舉一反三四年級(jí)數(shù)學(xué)《奧數(shù)》課程第1講至第40講全

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)舉一反三第1講至第40講（全精品）

目錄

第1講找規(guī)律（一）

第2講找規(guī)律（二）

第3講簡(jiǎn)單推理

第4講應(yīng)用題（一）

第5講算式謎（一）

第6講算式謎（二）

第7講最優(yōu)化問(wèn)題

第8講巧妙求和（一）

第9講變化規(guī)律（一）

第10講變化規(guī)律

第11講錯(cuò)中求解

第12講簡(jiǎn)單列舉

旗開(kāi)得勝

第13講和倍問(wèn)題

第14講植樹(shù)問(wèn)題

第15講圖形問(wèn)題

第16講巧妙求和

第17講數(shù)數(shù)圖形

第18講數(shù)數(shù)圖形

第19講應(yīng)用題

第20講速算與巧算

第二十一周速算與巧算（二）

第二十二周平均數(shù)問(wèn)題

第二十三周定義新運(yùn)算

第二十四周差倍問(wèn)題

第二十五周和差問(wèn)題

第二十六周巧算年齡

讀萬(wàn)卷書行萬(wàn)里路

第二十七周較復(fù)雜的和差倍問(wèn)題

第二十八周周期問(wèn)題

第二十九周行程問(wèn)題（一）

第三十周用假設(shè)法解題

第三十一周還原問(wèn)題

第三十二周邏輯推理

第三十三周速算與巧算（三）

第三十四周行程問(wèn)題（二）

第三十五周容斥原理

第三十六周二進(jìn)制

第三十七周應(yīng)用題（三）

第三十八周應(yīng)用題（四）

第三十九周盈虧問(wèn)題

第四十周數(shù)學(xué)開(kāi)放題

旗開(kāi)得勝

第1講找規(guī)律(一)

一、知識(shí)要點(diǎn)

觀察是解決問(wèn)題的根據(jù)。通過(guò)觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況

下，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)找規(guī)律：

1.根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；

2.根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；

3.要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；

4.數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來(lái)理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可

以認(rèn)為是正確的。

二、精講精練

【例題11先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

1,4,7,10,(),16,19

【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3,即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面

的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或16-3=13。

像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。

練習(xí)1：先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

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(1)2,6,10,14,(),22,26

(2)3,6,9,12,(),18,21

(3)33,28,23,(),13,(),3

(4)55,49,43,(),31,(),19

(5)3,6,12,(),48,(),192

(6)2,6,18,(),162,()

(7)128,64,32,(),8,(),2

(8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3..

【例題2】先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1,2,4,7,(),

16,22

【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是1,2,3。由此可以

推算7比括號(hào)里的數(shù)少4,括號(hào)里應(yīng)填:7+4=11。經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。

應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11。

練習(xí)2:先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)10,11,13,16,20,(),31

(2)1,4,9,16,25,(),49,64

旗開(kāi)得勝

(3)3,2,5,2,7,2,(),(),11,2

(4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8

(5)81,64,49,36,(),16,(),4,1,0

(6)28,1,26,1,24,1,(),(),20,1

(7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2

(8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14

［例題3］先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

23,4,20,6,17,8,(),(),11,12

【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上2的和是

第四個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)……依此規(guī)

律，8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14,11前面的數(shù)為：8+2=10

練習(xí)3:先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)1,6,5,10,9,14,13,(),()

(2)13,2,15,4,17,6,(),()

(3)3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14

(4)21,2,19,5,17,8,(),()

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6

(5)32,20,29,18,26,16,(),(),20,12

(6)2,9,6,10,18,11,54,(),(),13,486

(7)1,5,2,8,4,11,8,14,(),()

(8)320,1,160,3,80,9,40,27,(),()

【例題4】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,）,34,55……中，括號(hào)里應(yīng)填什

么數(shù)？

【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于它前

面兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：8+13=21或34-13=21

上面這個(gè)數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學(xué)家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列"。

練習(xí)4:先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)2,2,4,6,10,16,(),()

