投資學期權投資理論

投資學期權投資理論第1頁/共119頁2第9章期權投資理論期權投資理論與實踐是近37年來（1973—2010）投資學和財務學理論與實務最重要的一項新發(fā)展。1973年在芝加哥期權交易所首次進行有組織的規(guī)范化交易，1980年紐約證券交易所的期權交易量超過股票交易量，此后期權交易迅速發(fā)展并成為最活躍的衍生金融工具之一。1973年布萊克—斯科爾斯期權定價模型被提出。由于對期權定價問題研究的杰出貢獻，斯科爾斯和默頓獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎，此后有關期權的理論與方法成為投資學和財務學的重要組成部分。第2頁/共119頁3

本章結構、框架期權及其到期價值（了解、理解）期權及其相關概念期權的到期價值期權投資策略（掌握）保護性看跌期權投資策略拋補的看漲期權投資策略對敲投資策略期權價差投資策略期權定價（理解、運用）期權定價的定性分析二項式定價模型B—S定價模型（1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎）及其應用第3頁/共119頁49.1期權及其到期價值9.1.1期權及其相關概念期權是目前為止創(chuàng)造出來的應用最廣泛、最靈活的衍生金融工具。期權(Option)是授予持有人（買方或多頭）一項在未來確定的一段時間內(nèi)（有效期）以確定的價格（執(zhí)行價格或履約價格）購買或出售確定資產(chǎn)（標的資產(chǎn)）的權力。期權使買方有能力避免“不確定性”中壞的結果，同時從好的結果中獲益。但是期權不是免費的，買方需要事先支付一筆費用給賣方（期權費）。第4頁/共119頁5

期權的基本邏輯

期權(Option)是以事先確定的價格，允許投資人在未來一段時間內(nèi)買入或者賣出某項資產(chǎn)的權力。簡而言之，其他投資方法都需要投資人事先對不確定性的事件采取行動，投資的成敗也就取決于投資人對不確定性事件的事先判斷。而期權則是在收到新信息之后，再采取行動的權力，這是處理不確定性的最好辦法。因此，期權普遍存在于金融和財務的各個領域（近年來發(fā)展的實物期權理論和方法以遠遠超出該領域）。第5頁/共119頁6Buy-Long

：期權合約的購買者或Holder

Sell–Short：期權合約的出售者或WriterCalloption：看漲期權或買方期權，即期權出售者給予期權持有者在將來確定的時間內(nèi)以執(zhí)行價格購買標的資產(chǎn)的權利Put

option：看跌期權或賣方方期權，即期權出售者給予期權持有者在將來確定的時間內(nèi)以執(zhí)行價格出售標的資產(chǎn)的權利期權自身四種基本組合：

BuyCallBuyPutSell（Write）CallSell（Write）PutOptionTerminology第6頁/共119頁7IntheMoney（實值期權）：exerciseoftheoptionwouldbeprofitable.Call:marketprice>exercisepricePut:exerciseprice>marketpriceOutoftheMoney（虛值期權）：exerciseoftheoptionwouldnotbeprofitable.Call:marketprice<exerciseprice

Put:exerciseprice<marketpriceAttheMoney（平值期權）：exercisepriceandassetpriceareequal.MarketandExercisePriceRelationships第7頁/共119頁8AmericanOptions:theoptioncanbeexercisedatanytimebeforeexpirationormaturity.EuropeanOptions:

theoptioncanonlybeexercisedontheexpirationormaturity.問：同等條件下，美式期權和歐式期權哪一種期權價值高？Americanvs.EuropeanOptions第8頁/共119頁9StockOptionsIndexOptionsFuturesOptionsForeignCurrencyOptionsInterestRateOptionsDifferentTypesofOptions第9頁/共119頁10Figure20.1StockOptionsonIBM第10頁/共119頁11PayoffsandProfitsatExpiration——CallsNotationStockPrice=STExercisePrice=XPayofftoCallHolder

(ST-X)ifST>X 0 ifST

<XPayoffof

CallHolder=Max（ST-X、0）

ProfittoCallHolder Payoff-Premium（PurchasePrice）

9.1.2期權的到期價值

第11頁/共119頁12Figure20.3PayoffandProfittoCallHolders

atExpiration第12頁/共119頁13PayofftoCallWriter -(ST-X)ifST>X 0 ifST

<XPayoffof

CallWriter=-Max（ST-X、0）

ProfittoCallWriter Payoff+PremiumPayoffsandProfitsatExpiration——Calls第13頁/共119頁14Figure20.4PayoffandProfittoCallWritersatExpiration

