大學(xué)高數(shù) 考試復(fù)習(xí)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學(xué)高數(shù)考試復(fù)習(xí)高數(shù)級(jí)數(shù)理論部分練習(xí)

10．5．28

一．填空

(?1)n?11．級(jí)數(shù)?的和為。

nn?1?2．把函數(shù)

11?。展開成x?1的冪級(jí)數(shù)到：

1?x1?x?3．級(jí)數(shù)??1?1?的和為。

??2n?n?1?n(n?1)?2,???x?04．設(shè)f(x)是以2?為周期的周期函數(shù)，在???,??上的表達(dá)式為f(x)??，則在x?0處f(x)4,0?x???的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于。

x2n?15．冪級(jí)數(shù)?的收斂區(qū)間為。

n?12n?1?6．若冪級(jí)數(shù)

?an?0n?nx在x??3時(shí)收斂，則冪級(jí)數(shù)?anxn在x?3時(shí)是否絕對(duì)收斂？nn?0??7．若

limun???0，則級(jí)數(shù)?un收斂，對(duì)么？（）

n?18．若f(x)在[??,?]上是以2?為周期的按段光滑函數(shù)，則

___,x為連續(xù)點(diǎn)?__________a0?___,x為f(x)的休止點(diǎn)??(ancosnx?bnsinnx)=?__________2n?1?_____________,x?????9．

1(a?0)，當(dāng)a=時(shí)收斂。?n1?an?1?10．級(jí)數(shù)

?un?1??n的部分和數(shù)列{Sn}有界，則級(jí)數(shù)

???un?1?n收斂。（）

11．若級(jí)數(shù)

?un?1?n與

?vn?1n都發(fā)散，則

?(un?1n（）?vn)也發(fā)散。

12．若級(jí)數(shù)

?un?1n發(fā)散，則limun?0。（）

n??13．若級(jí)數(shù)

?un?1n?n收斂，那么它的更序級(jí)數(shù)一定收斂。（）

14．若

?un?1?（）(x)在[a,b]上收斂于s(x)且每個(gè)un(x)都在[a,b]上連續(xù)，則s(x)也在[a,b]上連續(xù)。

二．選擇題

1．以下級(jí)數(shù)中收斂的是（）

???4n?8n4n?8n4n?2n2n?4n（A）?（B）?（C）?（D）?。nnnn8888n?1n?1n?1n?1??2．若級(jí)數(shù)

??un?1n收斂，則以下級(jí)數(shù)中（）收斂。

?（A）?(un?0.001)（B）?un?1000（C）?un（D）?1000。

n?1n?1??n?1n?1un3．設(shè)

?un?1??n?2，則以下級(jí)數(shù)中和不是1的為（）

?unun（D）??n?22n?12??11（A）?（B）?n（C）

n?1n(n?1)n?124．將函數(shù)f(x)?e??x2展開成x的冪級(jí)數(shù)得到（）

???x2n(?1)nx2nxn(?1)nxn（A）?（B）?（C）?（D）?

n!n!n!n!n?0n?0n?0n?05．以下級(jí)數(shù)條件收斂的是（）（A）

?(?1)n?1?n1??n11nn（B）?(?1)（C）（D）(?1)(?1)??2n?1n(n?1)nnn?1n?1n?1n?6．

?n?lnn（）

n?2?cosn?A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、可收斂也可能發(fā)散7．

?(?1)n?1?n?1(x?1)n的收斂域?yàn)椋ǎ﹏A、??2,0?B、??2,0?C、??2,0?D、??2,0?8．以下級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）

???n1n1n1A、?(?1)B、?(?1)C、?(?1)D、?2n?1nnnn?1n?1n?1n?1n???9．若級(jí)數(shù)

