無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1第1頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五第五章無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2第2頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)重點(diǎn)

掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標(biāo)以及數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本步驟。

熟悉原型模擬濾波器特性、原理及設(shè)計(jì)步驟（主要是巴特沃斯模擬低通型）。

掌握沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的基本原理與應(yīng)用。

掌握雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的基本原理與應(yīng)用。

掌握模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。

掌握數(shù)字域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻、）。3第3頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.1引言1.無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器，屬于遞歸型濾波器。這類濾波器設(shè)計(jì)的一種主要方法是借助于模擬濾波器成熟的設(shè)計(jì)技術(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。依據(jù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)和已有的完善設(shè)計(jì)圖表，可以較為方便地對(duì)無限長(zhǎng)單位脈沖響（IIR）數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。2.介紹濾波器的定義、分類（IIR濾波器的分類）、濾波器性能指標(biāo)等。3.詳細(xì)介紹歸一化模擬低通原型濾波器的設(shè)計(jì)方法和步驟（最基本的）。4.主要有兩種離散化方法——沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法，將模擬濾波器離散成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。4第4頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.用頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，有兩種頻率變換設(shè)計(jì)方法a、模擬頻率域變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器b、數(shù)字頻率域變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器**頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器均以歸一化模擬低通原型濾波器的設(shè)計(jì)方法為重要基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)的拓展和延伸。IIR和FIR兩種濾波器的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）分別為如下形式。無限長(zhǎng)單位脈沖濾波器（IIR）的系統(tǒng)函數(shù)（遞歸型）：5第5頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器（FIR）的系統(tǒng)函數(shù)（非遞歸型）濾波器：對(duì)輸入信號(hào)頻率成分進(jìn)行選擇的器件、系統(tǒng)和裝置，讓某些頻率分量通過濾波器的同時(shí)，抑制其它頻率分量。數(shù)字濾波器：是指輸入/輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系調(diào)整輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，同時(shí)抑制或?yàn)V除某些頻率成分的器件、裝置和系統(tǒng)。5.2濾波器性能指標(biāo)與設(shè)計(jì)步驟5.2.1濾波器概述6第6頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)：構(gòu)建因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)（保證可實(shí)現(xiàn)性和可用性），并使之具有所期望的頻率選擇特性（滿足性能指標(biāo)要求）。通常按頻率選擇特性不同可以分為低通、高通、帶通、帶阻等類型。如圖5-2和圖5-3所示。1.無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器（IIR）2.有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器（FIR）數(shù)字濾波器分類（沖激響應(yīng)）：7第7頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

圖5-2模擬濾波器的類型圖5-3數(shù)字濾波器的類型8第8頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（1）圖5-2表示模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器。（2）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。（3）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實(shí)現(xiàn)的，只能用實(shí)際的濾波器的特性逼近該特性。1．模擬濾波器的類型及其特點(diǎn)（4）頻率是連續(xù)變量，從0→∞連續(xù)變化9第9頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2．?dāng)?shù)字濾波器的類型及其特點(diǎn)（1）圖5-3表示數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器（2）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。（4）數(shù)字頻率變化從0→π

包括所有頻率，與連續(xù)頻率的重要區(qū)別，且幅度特性呈現(xiàn)周期性重復(fù)。

（5）數(shù)字頻率，低頻頻率成分位于π的偶數(shù)倍附近，而高頻成份位π的奇數(shù)倍附近。

（3）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實(shí)現(xiàn)的。10第10頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.2.2數(shù)字濾波器性能指標(biāo)濾波器的特性主要由頻率響應(yīng)表述(設(shè)DF的單位脈沖響應(yīng)為h(n))其中稱為濾波器的幅度響應(yīng)稱為濾波器的相位響應(yīng)對(duì)于相位響應(yīng)，令稱為濾波器的群延遲響應(yīng)當(dāng)濾波器的群延遲響應(yīng)為常數(shù)時(shí)，稱為線性相位濾波器反映濾波器對(duì)信號(hào)幅頻和相頻的處理功能

11第11頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五要求不失真?zhèn)鬏?，則濾波器必須具有線性相位特性，同時(shí)對(duì)幅度特性有嚴(yán)格要求。即必須同時(shí)具備如下兩個(gè)條件：①在通帶內(nèi)濾波器幅度特性為常數(shù)；②在通帶內(nèi)相位函數(shù)為的線性函數(shù)。線性相位函數(shù)有兩種情況，一種是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的線性函數(shù)，另一種是在縱坐標(biāo)上有截相（）的線性相位函數(shù)（相角與頻率的關(guān)系成直線關(guān)系）。12第12頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

理想濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為非因果的（不可實(shí)現(xiàn)），因而實(shí)際的濾波器頻率特性是用一個(gè)具有因果沖激響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)理想濾波器頻率特性的逼近。過渡帶通帶通帶截止頻率通帶容限阻帶阻帶截止頻率阻帶容限低通濾波器幅頻特性0通帶截止頻率通帶

