高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)第四編：立體幾何

第四編立體幾何(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活(2)能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖．(3)會(huì)用平行投影法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形(4)了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)．2．點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直(3)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．3．空間向量與立體幾何(1)了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．(4)理解直線的方向向量及平面的法向量．(5)能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系．(6)能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理(包括三垂線定理)．(7)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解的應(yīng)用．第一講空間幾何體知識(shí)能力解讀知能解讀(一)空間幾何體點(diǎn)．連接不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對(duì)角線．我們把由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體．這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．(二)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征按底面邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱等．按側(cè)棱與底面是否垂直分：直棱柱、斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱．幾種棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：斜棱柱側(cè)棱垂直于底面直棱柱斜棱柱側(cè)棱垂直于底面直棱柱底面是正多邊形正棱柱．柱b．四棱柱底面是平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形底面是正方形棱長(zhǎng)都相等長(zhǎng)方體正四棱柱正方體．(3)特征c；對(duì)角面是平行四邊形．平行于底面的截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的(3)正棱錐的性質(zhì)a．各側(cè)面都是全等的等腰三角形．這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做該正棱錐PCDHBAB根據(jù)底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)．腰梯形的高叫做該正棱臺(tái)的斜高．(2)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)a．棱臺(tái)的下底面、上底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面、上底面．b．棱臺(tái)的側(cè)面：棱臺(tái)中除上、下底面以外的面叫棱臺(tái)的側(cè)面．c．棱臺(tái)的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．(三)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1．圓柱的結(jié)構(gòu)特征的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．(2)圓柱的表示11和面O是該圓柱的底面；AA和BB都是該圓柱的母線．11AOABAO1B12．圓錐的結(jié)構(gòu)特征以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體面叫做圓錐的側(cè)面．(2)圓錐的母線無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線．(3)圓錐的記法直線SO是該圓錐的軸；面O是該圓錐的底面；平面SAB是經(jīng)過軸的一個(gè)截面，簡(jiǎn)稱為SAOBC3．圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面．圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸．B'C'A'BOBA(3)圓臺(tái)也可以看成是以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形的高，與底邊不垂直的腰為圓臺(tái)的母線，上、下底邊分別為圓臺(tái)上、下底面的半徑．(四)球圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑．(1)任意截面是圓面(經(jīng)過球心的平面截得的圓叫大圓，不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小距離度，這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離．(五)投影與直觀圖已知圖形F，直線l與平面a相交(如圖)．過F上任意一點(diǎn)M作直線MM,平行于l，交平面a于點(diǎn)M,，則點(diǎn)M,叫做點(diǎn)M在平面a內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影．如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面a內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F,，則F,叫做圖形F在a內(nèi)關(guān)于直線lal．FMFlM'F'α．平行投影的性質(zhì)當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)(當(dāng)平行于投射線時(shí)為點(diǎn))，平行投影都具有下(2)平行直線的平行投影是平行或重合的直線(如圖)；ABllαBDBlCAB'DCAB'αAFlMFEF'E'F'E'αlAMBA'M'B'(4)與投影面平行的平面圖形，它的平行投影與這個(gè)圖形全等(如圖)；(5)在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比(如圖)．用來表示空間圖形的平面圖形叫做空間圖形的直觀圖．我們經(jīng)常用斜二測(cè)畫法畫出幾何體的直觀圖．水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法步驟：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O．畫直觀圖時(shí)，把它們畫(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線說明：按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積有以下關(guān)系：2SS直觀圖4原圖形原圖形直觀圖(六)三視圖正投影：在物體的平行投影中，投射線正對(duì)著投影面時(shí)，叫做正投影．