(2)34,21,13,8,5,(),2,()

(3)0,1,3,8,21,(),144

(4)3,7,15,31,63,(),()

(5)33,17,9,5,3,()

(6)0,1,4,15,56,()

旗開(kāi)得勝

(7)1,3,6,8,16,18,(),(),76,78

(8)0,1,2,4,7,12,20,()

【例題5］下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(8,4)(5,7)(10,2)(n,9)

【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)相加的和都是12。

根據(jù)這一規(guī)律，口里所填的數(shù)應(yīng)為：12-9=3

練習(xí)5:下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(□,)

(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(n,5)

(4)(2,3)(5,9)(7,13)(9,n)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(7)(100,50)(86,43)(64,32)(□,21)

(8)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

第2講找規(guī)律(二)

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8

一、知識(shí)要點(diǎn)

對(duì)于較復(fù)雜的按規(guī)律填數(shù)的問(wèn)題，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)思考：

1.對(duì)于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒(méi)有一成不變的

方法，有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)，一種方法不行，就要及時(shí)調(diào)整思路，換一種方法再分

析；

2.對(duì)于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊

位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。

3.對(duì)于找到的規(guī)律，應(yīng)該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式。

二、精講精練

［例題1］根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：12+6=18,8+7=15,即每一

橫行中間的數(shù)等于兩邊的兩個(gè)數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應(yīng)填的數(shù)為：4+8=12。

練習(xí)1:找規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

旗開(kāi)得勝

H16_dHFn_dH

二10n

n9□n16I，30

【例題2】根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？

【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個(gè)圈中三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)系：5

X12^10=64x20+10=8

根據(jù)這一規(guī)律，第三個(gè)圈中右下角應(yīng)填的數(shù)為：8x30+10=24.

練習(xí)2:根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的空格里應(yīng)填什么數(shù)。

(2)

(3)

［例題3］先計(jì)算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫

出后幾題的得數(shù)。12345679x9=12345679x18=12345679x

54=12345679x81=

【思路導(dǎo)航】題中每個(gè)算式的第一個(gè)因數(shù)都是12345679,它是有趣的"缺8數(shù)"，

與9相乘，結(jié)果是由九個(gè)1組成的九位數(shù)，即：lllllllllo不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)

律是：只要看每道算式的第二個(gè)因數(shù)中包含幾個(gè)9,乘積中就包含幾個(gè)lllllllllo

因?yàn)?12345679x9=111111111

所以：12345679x18=12345679x9x2=222222222

12345679x54=12345679x9x6=66666666612345679x81=12345679x9x

9=999999999.

練習(xí)3:找規(guī)律，寫得數(shù)。

(1)1+0x9=2+1x9=3+12x9=4+123x9=9+12345678x9=

(2)1x1=11x11=111x111=111111111x111111111=

旗開(kāi)得勝

(3)19+9x9=118+98x9=1117+987x9=11116+9876x

9=111115+98765x9=

［例題4］找規(guī)律計(jì)算。(1)81-18=(8-1)x9=7x9=63

(2)72—27=(7-2)x9=5x9=45(3)63-36=(□-□)x9=ax9=a

【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)兩位數(shù)與交換它的十位、個(gè)位數(shù)字位

置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個(gè)位數(shù)字的差乘9,所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的差。

練習(xí)4:

1.利用規(guī)律計(jì)算。(1)53-35(2)82-28(3)92-29(4)61-16(5)

95-59

2.找規(guī)律計(jì)算。(1)62+26=(6+2)x11=8x11=88(2)87+78=(8+7)x

11=15x11=165(3)54+45=(口+口?11=311=□【例題5】計(jì)算(1)26x11(2)

38x11

【思路導(dǎo)航】一個(gè)兩位數(shù)與11相乘，只要把這個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字的和插入這兩個(gè)

數(shù)字中間，就是所求的積。(1)26x11=2(2+6)6=286(2)38x11=3(3+8)8=418

注意：如果兩個(gè)數(shù)字的和滿十,要向前一位進(jìn)一。

練習(xí)5計(jì)算下面各題。(1)27x11(2)32xll(3)39x11(4)