通帶容限|)(|wjeHw通帶阻帶過渡帶111a-2apwswp13第13頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五通帶和阻帶的衰減用分貝數(shù)表示為通帶最大衰減阻帶最小衰減此時(shí)為截止頻率，對(duì)應(yīng)的帶寬為3dB帶寬通常

當(dāng)時(shí)，通帶最大衰減，越小越好

阻帶最小衰減，越大越好

14第14頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)主要工作：用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能指標(biāo)

主要的方法是首先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后通過離散化的方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。由式（5-10）可見，設(shè)計(jì)一個(gè)IIR數(shù)字濾波器，實(shí)質(zhì)上是尋找一組系數(shù){ak、bk}合適的值，使數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)滿足給定的指標(biāo)要求

本質(zhì)上是屬于數(shù)學(xué)逼近問題。這與模擬濾波器的設(shè)計(jì)思想是完全一致的。15第15頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)具體設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能指標(biāo)。轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器指標(biāo)成模擬低通指標(biāo)（一般需兩次轉(zhuǎn)換,低通除外)。(通、阻帶邊界頻率和通、阻帶衰減）設(shè)計(jì)一個(gè)滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的歸一化模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。去歸一化并轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同型的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)即Ha(s)將設(shè)計(jì)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)離散化成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)HD(z)IIR濾波器設(shè)計(jì)主要步驟16第16頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.2.3常用模擬濾波器設(shè)計(jì)方法1由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)用幅度平方函數(shù)表示

模擬濾波器的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，濾波器設(shè)計(jì)有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，還有完善的曲線和圖表供設(shè)計(jì)者使用，這些以歸一化低通原型為基礎(chǔ)，常見的模擬濾波器包括巴特沃斯（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓函數(shù)濾波器（Ellipse或Cauer）、貝賽爾（Bessel）濾波器等。

重點(diǎn)介紹巴特沃斯（Butterworth）模擬歸一化低通濾波器的設(shè)計(jì)方法。17第17頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五因?yàn)闉V波器沖激響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，則有所以

為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù),它是關(guān)于s的多項(xiàng)式之比的形式（關(guān)于s的有理函數(shù)）

可見為頻率響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)取共軛之積其中:18第18頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五模擬濾波器設(shè)計(jì)是根據(jù)一組設(shè)計(jì)指來設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想幅度特性。例如逼近理想模擬低通濾波器的幅頻特性，具體如圖5-5所示。

圖5-5理想模擬低通濾波器的幅頻特性這是根據(jù)幅度平方函數(shù)來逼近的。19第19頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2巴特沃斯濾波器(模擬濾波器）巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為N為濾波器階次為濾波器截止頻率巴特沃斯低通濾波器的特點(diǎn)：（1）處無衰減為3dB頻率,且對(duì)應(yīng)于巴特沃斯低通濾波器的3dB帶寬（2）為通帶最大衰減,越小濾波越好與數(shù)字濾波器類似則有20第20頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五且在處（3）前（2N－1）階導(dǎo)數(shù)為0即具有最大平坦幅度特性，

附近最平坦,在通帶內(nèi)單調(diào)減小，階次越高，衰減越慢。（通帶內(nèi)）（4）的增加而快速減小。階次越高，衰減越快。（阻帶內(nèi)）隨著可見巴特沃斯濾波器的幅頻濾波特性由濾波器的階次決定。圖5-6巴特沃斯低通的幅度特性與N的關(guān)系21第21頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五極點(diǎn)（特征根）

的極點(diǎn)分布特點(diǎn)如圖5-7所示。

①極點(diǎn)為：以虛軸為對(duì)稱軸，且不會(huì)分布在虛軸上。

②N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)，N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。

③極點(diǎn)間隔為。

取左半s平面極點(diǎn)，即為Ha(s)的極點(diǎn)，這是由于濾波器必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)必須在s平面的左平面。特征方程巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點(diǎn)分別為：22第22頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五圖5-7三階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布當(dāng)時(shí),稱為歸一化頻率，通常在設(shè)計(jì)中頻率都采用歸一化形式歸一化后的低通濾波器為原型濾波器。

或當(dāng)23第23頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五【例5-1】試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)解：三階巴特沃斯歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為由附錄A-1可查出