第14頁/共119頁15PayoffstoPutHolder 0 ifST

>X (X-ST)ifST<XPayoffof

PutHolder=Max（X-ST、0）ProfittoPutHolder

Payoff-PremiumPayoffsandProfitsatExpiration——Puts第15頁/共119頁16Figure20.5PayoffandProfittoPutHoldersatExpiration

第16頁/共119頁17PayoffstoPutWriter 0 ifST

>X -(X-ST)ifST<XPayoffof

PutWriter=-Max（X-ST、0）ProfittoPutWriter

Payoff+PremiumPayoffsandProfitsatExpiration——Puts第17頁/共119頁18Figure20.5PayoffandProfittoPutWritersatExpiration第18頁/共119頁19期權基本組合與“牛市”策略或“熊市”策略四種期權基本組合是：買入看漲期權（BuyCall）買入看跌期權（BuyPut）賣出看漲期權（SellCall）賣出看跌期權（SellPut）買入看漲期權和賣出看跌期權可視為“牛市”策略賣出看漲期權和買入看跌期權可視為“熊市”策略第19頁/共119頁20期權基本組合與“牛市”策略或“熊市”策略-續(xù)一般來說，股價越高，買入看漲期權和賣出看跌期權的收益和利潤越高，從這種意義上看，這兩種頭寸都是牛市，都包含著潛在的股票交割。然而，當股價高時，看漲期權持有者(Holders)

可選擇實施交割；當股價低時，看跌期權出售者（

Writers）被動的必須交割。賣出看漲期權和買入看跌期權可以同理分析。第20頁/共119頁219.1.3期權與股票投資股票期權價格取決于標的股票的價格，標的股票價格變動不僅直接影響其自身的收益（或利潤），而且間接影響股票期權的收益（或利潤），因此，買賣期權可以視為直接買賣標的股票的替代行為。問：期權交易為什么比直接進行標的股票的交易更有吸引力呢？第21頁/共119頁例：Equity,Options&LeveragedEquity假如IBM股票現(xiàn)價為100美元，你得到信息使你認為近期內(nèi)IBM股價要上漲，但你又擔心信息失真或自己分析出錯。若6個月期IBM股票的看漲期權執(zhí)行價格為100美元，現(xiàn)在該期權價格為10美元，6月期利率為3%

。如果你現(xiàn)在有一筆資金10000美元，考慮以下三種投資策略（設這6個月內(nèi)IBM不支付紅利）：策略A：買入IBM股票100股。策略B：買入10份（每份100股）執(zhí)行價格為100美元的IBM股票看漲期權合約。策略C：投資1000美元買入1份IBM股票看漲期權合約，其余9000美元買入收益為3%的國庫券。第22頁/共119頁23三種投資策略（資產(chǎn)組合）收益分析

（單位：美元）

IBM股票價格

95100105110115120

資產(chǎn)組合A95001000010500110001150012000（100%股票）資產(chǎn)組合B005000100001500020000（100%期權）資產(chǎn)組合C927092709770102701077011270（10%期權&90%國庫券）資產(chǎn)組合第23頁/共119頁24三種投資策略（資產(chǎn)組合）收益率分析

（單位：%）

IBM股票價格

95100105110115120

資產(chǎn)組合A-5.00.05.010.015.020.0（100%股票）資產(chǎn)組合B-100.0-100.0-50.00.050.0100.0（100%期權）資產(chǎn)組合C-7.3-7.3-2.32.77.712.7（10%期權&90%國庫券）資產(chǎn)組合第24頁/共119頁25Figure20.6RateofReturntoThreeStrategies