正投影除具有平行投影的性質(zhì)外，還有如下性質(zhì)：(1)垂直于投影面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；(2)垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分．何體的正(主)視圖；第二種是光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側(cè)(左)視圖；第三種是光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖．幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三3．三視圖的畫法要求(1)三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是人從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形．(2)一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長(zhǎng)度與主視圖的長(zhǎng)度一樣，左視圖放在主視圖的右面，高度與主視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．(3)記憶口訣(七)柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積與體積及球的表面積與體積面積體積直棱柱直棱柱側(cè)111V=Sh=V=Sh=πr2h=πr2l2r23333Sr+r)l3上下上3上下上下31212113側(cè)正棱錐正棱臺(tái)3上3上下上下4V=πR33解題方法薈萃4V=πR33解題方法薈萃球表思想方法(一)方程思想(二)函數(shù)思想(三)割補(bǔ)法(四)直接法或等體積法求距離規(guī)律技巧(一)側(cè)面展開化空間最值問題為平面最值問題(二)巧取截面化空間計(jì)算問題為平面計(jì)算問題(三)內(nèi)切球與外接球問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”或“接點(diǎn)”作出截面圖．(四)球體問題的求解策略球體問題的求解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：一抓球心，二展大圓，三示小圓．Rr表示球的半徑和截面圓的半徑，用d表示球心到截面的距離，則R2=r2+d2，即球的半徑、截面圓的半徑和角(五)由幾何體的共視圖畫直觀圖、根據(jù)直觀圖畫三視圖的方法步驟，分開還原，再合并即可，注意依據(jù)三視圖中虛線、實(shí)線確定輪廓線．高考命題研究填空題的形式出現(xiàn)，難度不大．高考熱點(diǎn)(一)幾何體的直觀圖與三視圖一個(gè)幾何體，要求判斷其三視圖的形狀．(二)空間幾何體的體積(三)求以三視圖為載體的幾何體的表面積和體積(四)球的組合體問題以球的組合體為載體，綜合考查球與多面體所具有的某些性質(zhì)．附錄常用公式定理直棱柱側(cè)正棱錐側(cè)22正棱臺(tái)側(cè)22直棱柱側(cè)正棱錐側(cè)22正棱臺(tái)側(cè)22球③正棱柱：除具有直棱柱的性質(zhì)外，正棱柱的側(cè)面是全等的矩形．平行六面體平行六面體直平行六面長(zhǎng)方體正方體a．底面和側(cè)面都a．四個(gè)側(cè)面都是矩形a．底面和側(cè)面都是矩形a．六個(gè)面都是正方形是平行四邊形b．兩個(gè)對(duì)角面也是矩形b．四條體對(duì)角線長(zhǎng)相等b．棱長(zhǎng)都相等b．四條體對(duì)角線c．一條體對(duì)角線長(zhǎng)的平c．一條體對(duì)角線長(zhǎng)的交于一點(diǎn)且在這方等于共一個(gè)頂點(diǎn)的三平方等于一條棱長(zhǎng)的點(diǎn)互相平分條棱的長(zhǎng)的平方和平方的三倍形；側(cè)棱、斜高和相應(yīng)的底面邊長(zhǎng)的一半組成直角三角形；d．頂點(diǎn)在底面上的射影是底面(3)正棱臺(tái)的性質(zhì)②正棱臺(tái)的各側(cè)面都是全等的等腰梯形．①用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面．②球心和截面圓心的連線垂直于截面．③球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系：r=R2d2．④球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓．圓的長(zhǎng)度，這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離．第二講直線和平面知識(shí)能力解讀知能解讀(一)平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)．A,B質(zhì)1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，即A,Bal仁a基本性質(zhì)2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本性a果個(gè)的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，即AbAl．的公共點(diǎn)在這兩個(gè)平面的公共直線上；(3)證明點(diǎn)共線的依據(jù)．若幾個(gè)點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則它們都在一條直線上，即在這兩個(gè)平面的交線上．推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．(二)空間兩條真線1．空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條不重合的直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、異面．若從公共點(diǎn)的數(shù)目看，可以分為：(1)只有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線．若從平面的基本性質(zhì)看，可以分為：(1)在同一平面內(nèi)〈(|相交直線．|l平行直線(2)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)——異面直線．線同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線稱為平行直線．基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．即ab，bc亭ac．直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．異面直線既不相交也不平行．(2)異面直線判定定理過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．這個(gè)定理是判定空間兩條直線是異面直線的理論根據(jù)，在運(yùn)用時(shí)要掌握定理的條件．(三)空間直線和平面1．直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)．直線和平面平行或相交叫直線在平面外．2．線面平行的判定與性質(zhì)(1)判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．(2)性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．3．線面垂直的判定與性質(zhì)(1)判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(2)性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．用時(shí)要注意“面內(nèi)兩相交直線”．(四)空間兩個(gè)平面1．兩個(gè)平面的位置關(guān)系(1)兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線．2．