所以若令，則有在頻率下在設(shè)計(jì)中用替代中的(即去歸一化），得到所需要的實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)24第24頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五3根據(jù)實(shí)際濾波器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器通帶最大衰減阻帶最小衰減給定濾波器類型轉(zhuǎn)換衰減指標(biāo)不變25第25頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五從該題的求解過程中，可以總結(jié)出由N求實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟如下。①由給定指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減等），計(jì)算出濾波器的階數(shù)。②根據(jù)N查找歸一化表格（有三種形式，根據(jù)需要選一種，附錄A提供兩種），得到歸一化原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。③根據(jù)選定的歸一化頻率，進(jìn)行去歸一化，求出實(shí)際的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。如何利用實(shí)際濾波器給定的性能指標(biāo)，推導(dǎo)出求巴特沃斯低通濾波器的階數(shù)N和求歸一化截止頻率Ωc公式？26第26頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五分別由通帶最大衰減和阻帶最小衰減求N和歸一化頻率代入有及1.求N27第27頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2.求阻帶指標(biāo)滿足，通帶指標(biāo)有富裕量通帶指標(biāo)滿足，阻帶指標(biāo)有富裕量(取大于或等于計(jì)算結(jié)果的整數(shù)N)28第28頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五例5-2設(shè)要求在通帶頻率低于1kHz時(shí)，允許幅度誤差在1dB以內(nèi)，在頻率大于1.8kHz的阻帶內(nèi)，衰減大于14dB。試設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯模擬低通濾波器。解：①模擬低通濾波器的兩個(gè)邊界頻率和衰減指標(biāo)分別為②巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為③取N=4，根據(jù)N值查附錄A得到歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，通帶最大衰減，阻帶最小衰減29第29頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五將通帶邊界頻率和通帶最大衰減值代入上式有④去歸一化，求出實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。（去歸一化）得到實(shí)際模擬低通系通函數(shù)30第30頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.3沖激響應(yīng)不變法5.3.1變換原理沖激響應(yīng)不變法是用數(shù)字濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域單位脈沖響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)h(t)。其過程如下對(duì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求拉氏逆變換，得到模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，用離散化，使h(n)的序列值正好等于的離散點(diǎn)上的采樣值，即有由h(n)的Z變換和抽樣信號(hào)的拉氏變換之間的變換關(guān)系取31第31頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五兩者之間的轉(zhuǎn)換是s平面與z平面之間的映射關(guān)系即下面討論s平面到z平面的映射關(guān)系，由圖5-9可見：圖5-9沖激響應(yīng)不變法映射關(guān)系32第32頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五①s平面左半平面縱軸方向，每條寬度為橫條都重疊地映射到z平面的單位圓內(nèi)。②s平面右半平面縱軸方向，每條寬度為橫條都重疊地映射到z平面的單位圓外。，在單位圓上兜一圈。這些特點(diǎn)正是反映了和之間的變換關(guān)系，即③s平面的虛軸上都映射到z平面的單位圓上。這部分也是重疊映射，s平面的虛軸上每段長(zhǎng)度為注意：a.此種映射關(guān)系不遵從簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系b.用這種方法離散化在頻率高時(shí)必然混疊c.這種離散化方法不會(huì)對(duì)穩(wěn)定性帶來問題。33第33頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.3.2模擬濾波器的數(shù)字化方法對(duì)應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)為對(duì)求z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

為了使討論問題簡(jiǎn)單化，假定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)（共軛和重階也可參照信號(hào)與系統(tǒng)處理），且分母的階次大于或等于分子的階次（模擬濾波器的可實(shí)現(xiàn)性要求）將Ha(s)展開部分分式形式，其形式為34第34頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五若或

，級(jí)數(shù)收斂，Z變換存在，利用等比級(jí)數(shù)前N項(xiàng)和公式有與模擬系統(tǒng)濾波器系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開形式比較，則兩者的系統(tǒng)函數(shù)比較有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系。⑵兩者部分分式展開式差一個(gè)系數(shù)T

。 ⑴s平面單極點(diǎn)s=sk變換到z平面上處單階極點(diǎn)，和為各自系統(tǒng)的特征方程（求極點(diǎn)）。⑶穩(wěn)定的模擬濾波器一定映射為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。35第35頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，都是實(shí)數(shù)，因此的極點(diǎn)一定是以共軛形式出現(xiàn)。對(duì)于這種共軛極點(diǎn)，形成二階的基本節(jié)，其模擬濾波器的二階基本節(jié)與數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的對(duì)應(yīng)的兩種形式極點(diǎn)1。2。極點(diǎn)36第36頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器具有模擬濾波器的相似特性（兩者頻率成現(xiàn)性關(guān)系）。5.3.3沖激響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)步驟用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器（低通和帶通）的主要步驟如下:1．確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)①數(shù)字低通指標(biāo)：兩個(gè)邊界頻率、和兩個(gè)衰減、。（。②數(shù)字帶通指標(biāo)：通帶上、下邊界頻率，阻帶上、下邊界頻率和兩個(gè)衰減、。2．將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)①數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)（用公式、、、）