第25頁/共119頁26期權的兩大基本特征杠桿作用：隨著標的股票收益率的緩慢增長，期權收益率急劇增長（杠桿），反之亦然。圖20-6表明：全期權資產(chǎn)組合比全股票資產(chǎn)組合陡得多，期權對股票的價值變動的敏感性極大。由于期權的杠桿作用，那些有內(nèi)部信息的投資者常常選擇期權作為投資工具。潛在的保險功能：保證最低收益率（最大損失）。資產(chǎn)組合C的收益率（或收益分析）表明期權與國庫券組合最低收益率為-7.3%（最大損失為730美元）。期權保險功能的代價是：當IBM業(yè)績較好時，資產(chǎn)組合C業(yè)績不如資產(chǎn)組合A業(yè)績好。第26頁/共119頁279.2期權投資策略將不同執(zhí)行價格，不同到期日的看漲期權與看跌期權及標的股票進行組合可以得到成千上萬中收益-風險類型的資產(chǎn)組合（投資策略），可以創(chuàng)造性的解決投資者或籌資者的財務問題。四種常見（基本）期權投資策略：保護性看跌期權投資策略拋補的看漲期權投資策略對敲投資策略期權價差投資策略第27頁/共119頁289.2.1保護性看跌期權投資策略全部投資股票（即前面的資產(chǎn)組合A）風險是很大的，因為理論上可能會損失全部投資。假如你想投資某種股票，但不愿意承擔太高（或一定水平，取決于你的風險厭惡程度）的潛在風險，你可以考慮既投資購買股票，同時購買該股票的看跌期權，這種期權投資策略稱為保護性看跌期權投資策略。第28頁/共119頁29Table20.1ValueofaProtectivePutPositionatOptionExpiration第29頁/共119頁30Figure20.7ValueofaProtectivePutPositionatOptionExpiration

第30頁/共119頁31Figure20.8ProtectivePutversusStockInvestment(at-the-moneyoption)

第31頁/共119頁329.2.2拋補看漲期權投資策略拋補看漲期權投資策略：買進股票的同時賣出該股票的看漲期權?！皰佈a”指投資者將來交割股票的義務正好被手中持有的股票抵消。如果沒有股票而賣出股票期權則稱為賣裸期權。第32頁/共119頁33Table20.2ValueofaCoveredCallPositionatExpiration

第33頁/共119頁34Figure20.9ValueofaCoveredCallPositionatExpiration

第34頁/共119頁359.2.3對敲投資策略對敲投資策略：同時買進具有相同執(zhí)行價格與到期時間的同一種股票的看漲期權與看跌期權。對那些預期股價將大幅升降但不知道向哪個方向變動的投資者來說，是對敲投資策略很好的策略。對敲投資策略最糟糕的是股票價格沒有變化。對敲實際賭的是股票價格的波動性。對方對股票價格的波動性預測相反時，交易才可能發(fā)生。第35頁/共119頁36Table20.3ValueofaStraddleatOptionExpiration

第36頁/共119頁37Figure20.10ValueofaStraddleatExpiration第37頁/共119頁38期權價差投資策略:同一標的資產(chǎn)不同執(zhí)行價格或到期時間的兩個或兩個以上的不同頭寸方向的看漲期權（或看跌期權）的投資組合。貨幣期權價格差：同時買入或賣出具有不同執(zhí)行價格（其他相同）的期權投資策略。牛市期權價格差：買入低執(zhí)行價格的看漲期權，同時賣出高執(zhí)行價格的看漲期權（圖20-11）熊市期權價格差：買入高執(zhí)行價格的看漲期權，同時賣出低執(zhí)行價格的看漲期權（習題8）時間期權價格差：同時買入或賣出具有不同到期時間（其他相同）的期權投資策略。

9.2.4期權價差投資策略第38頁/共119頁39Table20.4ValueofaBullishSpreadPositionatExpiration第39頁/共119頁40Figure20.11ValueofaBullishSpreadPositionatExpiration第40頁/共119頁41

專題一：看漲期權與看跌期權的平價關系保護性看跌期權投資策略與看漲期權&國庫券的資產(chǎn)組合都可以保證收益下限，但沒有限定收益上限?？紤]以下兩種期權投資策略：策略A：購買現(xiàn)價為S0的股票，同時購買執(zhí)行價格為

X，到期時間為T看跌期權（期權價格為P）（保護性看跌期權投資策略）策略B：購買面值為X，期限為T（無風險利率為rf）的國庫券，同時購買執(zhí)行價格為X，到期時間為T的看漲期權（期權價格為C）（看漲期權&國庫券的資產(chǎn)組合）第41頁/共119頁42到期日T，兩種期權投資策略的價值分析策略A（保護性看跌期權投資策略）：策略B（看漲期權&國庫券的資產(chǎn)組合）：20.2