46x11(5)92x11(6)98x11

讀萬(wàn)卷書行萬(wàn)里路

第3講簡(jiǎn)單推理

一、知識(shí)要點(diǎn)

解答推理問(wèn)題，要從許多條件中找出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進(jìn)

行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進(jìn)一步推理的依據(jù)。

二、精講精練

[例題1]一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克

力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)"一包巧克力的重量=兩袋餅干的重量"與"4袋牛肉干的重量=一

包巧克力的重量"可推出：兩袋餅干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋餅干的重量=

兩袋牛肉干的重量。

練習(xí)1:

(1)一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，

一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？

(2)3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的

重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？

(3)一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小

豬的重量等于幾只鴨的重量？

旗開(kāi)得勝

[例題2]一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一

匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)"一頭象的重量等于4頭牛的重量"與"一頭牛的重量等于3匹小

馬的重量"可推出："一頭象的重量等于12匹小馬的重量"，而"一匹小馬的重量等于3

頭小豬的重量"，因此，一頭象的重量等于36頭小豬的重量。

練習(xí)2:

(1)一只西瓜的重量等于兩個(gè)菠蘿的重量，1個(gè)菠蘿的重量等于4個(gè)蘋果的重量，1

個(gè)蘋果的重量等于兩個(gè)橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個(gè)橘子的重量？

(2)一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草

的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？

(3)一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨

的重量等于6條魚的重量。問(wèn)：兩只小豬的重量等于幾條魚的重量？

【例題3】根據(jù)下面兩個(gè)算式，求。與□各代表多少？。+。+。=18o+a=10

【思路導(dǎo)航】在第一個(gè)算式中，3個(gè)。相加的和是18,所以。代表的數(shù)是：18+3=6,

又由第二個(gè)算式可求出口代表的數(shù)是：10-6=4.

練習(xí)3:

(1)根據(jù)下面兩個(gè)算式，求□與△各代表多少？

□+□+□+口=32△-n=20

讀萬(wàn)卷書行萬(wàn)里路A*

14

(2)根據(jù)下面兩個(gè)算式，求。與□各代表多少？。+。+。=15

。+€)+□+□+口=40

(3)根據(jù)下面兩個(gè)算式，求。與△各代表多少？。-A=8

△+△+△=o

［例題4］根據(jù)下面兩個(gè)算式，求。與△各代表多少？

△-0=2O+O+A+^+A=56

【思路導(dǎo)航】由第一個(gè)算式可知，△比。多2;如果將第二個(gè)算式的。都換成4,那么5

個(gè)"56+2x2,^=12,再由第一個(gè)算式可知，o=12-2=10.

練習(xí)4:

(1)根據(jù)下面兩個(gè)算式求□與。各代表多少？

□-0=8□+□+o+0=20

(2)根據(jù)下面兩個(gè)算式，求△與。各代表多少？

△+△+△+04-0=78△+△+0+0+0=72

(3)根據(jù)下面兩個(gè)算式，求△與□各代表多少？

△+△+△-□-□=12□+□+□-△-A=2

【例題5］甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學(xué)生，在區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上他們分別

獲得跳高、跳遠(yuǎn)和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠(yuǎn)冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不是跳

旗開(kāi)得勝

高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問(wèn)：他們?nèi)齻€(gè)人分別是哪個(gè)學(xué)校的？獲得哪項(xiàng)

冠軍？

【思路導(dǎo)航】由"二小的是跳遠(yuǎn)冠軍"可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的；因?yàn)?一

小的不是壘球冠軍"，所以一小一定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍；由"甲不是跳遠(yuǎn)冠

軍"，"乙既不是二小的也不是跳高冠軍"可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是跳遠(yuǎn)

冠軍，三小的乙是壘球冠軍。

練習(xí)5:

(1)有三個(gè)女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會(huì)。一個(gè)穿花的，一個(gè)穿白的，一個(gè)