衰減不變37第37頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五②數(shù)字帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶通指標(biāo)（用公式）。③模擬帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)、兩個(gè)衰減保持不變。3．按照模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器。4．求實(shí)際模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（去歸一化）5．利用沖激響應(yīng)不變法離散化，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。①模擬低通到數(shù)字低通直接離散化。②數(shù)字帶通濾波器設(shè)計(jì)，則要將模擬低通變換為模擬帶通，再將其離散化成數(shù)字帶通濾波器。38第38頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五【例5-3】設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,試?yán)脹_激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。設(shè)采樣周期為。。解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為部分分式（兩個(gè)一階節(jié)）所以數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)與之對(duì)應(yīng)的一階的形式如下將采樣周期代入則有39第39頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

模擬濾波器的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為40第40頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.3.4沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)⑴

沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器，時(shí)域特性逼進(jìn)近程度好。⑵

模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間為線性關(guān)系即沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)如下保證頻率之間不存在失真，保持離散化后的不變性

⑶轉(zhuǎn)換關(guān)系簡(jiǎn)單，并有現(xiàn)成的一階和二階基本節(jié)，轉(zhuǎn)換時(shí)所需的部分分式展開形式亦可借助于MATLAB環(huán)境。沖激響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)如下⑴高頻頻譜混疊⑵混疊是沖激響應(yīng)不變法固有的缺點(diǎn)⑶僅適合于低通、帶通濾波器設(shè)計(jì)41第41頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.4雙線性變換法5.4.1變換原理

為了克服沖激響應(yīng)不變法離散化產(chǎn)生的頻率混疊失真，雙線性變換法采用兩次映射的方法，如下所述。①頻率軸壓縮②多值映射轉(zhuǎn)化成一一對(duì)應(yīng)的單值映射③穩(wěn)定性不變性問題：頻率畸變性（連續(xù)頻率與數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換的非線性）映射關(guān)系如圖5-15所示

42第42頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五圖5-15雙線性變換映射關(guān)系第一，s平面映射到s1平面上的水平帶域～（相當(dāng)于頻率軸壓縮）。43第43頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五第二，s1平面上的水平帶域映射至z平面。第三，穩(wěn)定性不變性。

通過上述兩次映射，將整個(gè)s平面到z平面上多值映射變成一點(diǎn)對(duì)一點(diǎn)的單值映射，消除了多值映射造成的混疊。由三個(gè)平面之間的映射關(guān)系，決定了雙線性變換法保證系統(tǒng)穩(wěn)定性不會(huì)因離散化而帶來穩(wěn)定性問題。44第44頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.4.2模擬濾波器數(shù)字化方法可得s平面到s1平面的關(guān)系為把s平面映射到s1平面的水平帶域取兩個(gè)平面之間的變換關(guān)系為：當(dāng)頻率軸壓縮

C：為預(yù)畸變待定常數(shù)，：是s平面的連續(xù)頻率，

：是s1平面的頻率，利用歐拉公式改寫上式為令45第45頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五利用（代入上式）的變換關(guān)系，映射s1平面到z平面，則有以及上式稱為雙線性變換(分子、分母均為線性關(guān)系）C：用來調(diào)解模擬頻率和數(shù)字頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

（頻率預(yù)畸變，選擇c通常有兩種方法,如下所述

）（1）在低頻頻率處使模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，（即，條件是低頻時(shí)）

46第46頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五由令有可見模擬與數(shù)字頻率相等（利用，當(dāng)?shù)皖l時(shí),且）。

s平面和z平面的映射關(guān)系（雙線性變換）為可見在低頻時(shí)，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的特性很相近（模擬和數(shù)字頻率近似相等）。47第47頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五由對(duì)應(yīng)關(guān)系

，若希望有

對(duì)于則有：（2）模擬濾波器在某一特定頻率處（）和數(shù)字濾波器的某一頻率（）有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。即

第二種方法選擇c，僅僅保證模擬濾波器特定頻率點(diǎn)及其附近頻率與數(shù)字濾波器頻率的某個(gè)頻率對(duì)應(yīng)，而且頻率響應(yīng)完全相等，可以準(zhǔn)確控制截止頻率的位置。但在其他點(diǎn)，兩個(gè)平面的頻率呈現(xiàn)非線性關(guān)系。當(dāng)強(qiáng)調(diào)某一點(diǎn)及其附件的頻率響應(yīng)時(shí)，用第二種方法。強(qiáng)調(diào)：雙線性變換方法消除頻率混疊是以犧牲頻率的線性變換關(guān)系為代價(jià)的。48第48頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.4.3雙線性變換法實(shí)現(xiàn)步驟利用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟如下。⑴確定數(shù)字低通濾波器指標(biāo)設(shè)計(jì)（兩個(gè)邊界頻率：通帶和阻帶邊界頻率，分別為；兩個(gè)衰減：通帶最大衰減和阻帶最小衰減，分別為⑵數(shù)字低通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減，利用轉(zhuǎn)換邊界頻率：

