2022-2023學年蘇教版（2019）選擇性必修第二冊 8.2.3 二項分布 課件（14張）

8.2.3二項分布學習目標1.理解n重伯努利試驗；2.理解二項分布；3.會求二項分布均值與方差；4.二項分布的簡單應用．情景創(chuàng)設情景.

射擊手射擊1次，擊中目標的概率為p(p>0),那么下列結(jié)論正確的是（

）（1）未擊中目標的概率是1-p

；

（2）設射擊1次擊中目標的次數(shù)為隨機變量Y，Y服從于兩點分布；（3）如果射擊手射擊了3次，3次中恰有1次擊中的概率是3p(1-p)2將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫作伯努利試驗.p(1-p)(1-p)(1-p)p(1-p)(1-p)(1-p)p1次2次3次

中

不中

不中1次2次3次不中

中

不中1次2次3次不中

不中

中=

3p(1-p)2（4）記3次射擊中恰擊中目標的次數(shù)為隨機變量為X，寫出X的概率分布表X0123P???在n重伯努利試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0<p<1)，即P(A)=p,那么，在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0≤p≤n)次的概率為

Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.

一般地,有n

重伯努利試驗中,用X

表示事件A

發(fā)生的次數(shù),設每次試驗中事件A

發(fā)生的概率為p,則

P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此時稱隨機變量X

服從二項分布,記作X~B(n,p),并稱p

為成功概率.其分布為下表X012...nP...數(shù)學建構(gòu)例1.某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8,求這名射手在10次射擊中,(1)恰有8次擊中目標的概率;(2)至少有8次擊中目標的概率.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字.)解:設擊中目標的次數(shù)為X,則X

服從二項分布,即射手各次是否擊中目標相互獨立.X~B(10,0.8).(1)射擊10次恰有8次擊中目標的概率為P(X=8)≈0.30.(2)射擊10次至少有8次擊中目標的概率為P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)≈0.302+0.268+0.107≈0.68.數(shù)學應用例2.在一個盒子中裝有相同型號的3個白球和7個黑球,從中任取3個球.(1)求取得白球的個數(shù)X

的分布列和數(shù)學期望;(2)如果每取得1個白球得5分,但每抽取一次扣1分.求得分數(shù)Y

的分布列和數(shù)學期望.解:(1)從盒中抽一個球是白球的概率p=0.3,隨機變量X

服從二項分布X~B(3,0.3),X0123P0.3430.4410.1890.027E(X)=00.343+10.441+20.189+30.027=0.9.解:(2)由題意得Y=5X-1,隨機變量Y

的分布列為Y0123P0.3430.4410.1890.027E(Y)=-10.343+40.441+90.189+140.027=3.5.則Y

的取值范圍是{-1,4,9,14}-14914則分布列為=3×0.3=n×p

Y

是否服從二項分布？猜想：E(X)=n×p數(shù)學應用數(shù)學應用問題：如果隨機變量X

服從二項分布,你能證明均值E(X)=np的猜想嗎?X01…k…nP…證明：E(X)==np.由二項式定理得∴E(X)=np(p+1-p)n-1于是有若X~B(n,p),則E(X)=np.D(X)=np(1-p).練.

一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成,每個選擇題有4個選項,其中僅有一個選項正確.每題選對得5分,不選或選錯不得分,滿分100分.學生甲選對任意一題的概率為0.9,學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個.分別求學生甲和學生乙在這次測驗中成績的均值與方差.解:設學生甲選對的題數(shù)為X1,學生乙選對的題數(shù)為X2,X1,X2

服從二項分布,即X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25).得E(X1)=np1=200.9=18,E(X2)=np2=200.25=5.即學生甲選對題數(shù)的均值為18題,學生乙選對題數(shù)的均值為5題.D(X1)=np1=200.90.1=1.8,D(X2)=np2=200.250.75=3.75數(shù)學應用數(shù)學應用例3.拋擲兩枚骰子,當至少有一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,求在30次試驗中成功次數(shù)X

的均值.解:設拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)為x，則拋擲兩枚骰子成功的概率為p=P(x1≥5)+P(x1<5)P(x2≥5)因為成功次數(shù)X服從二項分布,即所為E(X)=np課堂小結(jié)將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫作伯努利試驗.二項分布

X~B(n,p)

P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.

E(X)=npD(X)=np(1-p)課堂達標課堂達標2.某盞吊燈上并聯(lián)著3個燈泡,如果在某段時間內(nèi)每個燈泡能正常照明的概率都是0.7,那么在這段時間內(nèi)吊燈能照明的概率是多少?解:每個燈泡能否照明相互獨立,設能正常照明的燈泡數(shù)為X,則X

服從二項分布,即X~B(3,0.7).于是得吊燈能照明的概率為P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.189+0.441+0.343=0.973.課堂達標3.

一臺機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.1.若對臺機器一周5個工作日不發(fā)生故障,可獲利5萬元;發(fā)生1次故障仍可獲利2.5萬元;發(fā)生2次故障的利潤為0元;發(fā)生3次或3次以上故障要虧損1萬元.這臺機器一周內(nèi)可能獲利的均值是多少?解:設這臺機器在5天內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)為X,則X~B(5,0.1),那么

X

的分布列為X012345P0.59050.32810.07290.00810.00040.00001設所獲利潤為Y,則Y

的分布列為Y52.50-1P0.59050.32810.07290.0085于是E(Y)=50.5905+2.50.3281+00.0729-10.0085=3.76425.答:這臺機器一周內(nèi)可能獲利的均值是3.76425萬元.課堂達標課堂達標5.甲、乙兩選手比賽,假設每局比賽甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?你對局制長短的設置有何認識?解:設甲勝的局數(shù)為X,X

服從二項分布.采用3局2勝制時,需甲前兩局勝,或前兩局勝1局且第3局勝.其概率為p=0.62+=0.6