穿紅的。但不知哪一個(gè)姓王、哪一個(gè)姓李、哪一個(gè)姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓

王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個(gè)女孩各姓什么嗎？

(2)小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參加100米比賽，比賽結(jié)束后小猴說(shuō)："我比

小貓跑得快。"小狗說(shuō)："小鹿在我前面沖過(guò)終點(diǎn)線?！靶⊥谜f(shuō)："我們的名次排在小猴

前面，小狗在后面?！闭?qǐng)根據(jù)它們的回答排出名次。

(3)五個(gè)女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離

相等的座位上，戌坐在她兩個(gè)姐姐之間。請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)是戌的姐姐？

讀萬(wàn)卷書行萬(wàn)里路

16

第4講應(yīng)用題(一)

一、知識(shí)要點(diǎn)

解答應(yīng)用題時(shí)，必須認(rèn)真審題，理解題意，深入細(xì)致地分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，通

過(guò)對(duì)條件進(jìn)行比較、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問(wèn)題得以順

利解決。

二、精講精練

［例題1］某玩具廠把630件玩具分別裝在5個(gè)塑料箱和6個(gè)紙箱里,1個(gè)塑料箱

與3個(gè)紙箱裝的玩具同樣多。每個(gè)塑料箱和紙箱各裝多少件玩具?

【思路導(dǎo)航】如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個(gè)紙箱或

一個(gè)塑料箱裝多少件。因?yàn)?個(gè)紙箱與一個(gè)塑料箱裝的同樣多，所以6個(gè)紙箱與2個(gè)塑料

箱裝的同樣多。這樣，5個(gè)塑料箱裝的玩具件數(shù)和7個(gè)塑料箱裝的就同樣多。由此，可求

出一個(gè)塑料箱裝多少件。

練習(xí)1:

(1)百貨商店運(yùn)來(lái)300雙球鞋分別裝在2個(gè)木箱和6個(gè)紙箱里。如果兩個(gè)紙箱同一

個(gè)木箱裝的球鞋同樣多，每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙球鞋？

(2)新華小學(xué)買了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價(jià)錢是每

把椅子的4倍，每張桌子多少元?

旗開(kāi)得勝

（3）王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5千克荔枝的價(jià)錢

等于2千克桂圓的價(jià)錢。每千克荔枝和每千克桂圓各多少元？

［例題2］一桶油,連桶重180千克,用去一半油后,連桶還有100千克。問(wèn)：油和

桶各重多少千克？

【思路導(dǎo)航】原來(lái)油和桶共重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克，說(shuō)明

用去的一半油的重是180-100=80（千克），一桶油的重量就是80x2=160（千克），

油桶的重量就是180-160=20（千克）。

練習(xí)2:

（1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20千克。問(wèn)：梨和筐各重多

少千克？

（2）一筐蘋果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送

給一年級(jí)小朋友，余下的蘋果連筐重11千克。這筐蘋果重多少千克？

（3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來(lái)的2倍，油桶連油重38千克；如果把

油加到原來(lái)的4倍，這里油和桶共重46千克。原來(lái)油桶里有油多少千克？

【例題3］有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來(lái)

4盒茶葉的重量相等。原來(lái)每盒茶葉有多少克？

【思路導(dǎo)航】由條件"每盒取出200克，5盒剩下的茶葉正好和原來(lái)4盒茶葉重量相

等"可以推出，拿出的200x5=1000（克）茶葉正好等于原來(lái)的5-4=1（盒）茶葉的重

量。

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18

練習(xí)3:

(1)有6筐梨子，每筐梨子個(gè)數(shù)相等，如果從每筐中拿出40個(gè)，6筐梨子剩下的個(gè)

數(shù)總和正好和原來(lái)兩筐的個(gè)數(shù)相等。原來(lái)每筐有多少個(gè)？

(2)在5個(gè)木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個(gè)木箱中拿出60個(gè)橘子，那么5