，兩個(gè)衰減保持不變）。

⑶按照轉(zhuǎn)換過來的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器（設(shè)計(jì)方法同前），去歸一化得到所要求的實(shí)際的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。⑷利用雙線性變換公式，將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（直接代入雙線性公式，參見下式）。49第49頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一般情況下，c取2/T，T取1（還可以按特定頻率確定取c值，即）

雙線性變換法從根本上消除了頻率混疊。采樣周期T可任選，為簡(jiǎn)化取T

=

1?！纠?-5】已知一階模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為其中為其3dB帶寬。用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并要求其3dB帶寬為解：1．將數(shù)字低通濾波器指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減）轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)：50第50頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五利用頻率轉(zhuǎn)換公式,將數(shù)字濾波器3dB帶寬頻率,轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的通帶3dB截止頻率，模擬濾波器的通帶截止頻率為

②兩個(gè)衰減本題對(duì)衰減指標(biāo)沒要求，給出一階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，因此省略了求一階模擬低通系統(tǒng)函數(shù)的步驟，確定模擬濾波器的通帶3dB截止頻率后，直接離散化.將代入模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中，則有

51第51頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2．利用雙線性變換公式將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

（注意：已經(jīng)求出的是預(yù)畸變的）。3.求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)（令代入),則有）

4.驗(yàn)證指標(biāo)時(shí)，時(shí)，滿足設(shè)計(jì)要求。

52第52頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五總結(jié)雙線性變換的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)：①從根本上避免了頻率混疊現(xiàn)象；②通過常數(shù)c的選擇可以預(yù)畸變（可以在低頻或在特定頻率點(diǎn)處）；③離散化簡(jiǎn)單，只需將代入模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中替換s即可。④對(duì)于低通、高通、帶通和帶阻濾波器均可離散化缺點(diǎn)：

連續(xù)與數(shù)字頻率之間為非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換后的幅頻和相頻特性與原模擬濾波器的幅相特性有偏離。53第53頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.5模擬低通濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器本節(jié)介紹用頻率域變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器，有兩種方法：②數(shù)字頻率→數(shù)字頻率變換（簡(jiǎn)稱為數(shù)字域頻率變換①模擬頻率→模擬頻率變換（模擬域頻率變換或s域頻率變換法）法，或z域頻率變換法）。1．模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器的基本步驟①確定的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)，按照某種頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系，轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）的模擬濾波器的性能指標(biāo)（注意：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不同的公式）。54第54頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五②用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通原型濾波器。③用頻率域變換轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的模擬濾波器（高通、帶通和帶阻濾波器）。④用離散化方法（注意方法適用范圍），將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。2．?dāng)?shù)字域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器的基本步驟①將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為與數(shù)字濾波器同一類（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）型的模擬濾波器指標(biāo)（沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不同的公式）。55第55頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五②用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通原型濾波器。③用離散化方法（兩種方法選擇其中之一，根據(jù)濾波器的類型而定），將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。④用數(shù)字域頻率變換法將數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。兩種頻率設(shè)計(jì)法的流程以框圖形式給出，如圖5-18所示。56第56頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五圖5-18通過頻率變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

用模擬頻率→模擬頻率變換方法設(shè)計(jì)，在模擬域設(shè)計(jì)模擬濾器及其模擬型濾波器之間頻率轉(zhuǎn)換由表5-1給出，

57第57頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五變換類型頻率變換關(guān)系S平面變換關(guān)系低通→原型歸一化低通高通→原型歸一化低通帶通→原型歸一化低通帶阻→原型歸一化低通其中：模擬原型歸一化低通濾波器角頻率

實(shí)際模擬濾波器角頻率實(shí)際模擬濾波器系統(tǒng)變量（是軸解析延拓到全s平面）原型歸一化低通濾波器的系統(tǒng)變量（是軸解析延拓到全平面）表5-1模擬濾波器系統(tǒng)的頻率平面變換關(guān)系58第58頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.5.1模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字低通濾波器說明如下：

（1）歸一化原型低通濾波器通帶頻率為1（歸一化處理）。（2）帶通帶寬，和為通帶邊界頻率。（3）為帶通濾波器的中心頻率，用模擬頻率變換方法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟如下1．將數(shù)字低通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)（頻率轉(zhuǎn)換公式，脈沖響應(yīng)不變法：，雙線性法：

，濾波器類型之間轉(zhuǎn)換，衰減保持不變）。2．根據(jù)兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減指標(biāo)求原型低通濾波器階次N，查表得歸一化原型低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。59第59頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五3．求實(shí)際模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（求3dB截止頻率，去歸一化）。即將原型低通濾波器轉(zhuǎn)換成實(shí)際模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。4．用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。5．求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，驗(yàn)證是否滿足性能指標(biāo)要求，如不滿足指標(biāo)要求，可重新設(shè)計(jì)（提高階數(shù)等）?！纠?-6】試用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求在通帶0到

