上海市虹口區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題(解析版)

上海市虹口區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題(解析版)PAGE4上海市虹口區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.設(shè)全集，若，則________【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用補(bǔ)集定義直接求解．【詳解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴?UA＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案為：[2，4]【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的求法，考查補(bǔ)集定義、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)________【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案為：1﹣2i．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查共軛復(fù)故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查行列式的元素的代數(shù)余子式的值的求法，考查代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.5位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】設(shè)A＝{周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)}，計(jì)算出事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，除以基本事件的總數(shù)可得．【詳解】設(shè)A＝{周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)}，基本事件的總數(shù)為25＝32個(gè)，而5人都選同一天包含2種基本事件，故A包含32﹣2＝30個(gè)基本事件，∴p（A）．故填：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查了利用對(duì)立事件來(lái)求事件A包含的基本事件的方法，屬于基礎(chǔ)題．6.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，，若為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______【答案】2【解析】【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，可得F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）．a(chǎn)＝6．點(diǎn)P為橢圓C上的點(diǎn)，|PF1|＝8，則|PF2|＝4，M為線段PF1的中點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)為：|PF2|＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．7.若函數(shù)（）有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，通過(guò)a與0的大小討論，轉(zhuǎn)化求解a的范圍即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三個(gè)不同的零點(diǎn)，就是x|x﹣a|＝4有三個(gè)不同的根；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝x|x﹣a|與y＝4的圖象如圖：函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3個(gè)零點(diǎn)，必須，解得a＞4；當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y＝x|x﹣a|與y＝4的圖象如圖：函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上a∈（4，+∞）．故答案為：（4，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．8.若函數(shù)（）為偶函數(shù)，則的值為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），變形可得k的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)（k∈R）為偶函數(shù)，則有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），變形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，則有k＝﹣1；故答案為：﹣1【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，由三視圖的數(shù)據(jù)可分析出底面的底和高及棱錐的高，代入棱錐體積公式，可得答案．【詳解】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，如圖:由三視圖可知：底面的底和高均為2，棱錐的高為2，故底面S2×2故棱錐的體積VSh2，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，其中由已知中的三視圖判斷出幾何體的形狀，及棱長(zhǎng)，高等幾何量是解答的關(guān)鍵．10.在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正六邊形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，雙曲線是以、為焦點(diǎn)的，且經(jīng)過(guò)正六邊形的頂點(diǎn)、、、，則雙曲線的方程為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】求出B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合焦距，求出a，b即可得到雙曲線方程．【詳解】由題意可得c＝1，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，如圖所示，雙曲線Γ是以C、F為焦點(diǎn)的，且經(jīng)過(guò)正六邊形的頂點(diǎn)A、B、D、E，可得B（，），代入雙曲線方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求雙曲線的方程為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及雙曲線方程的求法，是基本知識(shí)的考查．11.若函數(shù)，則的值為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f（0）與f（﹣1）的值，據(jù)此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），據(jù)此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝2﹣x，則f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）=f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)值的計(jì)算，考查了周期性的推導(dǎo)與應(yīng)用，屬于中檔題．12.過(guò)點(diǎn)作圓（）的切線，切點(diǎn)分別為、，則的最小值為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心到點(diǎn)P的距離以及平面向量的數(shù)量積定義，求出PC的最小值，計(jì)算再計(jì)算的最小值．【詳解】圓C：（xm）2+（y﹣m+1）2＝1的圓心坐標(biāo)為（m，m﹣1），半徑為1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴?（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，當(dāng)且僅當(dāng)PC時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為23．故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義及基本不等式求最值問(wèn)題，考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.已知、是兩個(gè)不同平面，為內(nèi)的一條直線，則“∥”是“∥”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直線與平面平行，由此可判斷不充分，由面面平行的定義及性質(zhì)可判斷必要性.【詳解】α、β表示兩個(gè)不同的平面，直線m?α，m∥β，不一定得到直線與平面平行，還有一種情況可能是直線和平面相交，∴不滿足充分性；當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，由面面平行的定義及性質(zhì)可知：其中一個(gè)平面上的直線一定平行于另一個(gè)平面，一定存在m∥β，∴滿足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷和線面、面面平行的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，是一個(gè)基礎(chǔ)題．14.鈍角三角形的面積是，，，則等于（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面積公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【詳解】由題意，鈍角△ABC的面積是S?AB?BC?sinB1sinBsinB，∴sinB，∴B或（不合題意，舍去）；∴cosB，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB?CB?cosB＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．15.已知直線經(jīng)過(guò)不等式組表示的平面區(qū)域，且與圓相交于、兩點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域，過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓C：x2+y2＝16相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值時(shí)，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)（0，0）的距離最大．由此可得結(jié)論．