個(gè)木箱中剩下的橘子的個(gè)數(shù)的總和等于原來(lái)兩個(gè)木箱里橘子個(gè)數(shù)的和。原來(lái)每個(gè)木箱中有

多少個(gè)橘子？

(3)某食品店有5箱餅干，如果從每個(gè)箱子里取出20千克，那么5個(gè)箱子里剩下的

餅干正好等于原來(lái)3箱餅干的重量。原來(lái)每個(gè)箱子里裝多少千克餅干？

【例題4]一個(gè)木器廠要生產(chǎn)一批課桌。原計(jì)劃每天生產(chǎn)60張，實(shí)際每天比原計(jì)劃

多生產(chǎn)4張，結(jié)果提前一天完成任務(wù)。原計(jì)劃要生產(chǎn)多少?gòu)堈n桌?

【思路導(dǎo)航】這道題的關(guān)鍵是要求出工作時(shí)間。因?yàn)閷?shí)際比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù),

這就相當(dāng)于把原計(jì)劃最后1天的任務(wù)平均分到前面的幾天去做，正好分完。實(shí)際比原計(jì)劃

每天多生產(chǎn)4張，所以實(shí)際生產(chǎn)的天數(shù)是60+4=15天，原計(jì)劃生產(chǎn)的天數(shù)是15+1=16

天。所以原計(jì)劃要生產(chǎn)60x16=960張。

練習(xí)4:

(1)電視機(jī)廠接到一批生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃每天生產(chǎn)90臺(tái)，可以按期完成。實(shí)際每天多

生產(chǎn)5臺(tái)，結(jié)果提前1天完成任務(wù)。這批電視機(jī)共有多少臺(tái)？

(2)小明看一本故事書，計(jì)劃每天看12頁(yè)，實(shí)際每天多看8頁(yè)，結(jié)果提前2天看完。

這本故事書有多少頁(yè)？

旗開(kāi)得勝

(3)修一條公路，計(jì)劃每天修60米，實(shí)際每天比計(jì)劃多修15米，結(jié)果提前4天修

完。一共修了多少米？

【例題5］有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，

才能使兩盒中的圖釘相等？

【思路導(dǎo)航】由條件可知，甲盒比乙盒多72-48=24只。要盒兩盒中的圖釘相等，

只要把甲盒比乙盒多的24只圖釘平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以應(yīng)

拿出24+2=12只。

練習(xí)5:

(1)有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。從第一袋中取出

幾千克放入第二袋，才能使兩袋中的面粉重量相等？

(2)有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只。每次從甲盒中拿4只放到乙盒，拿

幾次才能使兩盒相等？

(3)有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次從多的一袋中拿出6粒放到少

的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？

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20

第5講算式謎(一)

一、知識(shí)要點(diǎn)

"算式謎"一般是指那些含有未知數(shù)字或缺少運(yùn)算符號(hào)的算式。解決這類問(wèn)題，可以

根據(jù)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，運(yùn)用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數(shù)字和運(yùn)用符號(hào)。由于

這類題目的解答過(guò)程類似全平時(shí)進(jìn)行的猜謎語(yǔ)游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎

題”。

解答算式謎問(wèn)題時(shí)，要先仔細(xì)審題，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到

突破口，逐步試驗(yàn)，分析求解，通常要運(yùn)用倒推法、湊整法、76()5估值

+()47

法等。()21()

二、精講精練

【例題1]在下面算式的括號(hào)里填上合適的數(shù)。

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題目特點(diǎn)，先看個(gè)位：7+5=12,在和的個(gè)位()中填2,并向十

位進(jìn)一；再看十位，()+4+1的和個(gè)位是1,因此，第一個(gè)加數(shù)的()中只能填6,

并向百位進(jìn)1；最后來(lái)看百位、千位，6+()+1的和的個(gè)位是2,第二個(gè)加數(shù)的()