平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．(2)性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．3．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)(1)判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．(2)性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(五)空間平行關(guān)系、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化1．空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線平行線面線面平行面面平行2．空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直的判定垂直線面面面垂直的判定線面垂直線面垂直面面垂直的性質(zhì)(六)空間角ab則這兩條直線所成的銳角(或直角)，稱為異面直線a，b所成的角．中去求．(2)二面角的平面角alblO，以點(diǎn)O為垂足，在半平面內(nèi)分別作射線②二面角的大小是通過二面角的平面角的大小來度量的．(七)空間距離1．點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離離3．線面、面面距離線面間距離、面面間距離與線線間距離、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化，這些問題的特點(diǎn)：計(jì)算常常伴有論證，求解過程中一般是通過論證將所求元素轉(zhuǎn)化到某個(gè)三角形或其他平面圖形中，再通過解三角形或其他平面圖形得到答案，即按照“一作(或找)、二證、三計(jì)算”的解題方法薈萃思想方法(一)分類討論思想(二)轉(zhuǎn)化思想(三)反證法(四)補(bǔ)形法規(guī)律技巧(一)折疊問題的求解策略(二)存在性探究題的求解策略這類問題的基本特征是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立．解決這類問題的基本策略是通過假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．其中反證法在解題中起著重要的作用．(三)求二面角大小的方法求二面角的大小是立體幾何計(jì)算的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)．第一步，找到二面角的平面角(這是關(guān)鍵)；第二步，解含二面角的平面角的三角形．即直接作出二面角的平面角，然后再進(jìn)行計(jì)算．2．面積射影定理易混易錯(cuò)考慮問題不全面致誤高考命題研究答題的形式進(jìn)行考查，位置關(guān)系的證明主要以解答題的形式進(jìn)行考查．高考熱點(diǎn)(一)考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷(二)空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)(三)線線角、線面角、面面角的求法求解這三類角時(shí)要注意先作出角(注意角的范圍)再證明，最后求解．(四)點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離常用以下四種方法：一是直接法(也叫定義法)，即直接確定點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)；二是轉(zhuǎn)移法，即轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離(利用線面平行的性質(zhì))；三是體積法，利用三棱錐體積公式；四是向量法(后面講解)．附錄常用符號(hào)b」——平面b與平面垂直．．常用結(jié)論(1)異面直線判定定理過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)線與線平行的判定①平行于同一直線的兩直線平行．②垂直于同一平面的兩直線平行．④如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．⑤如果一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于這兩個(gè)平面的交線．(3)線與線垂直的判定如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線．(4)線與面平行的判定①如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么不在這個(gè)平面內(nèi)的直線就和這②若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面．(5)線與面垂直的判定①如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面．②如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．③如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面．④如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．(6)直線在平面內(nèi)的判定①如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么過已知平面內(nèi)任一點(diǎn)與這條直線平行的直線都在②過直線上任一點(diǎn)與該直線垂直的直線都在該直線過這點(diǎn)的垂直平面內(nèi)．(7)面與面平行的判定①一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面②一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．③平行于第三個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(8)面面垂直的判定①一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．②兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，另一個(gè)平面也垂直于第三個(gè)平面．(9)唯一性定理①過已知點(diǎn)，能且只能作一條直線和已知平面垂直．②過已知平面外一點(diǎn)，能且只能作一個(gè)平面和已知平面平行．③過兩條異面直線中的一條，能且只能作一個(gè)平面與另一條直線平行．如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．第三講空間向量及其運(yùn)算知識(shí)能力解讀知能解讀(一)空間向量及其加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算1．在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，且用有向線段來表示．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量．2．空間向量求和有平行四邊形法則和三角形法則，其中三角形法則可推廣到空間中多個(gè)向量的求和，這個(gè)和向量通常稱為“封口向量”．(二)空間向量基本定理1．共線向量定理2．共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量c與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組組合，{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底，其中a，b，c都叫做基向量．此定理是空間向量分(三)兩個(gè)向量的數(shù)量積ππ如果a,b=，那么稱a與b互相垂直，并記作a」b．