Call&T-billCallT-bill0ST-XXX第42頁/共119頁43看漲期權與看跌期權平價定理由表20.1和表20.2知，無論到期日標的股票的價格如何變化，投資策略A與投資策略B具有相同的收益分布(資產(chǎn)組合A與資產(chǎn)組合B價值相等)由套利定價原理知，投資策略A與投資策略B的初始投資成本必然相等，即有：第43頁/共119頁44

違背平價關系：存在套利機會假設以下數(shù)據(jù)：股價S0=110美元有效期T=6個月，執(zhí)行價格X=105

看漲期權價格C=17美元，看跌期權價格P=5美元無風險利率rf=10.25%

使用上述數(shù)據(jù)驗證是否違背平價關系：第44頁/共119頁45存在套利機會：怎樣套利？上述結果表明違背評價關系，說明定價有誤?？梢圆扇∫韵绿桌椒ɡ貌徽_的定價：購買“便宜”的組合（等式右邊所代表的股票加看跌期權的組合）同時出售“貴”的組合（等式左邊所代表的看漲期權加國庫券的組合）第45頁/共119頁46Table20.5ArbitrageStrategy第46頁/共119頁47考慮有效期內(nèi)支付紅利的Call—Put平價關系考慮以下兩種期權投資策略：策略A：購買現(xiàn)價為S0的股票，同時購買執(zhí)行價格為

X，到期時間為T的看跌期權（期權價格P）策略B：購買面值為X+D，期限為T（無風險利率為

rf的國庫券，同時購買執(zhí)行價格為X，到期時間為T的看漲期權（期權價格C）

第47頁/共119頁48到期日T，兩種期權投資策略的價值分析策略A（保護性看跌期權投資策略）：策略B（看漲期權&國庫券的資產(chǎn)組合）：20.2’

call&T-billcallT-bill0ST-XX+DX+DST+DX+DST+DST+DX+DST+D20.1’第48頁/共119頁49考慮紅利支付看漲期權與看跌期權平價定理由表20.1’和表20.2’知，無論到期日標的股票的價格如何變化，投資策略A與投資策略B具有相同的收益分布(資產(chǎn)組合A與資產(chǎn)組合B價值相等)由套利定價原理知，投資策略A與投資策略B的初始投資成本必然相等，即有：第49頁/共119頁50專題二類似期權的證券——嵌入期權可贖回債券（CallableBonds）可轉換證券（ConvertibleSecurities）認股權證（Warrants）抵押貸款（CollateralizedLoans）第50頁/共119頁51專題三金融工程金融工程是上世紀90年代初西方國家出現(xiàn)的一門新興金融學科。它運用工程技術的方法（數(shù)學建模、數(shù)值計算、網(wǎng)絡圖解、仿真模擬等）設計、開發(fā)和實施新型金融產(chǎn)品，創(chuàng)造性地解決金融問題。金融工程的發(fā)展歷史雖然不長，但由于其將工程思維引入金融科學的研究，融現(xiàn)代金融學、信息技術與工程方法于一體，因而迅速發(fā)展成為一門新興的交叉性學科，在把金融科學的研究推進到一個新的發(fā)展階段的同時，對金融產(chǎn)業(yè)乃至整個經(jīng)濟領域產(chǎn)生了極其深遠的影響。第51頁/共119頁52MultipleChoiceQuestions1. Thepricethatthebuyeroftheoptionpaystoacquiretheoptioniscalledthe

（A）strikeprice.

（B）exerciseprice.

（C）executionprice.

（D）acquisitionprice.

（E）premium.Answer:EDifficulty:Easy第52頁/共119頁532.Aputoptiononastockissaidtobeoutofthemoneyif

（A）theexercisepriceishigherthanthestockprice.

（B）theexercisepriceislessthanthestockprice.

（C）theexercisepriceisequaltothestockprice.

（D）thepriceoftheputishigherthanthepriceofthecall.

（E）thepriceofthecallishigherthanthepriceoftheput.Answer:BDifficulty:Easy

第53頁/共119頁543.Thepotentiallossforawriterofanakedcalloptiononastockis

（A）limited.

（B）unlimited.

（C）largerthelowerthestockprice.

（D）equaltothecallpremium.