內(nèi)允許幅度誤差衰減在3dB以內(nèi)，在頻率到之間阻帶衰減在18dB。要求通、阻帶衰減單調(diào)，給定采樣周期。解：1．將數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器性能指標(biāo)。60第60頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五①數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)為（兩個(gè)邊界頻率，兩個(gè)衰減）通帶頻率阻帶頻率

通帶最大衰減。阻帶最小衰減②轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)（頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系式，沖激響應(yīng)不變法用此公式）通帶頻率阻帶頻率通帶最大衰減阻帶最小衰減（濾波器類型轉(zhuǎn)換，衰減指標(biāo)總是不變的）61第61頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2．設(shè)計(jì)巴特沃斯原型歸一化低通濾波器（由通、阻帶衰減單調(diào)要求決定）①求濾波器階數(shù)（根據(jù)模擬低通濾波器計(jì)算N的公式，代入兩個(gè)邊界頻率、兩個(gè)衰減）由取N的原則，取N=2，這樣取濾波器階數(shù)指標(biāo)，改善了濾波器的性能。

②求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)N=2，查巴特沃斯歸一化低通濾波器圖表（見附錄A），得歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為62第62頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五a、歸一化原型低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成實(shí)際低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（用去歸一化轉(zhuǎn)換公式）b、實(shí)際模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（將代入）c、歸一化頻率的選取有兩種選擇公式，取決于設(shè)計(jì)問題要突出通帶還是阻帶，但是本題不用計(jì)算，3dB頻率已給出，即：。將上式的歸一化頻率代入實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有63第63頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五3．用沖激響應(yīng)不變法，將實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)64第64頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五4．求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，驗(yàn)證是否滿足性能指標(biāo)要求，如不滿足指標(biāo)要求，則可增高階數(shù)或調(diào)整數(shù)字濾波器的參數(shù)。通過驗(yàn)證可知模擬濾波器的通、阻帶衰減指標(biāo)完全符合要求，但是數(shù)字濾波器指標(biāo)沒有達(dá)到要求，因?yàn)槟M濾波器不是帶寬有限的，這是離散化時(shí)混疊產(chǎn)生的結(jié)果。

65第65頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五5.5.2模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字帶通濾波器

實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)先將數(shù)字帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶通指標(biāo)，再將模擬帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬低通濾波器后，再將其轉(zhuǎn)換成模擬帶通，最后將模擬帶通濾波器離散化成數(shù)字帶通濾波器。

模擬低通到數(shù)字帶通濾波器設(shè)計(jì)（假設(shè)由數(shù)字帶通濾波器指標(biāo)已設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器）步驟如下：1．由歸一化原型低通濾波器到模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)換（模擬頻率→模擬頻率變換方法）。2．由模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通的變換（離散化處理）。先討論歸一化原型低通濾波器到模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換的頻率變換關(guān)系66第66頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五圖5-20實(shí)際模擬帶通濾波器與歸一化原形模擬低通濾波器幅度特性帶通濾波器指標(biāo)（1）（1）

和分別為帶通濾波器通帶的上下限頻率。（1）（2）

和分別為帶通濾波器阻帶的上下限頻率。（3）B：通帶帶寬（）一般選擇B為歸一化參考頻率。

67第67頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五：中心頻率為幾何中心頻率

歸一化原型低通濾波器指標(biāo)（1）

：通帶頻率（）（2）：阻帶頻率。根據(jù)如圖5-20所示的兩種濾波器的幅度特性，討論模擬帶通濾波器幅度特性和歸一化原型模擬低通濾波器幅度特性的對(duì)應(yīng)性，以及兩者頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出頻率對(duì)應(yīng)表（如表5-2所示）。

表5-2與頻率對(duì)應(yīng)表0068第68頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五如圖5-20所示的兩種濾波器幅度特性的對(duì)應(yīng)性和如表5-2所示的的頻率對(duì)應(yīng)性,有如下關(guān)系:模擬帶通在之間找到一點(diǎn)的頻率,它與歸一化模擬低通的軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)在之間，由于，則模擬帶通濾波器的點(diǎn)，在

軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)是。，

模擬低通的在軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)是,因此與的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：由于模擬帶通濾波器通帶內(nèi)寬度與通帶寬度之比，等于模擬低通濾波器通帶內(nèi)寬度與通帶寬度之比。同時(shí)利用了中心頻率的概念，并考慮了帶通濾波器和歸一化低通濾波器的頻帶的對(duì)應(yīng)性。69第69頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五考慮（選擇B為歸一化參考頻率），

（歸一化的概念），與的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：利用這個(gè)關(guān)系將帶通濾波器頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一的低通濾波器的頻率指標(biāo)。頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換（帶通兩個(gè)邊界頻率轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通通帶邊界頻率）。（阻帶兩個(gè)邊界頻率轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通阻帶邊界頻率）在濾波器設(shè)計(jì)過程中衰減指標(biāo)總是保持不變！70第70頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)歸一化原型低通性能指標(biāo)（兩個(gè)衰減和邊界頻率），用設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器方法，可以得到歸一化低通的系統(tǒng)函數(shù)，將代入，得到實(shí)際模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即

