對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)（2） 課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊

4.4.2對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)（2）2學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).4.比較幾類函數(shù)模型增長的差異，并利用函數(shù)模型解決簡單的實(shí)際問題.3復(fù)習(xí)回顧對數(shù)函數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x表示自變量,定義域是(0,+∞).圖象定義域值域性質(zhì)(1,0)(1)過定點(diǎn)(1,0),即x=1,y=0(0,+∞)Rx=10<a<1a>1xyoxyoy=logaxx=1(1,0)(2)增函數(shù)(2)減函數(shù)x>1,y>0;0<x<1,y<0.x>1,y<0;0<x<1,y>0.4例4

溶液酸堿度的測量.解：(1)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),有的濃度越大，溶液的酸性就越強(qiáng).所以，隨著[H+]的增大，pH減小，即溶液中氫離子溶液酸堿度是通過pH計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升.(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH值的計(jì)算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[H+]=10-7摩爾/升，計(jì)算純凈水的PH.(2)當(dāng)[H+]=

10-7時(shí)，pH=-lg10-7=7.故純凈水的pH是7.4.4.2

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)pH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg.在(0,+∞)上，隨著[H+]的增大，減小，相應(yīng)地lg也減小，即pH減小.51.某地去年的GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)為3000億元人民幣，預(yù)計(jì)未來5年的平均增長率為6.8%.解：(1)y=3000(1+6.8%)x(0≤x≤5);所以，約經(jīng)過4年該地GDP能達(dá)到3900億元人民幣.即

1.068x=1.3.(2)令y=3900,(1)設(shè)經(jīng)過x年達(dá)到年GDP為y億元，試寫出未來5年內(nèi)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式;≈4.(2)經(jīng)過幾年該地GDP能達(dá)到3900億元人民幣？所以x=log1.0681.3得3900=3000×1.068x.(0<y≤1)6定義域:[0,+∞)值域：(0,1]定義域:(0,1]在4.2.1問題2中，習(xí)慣上用x表示自變量，y表示函數(shù)，故將四、反函數(shù)值域：[0,+∞)…①…②函數(shù)①和函數(shù)②互為反函數(shù),它們的定義域與值域互相對調(diào).y=(x≥0)(0<x≤1)函數(shù)(0<y≤1)是函數(shù)y=(x≥0)的反函數(shù).(0<y≤1)中的x與y互換,得

(0<x≤1).7對于指數(shù)函數(shù)y=2x,你能利用指數(shù)與對數(shù)間的關(guān)系,得到與之對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)嗎？它們也互為反函數(shù)嗎？互為反函數(shù),它們的定義域與值域正好互換,它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.由y=2x得x=log2y

,將x與y互換得y=log2x,它們互為反函數(shù).指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)和對數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,且a≠1).xyo12345-1-2-3-4-3-2-112345-5-4y=axy=logax

定義域:R值域:(0,+∞)(0,+∞)Ry=log2xy=2xy=xy=2x圖象上任意點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)P1(y,x)在y=log2x圖象上.P(x,y)P1(y,x)8指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的異同函數(shù)解析式圖象定義域值域函數(shù)值的變化單調(diào)性指函與對函的聯(lián)系

y=logax(a>0且a≠1)(0,1)y=1xyo0<a<1a>1(1,0)x=1xyo0<a<1a>1(0,+∞)R(0,+∞)R0<a<1時(shí),

x<0,y>1.x=0,y=1.x>0,0<y<1.a>1時(shí),

x<0,0<y<1.x>0,y>1.0<a<1時(shí),0<x<1,y>0.x=1,y=0.x>1,y<0.a>1時(shí),

0<x<1,y<0.x>1,y>0.a>1為增0<a<1為減,a>1為增0<a<1為減,y=2x圖象與y=log2x圖象關(guān)于直線y=x對稱.9反函數(shù)的定義：對于函數(shù)y=f(x),如果把y作為自變量,

x作為y的函數(shù),那么x=f

-1(y)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)。習(xí)慣上用y表示函數(shù),用x表示自變量.所以y=f(x)的反函數(shù)是y=f

-1(x).函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域互相對調(diào).例5求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y=4x-5;(3)y=22x-3(x≥3).y=(x+5)(x∈R).解：(1)由y=4x-5得x=,將x與y互換得所以函數(shù)y=4x-5的反函數(shù)為y=(x+5)(x∈R).(2)y=;(2)由y=得x=-

,將x與y互換得y=-(x≠).所以函數(shù)y=的反函數(shù)為y=-

(x≠).10解:(3)在函數(shù)y=22x-3

中,因?yàn)閤≥3,所以y

≥

22×3-3=8.求反函數(shù)的步驟:一解、二換、三定義域．

y=(log2x+3)(x

≥

8).由y=22x-3解得x=(log2y+3)

,將x與y互換得所以函數(shù)y=22x-3(x≥3)的反函數(shù)為y=(log2x+3)(x≥8).例5求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y=4x-5;(3)y=22x-3(x≥3).(2)y=;112.求下列函數(shù)的反函數(shù)：(2)在函數(shù)y=log3x中,因?yàn)閤≥

9,所以y≥

log39

=2.所以函數(shù)y=log3x(x≥9)的反函數(shù)為y=3x(x≥2).由y=log3x得x=3y,將x與y互換得y=3x(x≥

2).(1)y=;(2)y=log3x(x≥9);(3)y=+2.解：(1)由y=得x=,將x與y互換得y=(x≠2).所以函數(shù)y=的反函數(shù)為y=(x≠2).(3)因?yàn)閥=+2

≥

2

,由y=+2解得x=(y-2)2,將x與y互換得y=(x-2)2.所以函數(shù)y=+2的反函數(shù)為y=(x-2)2

(x≥2).12所以函數(shù)f(x)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(4,1),解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=loga(x-1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4),故有l(wèi)oga(4-1)=1.所以a=3.例6

已知函數(shù)f(x)＝loga

(x-1)(a＞0且a≠1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4)，求a的值.若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,b)，則其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(b,a).反之也成立.13解得x=4.所以f

-1(3)=4.已知反函數(shù)自變量的值，相當(dāng)于知道原函數(shù)的值；求反函數(shù)的函數(shù)值，相當(dāng)于求原函數(shù)自變量的值.3.已知函數(shù)y=f(x)=+1,求f

-1(3)的值.解：當(dāng)y=3時(shí)，即+1=3時(shí)，4.求函數(shù)y=

的值域.解：由y=

解得x=,將x與y互換，得y=,函數(shù)y=

的定義域?yàn)閧x|x≠},所以函數(shù)y=的值域?yàn)閧y|y≠}.

14課堂總結(jié)反函數(shù)的定義：對于函數(shù)y=f(x),如果把y作為自變量,

x作為y的函數(shù),那么x