（E）noneoftheabove.Answer:BDifficulty:Moderate第54頁/共119頁554.YoupurchaseoneIBM70calloptionforapremiumof$6.Ignoringtransactioncosts,thebreak-evenpriceofthepositionis

（A）$98

（B）$64

（C）$76

（D）$70

（E）noneoftheaboveAnswer:CDifficulty:Easy第55頁/共119頁565.YoupurchaseoneIBMMarch100putcontractforaputpremiumof$6.Whatisthemaximumprofitthatyoucouldgainfromthisstrategy?

（A）$10,000

（B）$10,600

（C）$9,400

（D）$9,000

（E）noneoftheaboveAnswer:CDifficulty:Moderate

第56頁/共119頁579.3

期權定價期權定價中的“價”指的是期權交易時的公平價格（公允價值），即購買或出售期權合約時所支付或收取的期權費。期權定價是整個投資學與財務學等學科中最有意義也是最有挑戰(zhàn)性的問題之一。對于絕大多數(shù)本科生而言，只需要在不很嚴格的基礎上從三大方面理解和運用其基本思想：期權定價的定性分析二項式期權定價模型布萊克—斯科爾斯（Black-Scholes）期權定價模型第57頁/共119頁58

9.3.1期權定價的定性分析

（一）期權價格的構成：內(nèi)在價值&時間價值Intrinsicvalue

：payofftthatcouldbemadeiftheoptionwasimmediatelyexercised.Call:Max（St-X，0）Put:Max（X-St，

0

）Timevalue

：thedifferencebetweentheoptionpriceandtheintrinsicvalue.

公允價值（期權價格）=內(nèi)在價值+時間價值第58頁/共119頁59Figure21.1CallOptionValuebeforeExpiration

第59頁/共119頁60（二）期權價值的決定因素股票價格執(zhí)行價格股票價格波動率到期期限無風險利率股票紅利率第60頁/共119頁61

股票價格和執(zhí)行價格對于看漲期權而言，標的股票價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權的價格就越高。Call:Intrinsicvalue=Max（St-X，0）對于看跌期權而言，標的股票價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權的價格就越高。Put:Intrinsicvalue=Max（X-St，

0

）第61頁/共119頁62股票價格波動率

標的股票價格波動率是用來衡量標的股票未來價格變動不確定性的指標。由于期權多頭的最大虧損額僅限于期權價格，而最大利潤額則取決于執(zhí)行期權時標的股票市場價格與協(xié)議價格的差額，因此波動率越大，對期權多頭越有利，期權（CallorPut）價格也應越高。第62頁/共119頁63到期期限到期期限越長，發(fā)生不可預測的未來事件的機會就越多，從而導致股票價格超過執(zhí)行價格的機會與范圍增大，因此對看漲期權的持有者有利，則看漲期權價格越高。到期期限越長，執(zhí)行價格的現(xiàn)值越小，股票現(xiàn)價與執(zhí)行價值的差額越大，則看漲期權價格越高。第63頁/共119頁64無風險利率與股票紅利率

無風險利率越高，執(zhí)行價格的現(xiàn)值越小，股票現(xiàn)價與執(zhí)行價值的差額越大，則看漲期權價格越高。由于標的股票分紅將減少標的股票的價格，而協(xié)議價格并未進行相應調(diào)整，因此在期權有效期內(nèi)標的股票產(chǎn)生收益將使看漲期權價格下降，從而股票紅利率越高，看漲期權價格越低。第64頁/共119頁65Table21.1DeterminantsofCallOptionValues第65頁/共119頁66（三）期權價值的限制建立在簡化的假設基礎上，期權定價理論有很多數(shù)量模型（期權定價公式，9.3.2&9.3.3），所有這些模型所得出的期權價值都受到一些條件的限制或約束。探討期權價值的限制（上限或下限），即是討論期權價值所滿足的一般性質(zhì)，可以為后面期權價值的精確求解提供直覺和感性認識。第66頁/共119頁67看漲期權價值的限制（上、下限）看漲期權價值的上限對于看漲期權來說，標的股票價格就是看漲期權價格的上限：

C≤S0C代表看漲期權價格，S0代表標的股票價格?？礉q期權價值的下限C≥0C≥S0–PV（X）–PV（D）PV（X）表示執(zhí)行價格的現(xiàn)值，PV（D）表示累計紅利的現(xiàn)值第67頁/共119頁68C≥S0–PV（X）–PV（D）的論證