其中：令，，并代入得到最后將模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，例如采用雙線性變換法離散化，具體如下：71第71頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（1）確定數(shù)字帶通濾波器的性能指標(biāo)。包括通帶和阻帶上下限頻率、通帶中心頻率和兩個(gè)衰減總結(jié)IIR數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟（2）將數(shù)字帶通濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化成模擬帶通指標(biāo)。（3）將模擬帶通濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通性能指標(biāo)。（4）計(jì)算階數(shù)N，查表得到歸一化模擬低通系統(tǒng)函數(shù)。（5）將歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。（6）將模擬帶通濾波器離散化成數(shù)字帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)有兩種方法(沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法）。72第72頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五【例5-7】試用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)采樣頻率為1kHz的數(shù)字帶通濾波器。要求：通帶范圍從200Hz到250Hz，在此兩頻率處衰減不大于3dB，在100Hz和400Hz頻率處衰減不得小于25dB。要求通、阻帶衰減單調(diào)。解：（1）將要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的性能指標(biāo)（注意離散化方法不同，頻率轉(zhuǎn)換公式也不同，沖激響應(yīng)不變法：，雙線性變換法：

;注意c的選擇，考慮預(yù)畸變）①數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)化成角頻率(利用,為采樣周期)73第73頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五②將數(shù)字帶通頻率轉(zhuǎn)換為模擬帶通頻率，并預(yù)畸變（一定用雙線性法的頻率轉(zhuǎn)換公式）（雙線性變換法預(yù)畸變是由數(shù)字域頻率指標(biāo)向模擬域的轉(zhuǎn)換必須考慮的）。數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率，，③衰減保持不變，74第74頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（2）利用模擬低通←→模擬帶通頻率轉(zhuǎn)換公式，分別求出歸一化原型低通濾波器通帶頻率和阻帶頻率①歸一化原型低通濾波器通帶頻率為取歸一化原型低通濾波器通帶頻率通帶最大衰減為3dB。②歸一化原型低通濾波器阻帶頻率為75第75頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五取歸一化原型低通濾波器阻帶頻率為

（3）設(shè)計(jì)歸一化原型低通濾波器①計(jì)算歸一化原型低通濾波器階數(shù)為76第76頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五取N=2，②查表(附錄A)得到的歸一化巴特沃斯原型低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為（4）將歸一化巴特沃斯原型低通濾波器變換為實(shí)際帶通濾波器（根據(jù)低通→帶通變換公式）的系統(tǒng)函數(shù)77第77頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（5）將實(shí)際模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通過雙線性離散化成數(shù)字帶通的系統(tǒng)函數(shù)式中，參數(shù)、B取值為78第78頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五將參數(shù)代入上式整理后，得到數(shù)字帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（關(guān)于z或的有理函數(shù)）。模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)濾波器的步驟和方法小結(jié)：（1）將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為與數(shù)字濾波器同一類型的模擬濾波器指標(biāo)（頻率轉(zhuǎn)換，注意轉(zhuǎn)換公式選取，取決于離散化方法）；（2）將模擬濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化原型模擬低通濾波器（模擬域頻率變換的頻率轉(zhuǎn)換公式）；（3）設(shè)計(jì)歸一化原型模擬低通濾波器（根據(jù)兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減指標(biāo)求歸一化原型低通濾波器階次，并查表）；（4）將歸一化原型低通濾波器轉(zhuǎn)換成實(shí)際模擬低通濾波器；79第79頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（5）將實(shí)際模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的模擬濾波器（模擬域頻率變換的濾波器類型轉(zhuǎn)換公式）；（6）用雙線性變換法或沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器（后者僅適用于低通和帶通）。5.5.5數(shù)字域的頻率變換法設(shè)計(jì)數(shù)字域的頻率變換法設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)步驟概括如圖5-24所示。圖5-24數(shù)字→數(shù)字頻率變換法頻率變換80第80頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五由IIR數(shù)字濾波器數(shù)字域頻率變換設(shè)計(jì)步驟，顯然從指標(biāo)轉(zhuǎn)換到歸一化低通濾波器設(shè)計(jì)過程是我們熟悉的內(nèi)容。