中只能填5,并向千位進(jìn)1；因此，和的千位()中應(yīng)填8。

練習(xí)1:(1)在括號(hào)里填上合適的數(shù)。(2)在方框里填上合適的數(shù)。

6()()□0口口

+2()15-3()17

()09186

旗開(kāi)得勝

(3)下面的豎式里，有4個(gè)數(shù)字被遮住了，求豎式中被蓋住的4個(gè)數(shù)□□

+口□

字的和。

169

騰飛

【例題2］下面各式中"巨"、"龍"、"騰"、"飛"分別代龍騰飛

+巨龍騰飛

表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字

2001

時(shí)，下列的算式成立。

【思路導(dǎo)航】先看個(gè)位，3個(gè)"飛"相加的和的個(gè)位數(shù)字是1,可推知"飛”代表7;

再看十位，3個(gè)"騰"相加，再加上個(gè)位進(jìn)來(lái)的2,所得的和的個(gè)位是0,可推知"騰"

代表6;再看百位，兩個(gè)"龍"相加，加上十位進(jìn)上來(lái)的2,所得和的個(gè)位是0，"龍"

可能是4或9,考慮到千位上的"巨"不可能為0,所以"龍"只能代表4，"巨"只能

代表1。

練習(xí)2:

(1)CD(2)式^4*(3)澳門

ACD填式澳門歸

+ABCD+巧填式說(shuō)+慶潭口歸

19891991999

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22

［例題3］下面各式中的"兵"、"炮"、"馬"、"卒"各代表兵炮馬卒

+兵炮車卒

0—9這十個(gè)數(shù)字中的某一個(gè)，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這些漢字車卒馬兵卒

各代表哪些數(shù)字？

【思路導(dǎo)航】這道題應(yīng)以"卒"入手來(lái)分析。"卒"和"卒"相加和的個(gè)位數(shù)字仍然

是"卒"，這個(gè)數(shù)字只能是0。確定"卒”是0后，所有是"卒”的地方，都是0。注意

到百位上是"兵"+"兵"="卒",容易知道"兵"是5，"車"是1;再由十位上的情

況可推知"馬"是4,進(jìn)而推得"炮"是2。

練習(xí)3：⑴BA（2）ABC⑶炮兵兵炮

AB

+CDC一兵馬兵

+AB----------------------------~

CAAABCD馬兵馬

【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個(gè)數(shù)字恰好出

現(xiàn)一次，組成一個(gè)整數(shù)算式。。、。=口=。+。

【思路導(dǎo)航】要求用七個(gè)數(shù)字組成五個(gè)數(shù)，這五個(gè)數(shù)有三個(gè)是一位數(shù)，有兩個(gè)是兩位

數(shù)。顯然，方格中的數(shù)和被除數(shù)是兩位數(shù)，其他是一位數(shù)。

0和1不能填入乘法算式，也不能做除數(shù)。由于2x6=12（2將出現(xiàn)兩次），2x5=10

（經(jīng)試驗(yàn)不合題意），2x4=8（7個(gè)數(shù)字中沒(méi)有8）,2x3=6（6不能成為商）。因此，

0、1、2只能用來(lái)組成兩位數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)可得：3x4=12=6-5.

練習(xí)4:（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個(gè)數(shù)字填在圓圈和方筐里,每個(gè)數(shù)字恰

好出現(xiàn)一次組成一個(gè)整數(shù)算式。OXO=U=O-rO

旗開(kāi)得勝

(2)填入1、2、3、4、7、9,使等式成立。□+口=□+口

(3)用1、2、3、7、8這五個(gè)數(shù)字可以列成一個(gè)算式：(1+3)x7=28o請(qǐng)你用0、

1、2、3、4、6這六個(gè)數(shù)字列成一個(gè)算式。

【例題5】把"+、-、x、+"分別放在適當(dāng)?shù)膱A圈中(運(yùn)算符號(hào)只能用一次)，并

在方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下面的兩個(gè)等式成立。36o0ol5=1521o3o5=c

【思路導(dǎo)航】先從第一個(gè)等式入手，等式右邊是15，與等式左邊最后一個(gè)數(shù)15相同,

因?yàn)?+15=15,所以,只要使36與0的運(yùn)算結(jié)果為0就行。顯然,36x0+15=15

因?yàn)榈谝粋€(gè)等式已填"x"、,在第二個(gè)等式中只有“「、匕"可以填，題

目要求在方框中填整數(shù)，已知3不能被5整除，所以只能填在21與3之間，而3

與5之間填。

練習(xí)5:(1)把"+、-、x、+"分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當(dāng)?shù)?/p>