考慮如下兩個資產(chǎn)組合：資產(chǎn)組合A：股票看漲期權多頭資產(chǎn)組合B：股票多頭+數(shù)量為PV（X+D）的借款（空頭）到期日T兩個資產(chǎn)組合的收益：資產(chǎn)組合A：Max（ST–X，0）資產(chǎn)組合B：（ST+D）–（X+D）=ST–X有無套利定價原理知：

C≥S0–PV（X+D）=S0–PV（X）–PV（D）第68頁/共119頁69Figure21.2RangeofPossibleCallOptionValues第69頁/共119頁70提前執(zhí)行期權與股息美式看漲期權多頭頭寸的終結有兩種方式：在t時刻執(zhí)行期權（0≤t≤T）在t時刻出售期權（0≤t≤T）對于不付紅利的美式看漲期權多頭而言，這兩種終結頭寸的方式產(chǎn)生的價值分別為：在t時刻執(zhí)行期權（0≤t≤T）:St–X在t時刻出售期權（0≤t≤T）:C≥St–PV（X）

C≥St–X

結論：不付紅利的看漲期權繼續(xù)持有比執(zhí)行更有價值，即不付紅利的美式看漲期權和歐式看漲期權是等價的。第70頁/共119頁71Figure21.3CallOptionValueasaFunctionoftheCurrentStockPrice

第71頁/共119頁72

美式看跌期權的提前執(zhí)行對于美式看跌期權來說，肯定會有提前執(zhí)行而達到最優(yōu)的可能性。標的股票的發(fā)行公司在期權到期前面臨破產(chǎn)，則提前執(zhí)行美式看跌期權是最優(yōu)的在其他條件相同的情況下，美式看跌期權的價格高于歐式看跌期權。第72頁/共119頁73Figure21.4PutOptionValuesasaFunctionoftheCurrentStockPrice

第73頁/共119頁746. Beforeexpiration,thetimevalueofaninthemoneystockoptionisalways

（A）equaltozero.

（B）positive.

（C）negative.

（D）equaltothestockpriceminustheexerciseprice.

（E）noneoftheabove.Answer:BDifficulty:Easy

第74頁/共119頁757. Priortoexpiration

（A）theintrinsicvalueofacalloptionisgreaterthanitsactualvalue.（B）theintrinsicvalueofacalloptionisalwayspositive.（C）theactualvalueofcalloptionisgreaterthantheintrinsicvalue.（D）theintrinsicvalueofacalloptionisalwaysgreaterthanitstimevalue.（E）noneoftheabove.Answer:CDifficulty:Moderate第75頁/共119頁768. Ifthestockpriceincreases,thepriceofaputoptiononthatstock__________andthatofacalloption__________.

（A）decreases,increases

（B）decreases,decreases

（C）increases,decreases

（D）increases,increases

（E）doesnotchange,doesnotchangeAnswer:ADifficulty:Moderate第76頁/共119頁779. Otherthingsequal,thepriceofastockcalloptionispositivelycorrelatedwiththefollowingfactorsexcept

（A）thestockprice.

（B）thetimetoexpiration.

（C）thestockvolatility.

（D）theexerciseprice.

（E）noneoftheabove.Answer:DDifficulty:Moderate第77頁/共119頁7810.Thepriceofastockputoptionis__________correlatedwiththestockpriceand__________correlatedwiththestrikingprice.

（A）positively,positively

（B）negatively,positively

（C）negatively,negatively

（D）positively,negatively

（E）not,notAnswer:BDifficulty:Moderate第78頁/共119頁799.3期權定價（理解、運用）9.3.1期權定價的定性分析（S，X，σ，T，r，D）9.3.2

二項式（二叉樹）期權定價模型（Cox，Ross，Rubinstein，1979）9.3.3

B—S期權定價模型及其簡單應用

（Black，Scholes，Merton，1973）

1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎思想有多遠，我們就能走多遠！第79頁/共119頁809.3.2二項式（二叉樹）期權定價模型一、兩狀態(tài)不付紅利股票看漲期權定價二、兩狀態(tài)期權定價的推廣

第80頁/共119頁81

一、兩狀態(tài)不付紅利看漲期權定價例：假定現(xiàn)在股票價格S0=100美元，一年后股票價格有兩種可能：上漲到原來的2倍（u=2），即股票價格S1=200美元；下跌到到原來的