【詳解】不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分，其中AB的中點(diǎn)為P，則AP⊥OP，所以|OP|最長(zhǎng)時(shí)，AB最小，因?yàn)樽钚經(jīng)過(guò)可行域，由圖形可知點(diǎn)P為直線x﹣2y+1＝0與y﹣2＝0的交點(diǎn)（3，2）時(shí)，|OP|最長(zhǎng)，因?yàn)閗OP，則直線l的方程為：y﹣2（x﹣4），即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是|AB|的最小值時(shí)，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)（0，0）的距離最大．16.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，若對(duì)任意的，均有恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】Sn?，①n為奇數(shù)時(shí)，Sn?，根據(jù)單調(diào)性可得：Sn≤2；②n為偶數(shù)時(shí)，Sn?，根據(jù)單調(diào)性可得：≤Sn．可得Sn的最大值與最小值分別為：2，．考慮到函數(shù)y＝3t在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出．【詳解】Sn?，①n為奇數(shù)時(shí)，Sn?，可知：Sn單調(diào)遞減，且?，∴Sn≤S1＝2；②n為偶數(shù)時(shí)，Sn?，可知：Sn單調(diào)遞增，且?，∴S2≤Sn．∴Sn的最大值與最小值分別為：2，．考慮到函數(shù)y＝3t在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的求和公式及數(shù)列單調(diào)性的判斷和應(yīng)用問(wèn)題，考查了恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函數(shù)（，）.（1）若函數(shù)的反函數(shù)是其本身，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互為反函數(shù)的函數(shù)定義域和值域互換得反函數(shù)解析式．（2）得到解析式后根據(jù)基本不等式求最小值．【詳解】（1）由題意知函數(shù)f（x）的反函數(shù)是其本身，所以f（x）的反函數(shù)ay＝9﹣3x，x＝，反函數(shù)為y＝，所以a＝3．（2）當(dāng)時(shí)，f（x）＝，f（﹣x）＝，則y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值為﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)和基本不等式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題．18.如圖，在多面體中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求與平面所成角的大?。唬?）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系．（1）由已知分別求出的坐標(biāo)與平面A1B1C1的一個(gè)法向量，則線面角可求；（2）求出平面AA1B1的一個(gè)法向量，結(jié)合（1），由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大?。驹斀狻坑深}意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，設(shè)平面A1B1C1的一個(gè)法向量為，由，取y＝1，得．∴AB1與A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1與A1B1C1所成角的大小為；（2）設(shè)平面AA1B1的一個(gè)法向量為，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小為．【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求解空間角，考查計(jì)算能力，是中檔題．19.如圖，一塊長(zhǎng)方形區(qū)域，，，在邊的中點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角始終為，設(shè)，探照燈照射在長(zhǎng)方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件討論α的范圍，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．（2）利用兩角和差的三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（1），則OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），則△AOE，△HOF得面積分別為tanα，tan（α），則陰影部分的面積S＝1，，當(dāng)∈[，）時(shí)，E在BH上，F(xiàn)在線段CH上，如圖②，EH，F(xiàn)H，則EF，則S（），即，；同理當(dāng)，；即S．（2）當(dāng)時(shí)，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，則1+tanα22，當(dāng)且僅當(dāng)1+tanα，即1+tanα?xí)r取等號(hào)，即，即S的最大值為2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合三角形的面積公式以及兩角和差的正切公式以及利用基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).（1）若，求此時(shí)直線的方程；（2）若與直線垂直的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線相交于點(diǎn)、，設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，如圖，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線上的點(diǎn)、在其準(zhǔn)線上的射影分別為、，若△的面積是△的面積的兩倍，如圖，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后利用2得直線方程．（2由（1）得點(diǎn)P，又直線與直線垂直，將m換為,同理可得Q（，﹣）．由此可求直線PQ的方程，可得結(jié)論；（3）利用△的面積是△的面積的兩倍，求出N的坐標(biāo)，再利用直線的斜率公式及點(diǎn)差法求TS中點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），設(shè)直線方程為x＝my+1，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得：y2﹣4my﹣4＝0，則由韋達(dá)定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直線方程為x＝y(tǒng)+1，即．（2）由（1）得點(diǎn)P，又直線與直線垂直，將m換為,同理可得Q（，﹣）．m時(shí)，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程為：y-2m（x﹣1﹣2），整理為m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)E（3，0），m＝±1時(shí)，直線PQ的方程為：x＝3，也經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（3，0）．綜上所述：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)E（3，0）．（3）設(shè)S（x1，y1），T（x2，y2），F(xiàn)（1，0），準(zhǔn)線為x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，設(shè)直線TS與x軸交點(diǎn)為N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面積是△TSF的面積的兩倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴xN＝2，即N（2，0）．設(shè)TS中點(diǎn)為M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中點(diǎn)軌跡方程為y2＝2x﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查軌跡方程的求解，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．21.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，），數(shù)列滿足（）.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是的前項(xiàng)和，求正整數(shù)，使得對(duì)任意的，均有；（3）設(shè)，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，an2＝Sn+Sn﹣1（n∈N*，n≥2），Sn+1+Sn，相減可得：an+1+an，化簡(jiǎn)利用已知條件及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an．②數(shù)列{bn}滿足（n∈N*）．n≥2時(shí)，b1b2?…bn﹣1，相除可得bn．（2）cn，利用求和公式與裂項(xiàng)求和方法可得：Tn．作差Tn+1﹣Tn，利用其單調(diào)性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，則必須kn＝1．其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通過(guò)放縮及其求和公式即可證明．另外kn＝1．此時(shí)：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此時(shí)集合內(nèi)的元素x共有2n﹣1個(gè)互不相同的正數(shù)，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1個(gè)．利用反證法證明這2n﹣1個(gè)式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【詳解】（1）①a1＝1，an2＝Sn+Sn﹣1（n∈N*，n≥2），∴Sn+1+Sn，相減可得：an+1+an，化為：（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）＝0，∵an+1+an＞0，∴an+1﹣an＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴數(shù)列{an}設(shè)等差數(shù)列，an＝1+n﹣1＝n．②數(shù)列{bn}滿足（n∈N*）．n≥2時(shí)，b1b2?…bn﹣1，∴．（2）cn，∴Tn（1）．Tn+1﹣Tn（）．n≤3時(shí)，Tn+1≥Tn．n≥4時(shí)，Tn+1≤Tn．當(dāng)m＝4時(shí)，使得對(duì)任意的n∈N*，均有Tm≥Tn．（3）x＝k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，則必須kn＝1．其