整數(shù)，使下面每組的兩個(gè)等式成立。①9ol3o7=10014。2。5=口

②17o6o2=1005ol4o7=n

(2)將1~9這九個(gè)數(shù)字填入口中(每個(gè)數(shù)字只能用一次)，組成三個(gè)等式。

□+□=□□-□=□nxn=c

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24

第6講算式謎（二）

一、知識(shí)要點(diǎn)

解決算式謎題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)突破口，推理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部

判斷；

2.利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；

3.試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達(dá)到快速而準(zhǔn)確的目

的；

4.算式謎解出后，要驗(yàn)算一遍。

二,精講精練

【例題11在下面的方框中填上合適的數(shù)字。

口76【思路導(dǎo)航】由積的末尾是0,可推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5；由

義口□

18□口第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5,并結(jié)合第一個(gè)因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，

□□口口

3I□□o可推出第一人個(gè)因數(shù)的百位是3;由第一個(gè)因數(shù)為376與積為31口口0,

可推出第二個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。

練習(xí)1:

在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

(1)6□(2)□2□□(3)285

X35X□6X□□

33□□□041□2□

1□8口口70□□□

□□口口□□口□口n9nn

旗開(kāi)得勝

【例題2］在下面方框中填上適合的數(shù)字。

一一一注亍】由商的十位是1,以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位

I乙口除后余下的數(shù)是1,可推知被除數(shù)的十位只可能是7、89.如奧品7.

-DT［LI回

隹口□,那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8,除數(shù)的個(gè)位就看田囪卜回2I;

0'1\2\

只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6,正好|02比

00

練習(xí)2:在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立。

8□□□

□□

6□□)□□□1/□口

/口□7-□□□

□□□□□□□

□□61□0

□口

0

［例題3］下面算式中的a、b、c、d這四個(gè)字母各代表什么數(shù)字?

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26

abed【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗奈粩?shù)abed乘9的積是四位數(shù)，可知a是1;d和9相

X9

deba乘的積的個(gè)位是1，可知d只能是9；因?yàn)榈诙€(gè)因數(shù)9與第一個(gè)因數(shù)百位上的

數(shù)b相乘的積不能進(jìn)位，所以b只能是0(1已經(jīng)用過(guò))；再由b=0,可推知c=8。

練習(xí)3:

求下列各題中每個(gè)漢字所代表的數(shù)字。

(1)花紅柳綠(2)1華羅庚金杯

X9X3

柳綠花紅華羅庚金杯1

花=紅=柳=綠=華=羅=庚=金=杯

(3)盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一

盼盼盼盼盼盼盼盼盼

盼=望=祖=國(guó)=早=0=統(tǒng)=-=

【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上"+、兩種運(yùn)

算符號(hào)，使其結(jié)果等于100(數(shù)字的順序不能改變)。23456789=100

【思路導(dǎo)航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)。

比如：123與100比較接近，所以把前三個(gè)數(shù)字組成123,后面的數(shù)字湊出23就行。

因?yàn)?5與67相差22,8與9相差1,所以得到一種解法:123+45-67+8-9=100

旗開(kāi)得勝

再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11,所此可得另一種解法：123+

45-67+8-9=100.