0.5倍（d=0.5），即股票價格S1=50美元。已知該股票的歐式看漲期權的執(zhí)行價格X=125

美元，期權到期時間T=1年，無風險利率為

r=8%。問：該股票的歐式看漲期權的價格（公平價格、公允價值或期權費）為多少？第81頁/共119頁8210020050股票價格二叉樹C750

看漲期權價值二叉樹

X=125股票價格和看漲期權價值二叉樹u=2d=0.5u=2d=0.5第82頁/共119頁83通過杠桿股票投資策略構造期權等價物

（復制定價）現(xiàn)在建立資產(chǎn)組合P：以現(xiàn)價S0=100美元購入一股股票，同時以r=8%

借款46.3（50/1.08）美元。杠桿股票投資策略：股票多頭+債務空頭一年后（即看漲期權到期日），資產(chǎn)組合P的價值為：S1=200美元：VP=S1–50=

200–50=150美元S1=50美元：VP=S1–50

=50–50=0美元第83頁/共119頁通過杠桿股票投資策略構造期權等價物資產(chǎn)組合P價值二叉樹為：由無套利原理：V0=2C

C=V0/2=(100–46.3)/2=26.85V0u=2150d=0.50Cu=2d=0.5750第84頁/共119頁85

復制組合與套期保值原理復制組合：一種資產(chǎn)組合，使得無論標的資產(chǎn)價格（股價）如何變動，該資產(chǎn)組合的價值（損益）都與被復制對象（期權）相同。資產(chǎn)組合P即為上例中2份歐式看漲股票期權的復制組合為復制一份期權所需要的股票數(shù)量稱為期權的套期保值率或?qū)_比例（

hedgeratio，delta

）第85頁/共119頁86

復制組合與套期保值原理看漲期權套期保值率的一般公式為：套期保值原理：利用delta份標的股票多頭和一份期權空頭組成的資產(chǎn)組合，可以實現(xiàn)完全套期保值（即期權和標的股票的價值完全負相關），且該資產(chǎn)組合為無風險資產(chǎn)組合。

第86頁/共119頁套期保值原理下的二項式期權定價方法1.確定可能的到期日股票價格（Su=200，Sd=50）和期權的到期價值（Cu=75，Cd=0）2.計算套期保值率H（H=0.5）3.將H份股票多頭和一份期權空頭組成資產(chǎn)組合（完全套期保值資產(chǎn)組合），計算其到期價值（V1=HSu–Cu=HSd–Cd=25）4.利用給定的無風險利率，計算完全套期保值資產(chǎn)組合的現(xiàn)值（V0=V1/（1+8%）=23.15）5.解出看漲期權價格（V0=HS0–C=50–C→

C=50–V0=50–23.15=26.85)第87頁/共119頁風險中性原理下的期權定價風險中性原理：設想所有投資者對待風險的態(tài)度都沒有差異（風險中性），則在這樣的世界里（風險中性世界）期權當前價值為未來期權期望價值按無風險利率貼現(xiàn)所得的現(xiàn)值。風險中性概率：使得標的股票期望收益率與無風險利率相等時的那個主觀概率。

E(R)=P*(u–1)+(1–P*)(d–1)=rP*=(1+r–d)/(u–d)

上例中，P*=(1+0.08–0.5)/(2–0.5)≈0.3867

第88頁/共119頁89風險中性原理下的期權定價——計算1.確定可能的到期日股票價格（Su=200，Sd=50）和期權的到期價值（Cu=75，Cd=0）2.計算風險中性概率P*

（P*≈0.3867）3.計算一年后期權的期望價值E(C1)E(C1)=P*Cu+(1–P*)Cd=0.3867×75+(1–0.3867)×0=294.根據(jù)風險中性定價原理，計算期權價格C

C=29/（1+8%）=26.85第89頁/共119頁90期權真實價格偏離公允價值的情況C≠26.85，存在無風險套利機會：C＞26.85，采取無風險借款（100–2C）&買入1股股票（–100）&出售2份該股票歐式看漲期權（+2C）的套利策略。一年后無論股價如何變動，總可以獲得無風險利潤。C＜26.85，采取出售1股股票（+2C）&無風險貸款（2C–100），買入2份該股票歐式看漲期權（–2C），一年后無論股價如何變動，可以獲得無風險利潤。第90頁/共119頁91思考：歐式股票看跌期權定價