?un?1n和

?Vn?1n都發(fā)散，則（）

A、

?(un?1n???n?Vn)必發(fā)散；B、?unVn發(fā)散；C、?(un?Vn)必發(fā)散D以上說法都不對(duì)

n?1?10．

limun?0是級(jí)數(shù)?un收斂的。

n?0?A、必要條件；B、充分條件；C、充要條件；D、既非充分又非必要。

11．以下命題正確的是．(A)若

?un?1??n與

?vn?1?n都發(fā)散，則

??(un?1?n?vn)也發(fā)散．

(B)若

?un?1n收斂，而

?vn?1n發(fā)散，則

??(un?1?n?vn)必發(fā)散．

(C)若un?vn(n?1,2,…)且

??vn?1n絕對(duì)收斂，則

?un?1?n必收斂．

(D)級(jí)數(shù)

?un?1n收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界．

12．以下命題正確的是．

(A)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)一定收斂．(B)若

???un?1n?n為條件收斂級(jí)數(shù)，則

??u

n?1

?

2n

一定發(fā)散．

(C)若

?un?1n發(fā)散，則limun?0．(D)若

n???un?1收斂，則

?un?12n也收斂．

三．計(jì)算與證明

1．求冪級(jí)數(shù)?n2xn的收斂域及和函數(shù)。

n?1?2．探討?1n?1?在a?0時(shí)的斂散性。

n1?a3．設(shè)f(x)??x?x,(???x??)的傅里葉級(jí)數(shù)為a0??(ancosnx?bnsinnx)，求系數(shù)b3。

2n?12?(x?3)n4．求冪級(jí)數(shù)?的收斂域與收斂半徑。2nn?1?(2x?1)n5．求冪級(jí)數(shù)?的收斂域和收斂半徑。

nn?1?6判別級(jí)數(shù)

(1?cos)的斂散性。?nn?12n?12nx的收斂域與和函數(shù)。?n!n?1????7．求冪級(jí)數(shù)

xn8．求冪級(jí)數(shù)?的收斂域及和函數(shù)。

n?1n(n?1)111xn????的和。9．求級(jí)數(shù)?的收斂域，并求出它的和函數(shù)，由此求出231?32?33?3nn?1???1,0?x???210．將f(x)??，在[0,?]上展開成余弦級(jí)數(shù)，并求出它的和函數(shù)。

??0,?x????2x2x3x4x5xn?1n?111．確定級(jí)數(shù)??????(?1)??的收斂域，并求和函數(shù)。

1?22?33?44?5n(n?1)12．求級(jí)數(shù)

nnx在其收斂域x?1中的和函數(shù)。?n?1n?12?13．求級(jí)數(shù)(2?x)??3233394x?x?x??的收斂半徑及和函數(shù)4816xn14.求?的和函數(shù)。

n?0n?115．將函數(shù)f(x)?x在[0,?]上展開為正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)。16．求冪級(jí)數(shù)?(?1)n?1nxn的和函數(shù)。

n?1?

參考答案一．填空

n1?n(x?1)1．ln22.?(?1)3、04、35、(?1,1)6、絕對(duì)收斂7．×2n?02n??f(x)??f(x?0)?f(x?0)8．?9、?1；10．×；11×12×13×14×

2??f(???0)?f(??0)?2?二．選擇

1、C2、B3、C4、B5、A6.B；7．B；8.B；9、C；10、A；11．B12．A

三．計(jì)算與證明

?n2n2x??11.R?lim當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為(?1)n發(fā)散，所以收斂域?yàn)??1,1)。?1,?n??(n?1)2n?1'?????x?'?x(x?1)????2n?1nn。S(x)?x?nx?x??nx??x?x??x???x?x????3n?1?n?1?????1?x???(1?x)??n?1???1110?a?1??0lim?1?0，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。2.當(dāng)a?1時(shí)，lim,所以級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，nn??1?ann??21?a????1111a?1a?1/?1當(dāng)a?1時(shí)，lim，而在時(shí)收斂，所以時(shí)收斂。??nnn??1?anana1?an?1n?1'''23.b3?(?x?x)sinnxdx??xsin3xdx??xdcos3x?????????3021?1??22??xcos3x???。033(x?3)n?14.??limn??(n?1)2(x?3)n?x?3