練習(xí)4::(1)在下面等號(hào)左邊的數(shù)字之間添上一些加號(hào)，使其結(jié)果等于99(數(shù)字

的順序不能改變)。87654321=99

(2)一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100(數(shù)字

的順序不能改變)。123456789=100

(3)添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下列等式成立。12345=100

【例題5］在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。7x9+12-3-2=23

【思路導(dǎo)航】采用逆推法，從最后一步運(yùn)算開(kāi)始考慮。假如最后一步是用前面計(jì)算的

結(jié)果減2,那么前面式子的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)等25,又因?yàn)?5x3=75,而前面7x9+12又正

好等于75,所以,應(yīng)給前面兩步運(yùn)算加括號(hào)。(7x9+12)^3-2=23

練習(xí)5:

1.在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。

(1)7x9+12+3-2=75(2)7x9+12+3-2=47(3)88+33-11^11x2=5

2.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上"+、兩種運(yùn)算符號(hào)，

使其結(jié)果等于100(數(shù)字的順序不能改變)。

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28

第7講最優(yōu)化問(wèn)題

一、知識(shí)要點(diǎn)

在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問(wèn)題：完成一件事情，怎樣合理安排才

能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問(wèn)題。我們還會(huì)遇到"費(fèi)用

最省"、"面積最大"、"損耗最小”等等問(wèn)題，這些問(wèn)題往往可以從極端情況去探討它

的最大（?。┲?，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為極值問(wèn)題。以上的問(wèn)題實(shí)際上都是"最優(yōu)化問(wèn)題"。

二、精講精練

【例題1］用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘（規(guī)定正反

面各需要1分鐘）。問(wèn)煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘？

【思路導(dǎo)航】先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可

將一個(gè)取出，另一個(gè)翻過(guò)去，再放入第三個(gè)。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個(gè)取出，把

第三個(gè)翻過(guò)去，再將第一個(gè)放入煎，再煎一分鐘就會(huì)全部煎好。所以，煎3個(gè)餅至少需要

3分鐘。

練習(xí)1:

1.烤面包時(shí)，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。

小麗用來(lái)烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分

鐘？

2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要

烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘？

旗開(kāi)得勝

3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時(shí)能放4個(gè)大餅，烙一個(gè)要用4分鐘（每面各需要2

分鐘）。可小華烙6個(gè)大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？

［例題2］媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開(kāi)水需要15分鐘，

洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？

【思路導(dǎo)航】經(jīng)驗(yàn)表明，能同時(shí)做的事，盡量同時(shí)做，這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗,

不能燒開(kāi)水，因此，洗水壺和燒開(kāi)水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開(kāi)水

可以同時(shí)進(jìn)行。

根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開(kāi)水用15分鐘，同時(shí)

洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開(kāi)了就沏茶，共需要16分鐘。

練習(xí)2:

L小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開(kāi)水需要10分鐘，把開(kāi)水灌進(jìn)熱水瓶需要2

分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？

2.小強(qiáng)給客人沏茶，燒開(kāi)水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶

葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就可以了？

3.在早晨起床后的1小時(shí)內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，

讀外語(yǔ)30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽(tīng)廣播30分鐘。最少需要多少分

鐘？

【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。

趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一

讀萬(wàn)卷書行萬(wàn)里路

30

位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最

短？

【思路導(dǎo)航】校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治療時(shí)間長(zhǎng)的最后治療，才能使三

位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是：李佳1分鐘，

趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時(shí)間總和是1+4+9=14分鐘。

練習(xí)3:

1.甲、乙、丙三人分別拿著2個(gè)、3個(gè)、1個(gè)熱水瓶同時(shí)到達(dá)開(kāi)水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱

水龍頭只有一個(gè)，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時(shí)間最少？

2.甲、乙、丙三人到商場(chǎng)批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時(shí)間分別是10分

鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？

3.甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需

要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，

使他們所花的總時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？

【例題4］用18厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。

圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，圍成的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和是18+2=9厘米。顯然,

當(dāng)長(zhǎng)與寬的差越小，圍成的長(zhǎng)方形的面積越大。又已知長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，因此,

當(dāng)長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大：5x4=20平方厘米。

練習(xí)4:

旗開(kāi)得勝

1.用長(zhǎng)26厘米的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，圍成的長(zhǎng)

方形的面積最大是多少？

2.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20分米，它的面積最大是多少？

3.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是36平方厘米，并且長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方形

的周長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？

【例題5】用3~6這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。

【思路導(dǎo)航】解決這個(gè)問(wèn)題應(yīng)考慮兩點(diǎn)：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能

使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6