由數(shù)字低通濾波器通過數(shù)字域的頻率變換方法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器則是本節(jié)的重點(diǎn)由數(shù)字域的頻率變換方法設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的步驟如下：（1）由給定的數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的模擬濾波器的指標(biāo)（利用雙線性變換法的頻率轉(zhuǎn)換公式或沖激響應(yīng)不變法（此法僅適用于低通和帶通設(shè)計(jì)）頻率轉(zhuǎn)換公式）；（3）設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器；（2）將模擬濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化原型模擬低通濾波器的指標(biāo)；81第81頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（4）將歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)；。（5）利用數(shù)字域的頻率變換公式，將數(shù)字低通轉(zhuǎn)換各類數(shù)字濾波器（包括數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器）的系統(tǒng)函數(shù)如果數(shù)字低通的系統(tǒng)函數(shù)已知為，則步驟（1）~（4）略過，直接按照步驟（5）進(jìn)行數(shù)字域的頻率變換就可以完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。兩平面之間的變換對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)則有下列關(guān)系82第82頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五變換滿足如下條件：（1）必須是關(guān)于z-1的有理函數(shù)，保證可實(shí)現(xiàn)；（2）

平面的單位圓必須映射到z平面的單位圓；（3）平面的單位圓內(nèi)必須映射到z平面的單位圓內(nèi)；其中：（2）、（3）為穩(wěn)定性要求

考慮兩平面對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)設(shè)和分別是平面和z平面的頻率變量，即幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)滿足83第83頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五由此可見，對(duì)于任意頻率，在單位圓上的幅值必為1

，這樣的幅度函數(shù)稱為全通函數(shù)，頻帶變換函數(shù)可以表示為全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即其中，為變換函數(shù)的極點(diǎn)，可以是實(shí)數(shù)，也可以為共軛復(fù)數(shù)，但是必須保證極點(diǎn)在單位園內(nèi),即

以保證變換不會(huì)改變穩(wěn)定性，可以證明的點(diǎn)，則也一定成立；同樣的點(diǎn)，則也一定成立，顯然的所有零點(diǎn)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù)，為零點(diǎn)，為極點(diǎn)），N是全通函數(shù)的階數(shù)，當(dāng)從0到變化時(shí)，則全通函數(shù)的相角在0到的范圍變化即

，（

84第84頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五在范圍變化）。選擇合適的N和，就可以獲得各種不同類型的數(shù)字濾波器。書中表5-5給出由原型低通數(shù)字濾波器到數(shù)字低通、高通、數(shù)字帶通和數(shù)字帶阻濾波器的數(shù)字域頻率變換公式【例5-8】設(shè)計(jì)一個(gè)2階數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率為，通、阻帶衰減單調(diào)遞減，采樣頻率為。。解：1．由給定條件求出數(shù)字低通濾波器根據(jù)題意可直接按2階模擬低通設(shè)計(jì)。但是模擬低通的通帶截止頻率需要求出。85第85頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五對(duì)于原型低通模擬濾波器和數(shù)字濾波器的通帶截止頻率，可任意設(shè)定它們中的一個(gè)截止頻率，設(shè)定原則是盡可能地使數(shù)字低通到數(shù)字高通的變換公式簡(jiǎn)化。另一個(gè)截止頻率則按照雙線性變換的頻率來確定。①原型低通數(shù)字濾波器到數(shù)字高通的變換公式中參數(shù)a的確定（盡可能簡(jiǎn)化）原型低通數(shù)字濾波器到數(shù)字高通的變換公式為可以選擇適當(dāng)?shù)念l率，代入原型低通數(shù)字濾波器到數(shù)字高通的轉(zhuǎn)換的參數(shù)公式，使得（這就可以簡(jiǎn)化數(shù)字低通到數(shù)字高通的變換公式）。86第86頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五即：則有，使得數(shù)字低通變換成數(shù)字高通相對(duì)容易。②確定模擬低通的通帶邊界頻率根據(jù)題目給定數(shù)字高通通帶邊界，可以確定數(shù)字低通的通帶邊界頻率將數(shù)字低通通帶截止頻率，代入雙線性變換公式，可得模擬低通濾波器的通帶截止頻率即，87第87頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五（取c=1）。其中：為模擬低通濾波器的通帶截止頻率。③設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器查表得2階歸一化原型模擬巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為已知模擬低通階數(shù)N=2，又計(jì)算出模擬低通濾波器的通帶截止頻率（歸一化頻率），可以設(shè)計(jì)歸一化原型模擬巴特沃斯低通濾波器（要求通、阻帶衰減單調(diào)）88第88頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五④去歸一化，得到實(shí)際模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),將

代入上式，則有這是因?yàn)槟M低通歸一化參考頻率，因此歸一化原型模擬低通濾波器與實(shí)際模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)相等。⑤由歸一化模擬低通求數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)將模擬低通系統(tǒng)函數(shù)離散化為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)89第89頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2．通過數(shù)字域頻率變換法，將數(shù)字低通變換成要設(shè)計(jì)的數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)將數(shù)字低通系統(tǒng)函數(shù)通過數(shù)字→數(shù)字頻率變換公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，轉(zhuǎn)換的結(jié)果為90第90頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

這里顯然可見，模擬頻率→模擬頻率變換法與數(shù)字頻率→數(shù)字頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，由模擬低通向所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