復(fù)變函數(shù)與積分變換第六章測(cè)驗(yàn)題與答案

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第六章共形映射

一、選擇題：

1．若函數(shù)w?z2?2z構(gòu)成的映射將z平面上區(qū)域G縮小，那么該區(qū)域G是()

（A）z?1111（B）z?1?（C）z?（D）z?1?22222．映射w?3z?i在z0?2i處的旋轉(zhuǎn)角為()z?i（A）0（B）

iz2?2（C）?（D）??2

3．映射w?e在點(diǎn)z0?i處的伸縮率為()

（A）1（B）2(C)e?1（D）e

?4．在映射w?iz?e(A)Re(w)?4i下，區(qū)域Im(z)?0的像為()

22（B）Re(w)??2222（D）Im(w)??22（C）Im(z)?5．以下命題中，正確的是()

n（A）w?z在復(fù)平面上四處保角（此處n為自然數(shù)）

3（B）映射w?z?4z在z?0處的伸縮率為零

（C）若w?f1(z)與w?f2(z)是同時(shí)把單位圓z?1映射到上半平面Im(w)?0的分式線性變換，那么f1(z)?f2(z)

（D）函數(shù)w?z構(gòu)成的映射屬于其次類保角映射6．1?i關(guān)于圓周(x?2)?(y?1)?4的對(duì)稱點(diǎn)是()

1

22復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題

（A）6?i（B）4?i（C）?2?i（D）i

?z3?i7．函數(shù)w?3將角形域0?argz?映射為()

3z?i(A)w?1（B）w?1（C）Im(w)?0（D）Im(w)?08．將點(diǎn)z?1,i,?1分別映射為點(diǎn)w??,?1,0的分式線性變換為（）

（A）w??z?1z?1（B）w?z?11?ziiz?1z?1(D)w?e21?zz?1?（C）w?e29．分式線性變換w?2z?1把圓周z?1映射為()2?z（A）w?1(B)w?2（B）w?1?1(D)w?1?2

10．分式線性變換w?z?1將區(qū)域:z?1且Im(z)?0映射為()1?z（A）??2?argw??（B）??2?argw?0

（C）

?2?argw??（D）0?argw??2

11．設(shè)a,b,c,d,為實(shí)數(shù)且ad?bc?0，那么分式線性變換w?az?b把上半平面映射為wcz?d平面的()

（A）單位圓內(nèi)部（B）單位圓外部（C）上半平面（D）下半平面

12．把上半平面Im(z)?0映射成圓域w?2且滿足w(i)?0,w?(i)?1的分式線性變換

2

復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題

w(z)為()

（A）2ii?zz?ii?zz?i（B）2i（C）2（D）2i?zz?ii?zz?i13．把單位圓z?1映射成單位圓w?1且滿足w()?0,w?(0)?0的分式線性變換w(z)為()

(A)

i22z?ii?2z2z?ii?2z

（B）（C）（D）2?iz2?iz2?iz2?iz

14．把帶形域0?Im(z)??2映射成上半平面Im(w)?0的一個(gè)映射可寫為()

izz2z（A）w?2e（B）w?e（C）w?iez（D）w?e

ez?1?i15．函數(shù)w?z將帶形域0?Im(z)??映射為()

e?1?i（A）Re(w)?0（B）Re(w)?0（C）w?1（D）w?1二、填空題

1．若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0解析且f?(z0)?0，那么映射w?f(z)在z0處具有．2．將點(diǎn)z?2,i,?2分別映射為點(diǎn)w??1,i,1的分式線性變換為．

3．把單位圓z?1映射為圓域w?1?1且滿足w(0)?1,w?(0)?0的分式線性變換w(z)?4．將單位圓z?1映射為圓域w?R的分式線性變換的一般形式為．

5．把上半平面Im(z)?0映射成單位圓w(z)?1且滿足w(1?i)?0,w(1?2i)?線性變換的w(z)=．

1的分式33

復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題

6．把角形域0?argz??4映射成圓域w?4的一個(gè)映射可寫為．

7．映射w?ez將帶形域0?Im(z)?3?映射為．48．映射w?z3將扇形域：0?argz??3且z?2映射為．

9．映射w?lnz將上半z平面映射為．10．映射w?11(z?)將上半單位圓：z?2且Im(z)?0映射為．2z三、設(shè)w1(z)?a1z?b1az?b2,w2(z)?2是兩個(gè)分式線性變換，假使記

c1z?d1c2z?d2?a1??c?1b1??d1???1??????????a1b1??a2???,???????c1d1???c2b2??ab?????cd??d2?????1試證1．w1(z)的逆變換為w1(z)??z??；

?z??az?b．

cz?d2．w1(z)與w2(z)的復(fù)合變換為w1[w2(z)]?四、設(shè)z1與z2是關(guān)于圓周?:z?a?R的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，試證明圓周?可以寫成如下形式

z1?az?z1R．??其中???z?z2z2?aR五、求分式線性變換w(z)，使z?1映射為w?1，且使z?1,1?i映射為w?1,?．六、求把擴(kuò)展復(fù)平面上具有割痕：Im(z)?0且???Re(z)?0的帶形域???Im(z)??映射成帶形域???Im(w)??的一個(gè)映射．

七、設(shè)b?a?0，試求區(qū)域D:z?a?a且z?b?b到上半平面Im(w)?0的一個(gè)映射

4

復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題

w(z)．

八、求把具有割痕：Im(w)?0且

1?Re(z)?1的單位圓z?1映射成上半平面的一個(gè)映射．2九、求一