江蘇省南京市2022屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)模擬試題

江蘇省南京市2022屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1、計(jì)算：=。2、若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則=。3、某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為，。已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為。4、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，前三項(xiàng)的和為21，則。5、設(shè)是兩個(gè)集合，定義集合，若，，則。6、根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為。7、已知扇形的周長(zhǎng)為，則該扇形面積的最大值為。8、過橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為。若，則該橢圓的離心率為。9、若方程在區(qū)間上有解，則所有滿足條件的的值的和為10、如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔、，燈塔位于燈塔的正南方向，海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔的北偏西方向，與相距海里的處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與相距5海里的處，則兩艘船之間的距離為海里。11、如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，若截面是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為。12、設(shè)：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；，如果“┐p”是正真命題，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是。13、如圖，在正方形中，已知，為的中點(diǎn)，若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的最大值是。14、已知函數(shù)，，是其圖象上不同的兩點(diǎn).若直線的斜率總滿足，則實(shí)數(shù)的值是。二、解答題15、（本題滿分14分）某學(xué)?；@球隊(duì)，羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求：該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；（2）該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率16、（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面中為菱形，，為的中點(diǎn)。若，求證：平面平面；點(diǎn)在線段上，，試確定實(shí)數(shù)的值，使得平面。17、（本題滿分14分）已知函數(shù)。求函數(shù)在上的值域；在中，若，求的值。18、（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5。求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以為圓心的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為，求證：圓過定點(diǎn)。19、（本題滿分16分）設(shè)，函數(shù).當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值.20、（本題滿分16分）在數(shù)列中，已知，且，若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值。求數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，求證：南京市2022屆高三第一次調(diào)研試數(shù)學(xué)附加題21、選做題(在四小題中只能選做2題，每小題10分,共計(jì)2分).選修：幾何證明選講如圖，已知四邊形內(nèi)接于⊙O,,切⊙O于點(diǎn).求證：.B.選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線，求曲線的方程。C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線和參數(shù)方程為,是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值。D．選修4-5：不等式選講已知為正數(shù)，求證：.必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。22．已知圓：，定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切。（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過原點(diǎn)的直線與（1）中的曲線交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程。23已知：（1）當(dāng)時(shí)，求的值。（2）設(shè)，。試用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，參考答案填空1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、。二、解答題1`5、（本題滿分14分）解：（1）（設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的”為事件A，則事件A的概率（2）設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的”為事件B，則事件B的概率為答：（略）16、（本題滿分14分）解：（1）連，四邊形菱形，為的中點(diǎn)，又，（2）當(dāng)時(shí)，使得，連交于，交于，則為的中點(diǎn)，又為邊上中線，為正三角形的中心，令菱形的邊長(zhǎng)為，則，。即：。17、解：（1），在區(qū)間上的值域?yàn)椋?），，18、解：（1）依題意，得：，。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為。圓心在軸上截得的弦長(zhǎng)為圓心的方程為：從而變?yōu)椋孩賹?duì)于任意的，方程①均成立。故有：解得：所以，圓過定點(diǎn)（2，0）。19、解（1）當(dāng)時(shí)，令得所以切點(diǎn)為（1，2），切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為：。（2）①當(dāng)時(shí)，，，恒成立。在上增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，（）（i）當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)(ii)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間時(shí)為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)(iii)當(dāng)；即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和時(shí)的最小值都是。所以此時(shí)的最小值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為，而，所以此時(shí)的最小值為。當(dāng)時(shí)，在時(shí)最小值為，在時(shí)的最小值為，而，所以此時(shí)的最小值為所以函數(shù)的最小值為20、解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，依題得：，對(duì)恒成立。即：，對(duì)恒成立。所以，即：或，故的值為2。（2）所以，當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，。相乘得所以當(dāng)也符合。當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，，相乘得所以，所以。因此，當(dāng)時(shí)也符合。所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，所以南京市2022屆高三第一次調(diào)研試數(shù)學(xué)附加題參考答案21、選做題.選修：幾何證明選講證明：因?yàn)榍小袿于點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以又A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以所以又錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。，所以∽所以即所以即：B.選修4-2：矩陣與變換解:由題設(shè)得,設(shè)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?則有,即,所以因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,從而,即：所以曲線的方程為C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）故直線的普通方程為因?yàn)闉闄E圓上任意點(diǎn)，故可設(shè)其中。因此點(diǎn)到直線的距離是所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值。D．選修4-5：不等式選講證明：，所以必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。22、解：（1）設(shè)圓的半徑為。因?yàn)閳A與圓，所以所以，即：所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為其中，所以所以曲線的方程（2）因?yàn)橹本€過橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱性可知，因?yàn)?，所以?/p>