的場(chǎng),于是,根據(jù)Lorentz變換，我