假定現(xiàn)在股票價格S0=100美元，一年后股票價格有兩種可能：上漲到原來的2倍（u=2），即股票價格S1=200美元；下跌到到原來的

0.5倍（d=0.5），即股票價格S1=50美元。已知該股票的歐式看跌期權的執(zhí)行價格X=125

美元，期權到期時間T=1年，無風險利率為

r=8%。求歐式股票看跌期權的價格。提示（1）仿照關于看漲期權定價的三種方法計算（2）利用看漲—看跌期權平價公式第91頁/共119頁92二、兩狀態(tài)期權定價的推廣1001101219590.25104.5u=1.1u=1.1u=1.1d=0.95d=0.95d=0.95CCuCuuCdCudCdd股票價格二叉樹

看漲期權價值二叉樹

X=110u=1.1u=1.1d=0.95d=0.95u=1.1d=0.95第92頁/共119頁93S0uS0u2S0dS0d2S0udS0u3S0u2dS0ud2S0d3S0

推廣到三期第93頁/共119頁94三期的可能結果

事件 概率 股票價格3升 1/8

100×1.053=115.762升1降 3/8 100×1.052×0.97=106.941升2降3/8 100×1.05×0.972=98.793降

1/8 100×0.973=91.27第94頁/共119頁95Figure21.5ProbabilityDistributions第95頁/共119頁969.3.3

B—S期權定價模型及其簡單應用

期權定價是一件非常具有挑戰(zhàn)性的任務。在20世紀的前面70多年里，眾多經(jīng)濟學家做出無數(shù)努力，試圖解決期權定價的問題，但都未能獲得令人滿意的結果。在探索期權定價的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現(xiàn)在1973年——Black與Scholes發(fā)表了“期權與公司負債的定價”的著名論文，推導出了歐式期權價值的解析表達式——Black-Scholes歐式期權定價公式，探討了期權定價在估計公司證券價值方面的應用，更重要的是，它采用的動態(tài)復制方法成為期權定價研究的經(jīng)典方法。第96頁/共119頁97B—S期權定價模型重要假設不存在無風險套利機會在期權到期之前，股票不支付股利利率r與股價的方差σ2保持不變股票價格連續(xù)變動沒有交易成本第97頁/共119頁98B—S期權定價公式第98頁/共119頁99C0——當前的歐式看漲期權價格S0——當前的股票價格N(d)——標準正態(tài)分布小于等于d的概率圖21.6X——執(zhí)行價格e——2.71828，自然對數(shù)的底r——無風險利率（與期權的到期期限相同的無風險資產(chǎn)的連續(xù)復利年收益率）T——期權到期時間ln——自然對數(shù)函數(shù)——股票連續(xù)復利年收益率的標準差B—S期權定價公式中符號的含義第99頁/共119頁100Figure21.6AStandardNormalCurve第100頁/共119頁101S0=100 X=95r=0.10 T=0.25(quarter)=0.50求d1、d2、N(d1)、N(d2)d1=[ln(100/95)+(0.10+(0502/2))]/(05×0.251/2) =0.43d2=0.43–05×0.251/2 =0.18CallOptionExample第101頁/共119頁102Table21.2CumulativeNormalDistribution第102頁/共119頁103N(0.18)=0.5714N(0.43)=0.6664Table21.2 d N(d) 0.42 0.6628 0.43 0.6664Interpolation 0.44 0.6700ProbabilitiesfromNormalDist第103頁/共119頁104C0=S0N(d1)-Xe-rTN(d2)=100×0.6664–95e-0.1×0.25×0.5714=66.64–52.94=13.70美元CallOptionValue第104頁/共119頁105歷史波動性與隱含波動性運用B—S看漲期權定價公式時，S0，X，T，r都是可以直接觀察到的。股票連續(xù)復利年收益率的標準差無法直接觀察，只能使用歷史數(shù)據(jù)，運用數(shù)理統(tǒng)計學知識估計出來。由于股票標準差的估計誤差，計算的期權價格與真實的期權價格存在一定差異使運用B—S看漲期權定價公式計算的期權價格與實際觀察到的期權價格相等時的波動率稱為期權的隱含波動性買入低隱含波動性的期權，賣出高隱含波動性的期權第105頁/共119頁106Black-ScholesModelwithDividendsThecalloptionformulaappliestostocksthatpaydividends.Oneapproachistoreplacethestockpricewithadividendadjustedstockprice.ReplaceS0withS0–PV(Dividends)第106頁/共119頁107P