22．兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)3．向量數(shù)量積的性質(zhì)xyzxyz2224．向量數(shù)量積的運(yùn)算律4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律個(gè)與c共線的向量，而a(b.c)表示一個(gè)與a共線的向量，而向量c與a一定共線．已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量．作點(diǎn)A在l上的射影A,，作點(diǎn)B在l上的射影B,，則AB在軸l上或在e方向上的正射影，簡(jiǎn)稱射影，且11122221212111122222123123111222123123112233；a+a2+a2.b2+b2+b2123123212121(4)與a同向的單位向量a)aa2(4)與a同向的單位向量a)aa22323與a反向的單位向量)|aa23)|aa2323123解題方法薈萃思想方法(一)函數(shù)與方程思想(二)轉(zhuǎn)化與化歸思想(三)基向量法規(guī)律技巧(一)利用封閉圖形進(jìn)行向量的線性運(yùn)算(二)利用共線向量、共面向量基本定理解題Ⅲ．易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)忽視角的平值范圍致誤高考命題研究為中檔題出現(xiàn)，利用空間向量可以降低難度，并且多數(shù)情形下傳統(tǒng)法、向量法都可以解題，的大小，這是高考中的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)．高考熱點(diǎn)(一)空間向量及其運(yùn)算(二)空間線、面平行或垂直關(guān)系的判定及證明平行和垂直是空間直線和平面最典型的位置關(guān)系，運(yùn)用空間向量及其運(yùn)算來處理往往可以減少“形”到“形”的推理，從而轉(zhuǎn)化為“數(shù)”與“形”的結(jié)合，降低思維難度．(三)空間角的求解與應(yīng)用附示常用公式定理1231231112223123123zz2121211112222xyz222212第四講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識(shí)能力解讀知能解讀(一)空間直線的向量參數(shù)方程1．若非零向量al，則稱a是直線l的方向向量．2．若直線l過定點(diǎn)A，且方向向量為a，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，則l的參數(shù)方程為3．若直線l過定點(diǎn)A，且方向向量為a，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，O為空間任一定4．若直線l過定點(diǎn)A和B，O為空間任一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，則l的參(二)用向量證明平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面a，b的法向量分別為u，v，則(線線平行)lm一ab；(面面平行)ab一uv．(三)用向量證明垂直1．設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1」l2一v1」v2一v1.v2=0．2．設(shè)直線l的方向向量為v，平面a的法向量為u，則l」a一vu．3．設(shè)平面a和b的法向量分別為u1和u2，則a」b一u1」u2一u1.u2=0．(四)用向量法求空間角1．求兩異面直線所成的角若兩條異面直線a和b的方向向量分別為n，n，兩條直線a和b所成的角為9，則122．求直線與平面所成的角若直線a的方向向量為v，平面a的法向量為n，直線a與平面a所成的角為9，則設(shè)n，n分別為二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其二面角為9，則9=n,n或12121212nn2解題方法薈萃思想方法(一)轉(zhuǎn)化思想(二)分類討論思想(三)法向量法根據(jù)幾何體的特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(右手直角坐標(biāo)系)，用坐標(biāo)來表示有關(guān)決所有的立體幾何計(jì)算問題，尤其在求二面角、點(diǎn)到面的距離、異面直線的距離時(shí)，法向量有著它獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)——不用作圖而直接計(jì)算．此法簡(jiǎn)稱“法向量法”，用法向量法解決立體幾何中的證明與計(jì)算問題是本講的重點(diǎn)所在．規(guī)律技巧(一)利用“坐標(biāo)法解(證)立體幾何題的步驟它們的交點(diǎn)作為原點(diǎn)，并選取適當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度；第二步，表示點(diǎn)的坐標(biāo)．將題中相關(guān)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，這一步是解(證)幾何題的關(guān)鍵；第四步，求出問題的解．將點(diǎn)或向量的坐標(biāo)代入公式(夾角公式、距離公式等)；第五步，得出結(jié)論．根據(jù)上一步所求得的結(jié)果，進(jìn)一步得出問題的正確結(jié)論．對(duì)錯(cuò)，也就意味著解題的成功與失敗，因此特強(qiáng)調(diào)如下兩點(diǎn)：1．如何確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，其中的三個(gè)數(shù)x，y，z包含坐標(biāo)的符號(hào)與坐標(biāo)(1)判斷點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的射影位于坐標(biāo)軸的正方向，則這點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的符號(hào)為正，否則為負(fù)．如位于x軸正方向，則橫坐標(biāo)為正；位于z軸負(fù)方向，則豎坐標(biāo)為負(fù)．(2)確定點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對(duì)值哪個(gè)坐標(biāo)的絕對(duì)值．如這條垂線段平行于y軸且長(zhǎng)度為a，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值是a；如這條垂線段平行于z軸且長(zhǎng)度為a，則該點(diǎn)的豎坐標(biāo)的絕對(duì)值是a．2．常見特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)(1)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)①x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)均為0，形如(a,0,0)．(2)坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)①xOy平面上所有點(diǎn)的豎坐標(biāo)是0，形如(a,b,0)．b(3)非特殊點(diǎn)(既不在坐標(biāo)軸上也不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn))的坐標(biāo)設(shè)法1112221212z，z均已知，設(shè)P(x,y,z)，并由P在線段AB上知存在實(shí)數(shù)t，使得AP=tAB，即12111212121tz2121這樣P點(diǎn)坐標(biāo)就可只用一個(gè)參數(shù)t來表示了，即P(tx+(1t)x,ty+(1t)y,tz+(1t)z)，這樣設(shè)的目的是便于求參數(shù)t(只列一個(gè)關(guān)21212