專題07三角變換解三角形(易錯(cuò)起源)高考數(shù)學(xué)(理)備考黃金易錯(cuò)點(diǎn)Word版含解析版2_第1頁
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文檔簡介

1.【2017山東,理9】在C中,角,,C的對邊分別為a,b,c.若C為銳角三角形,且知足sin12cosC2sincosCcossinC,則以下等式建立的是(A)a2b(B)b2a(C)2(D)2【答案】A【分析】sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba,選A.2.【2017北京,理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊對于y軸對1,cos()=___________.稱.若sin37【答案】93.【2017浙江,14】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延伸線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是______,cos∠BDC=_______.【答案】15,1024【分析】取BC中點(diǎn)E,DC中點(diǎn)F,由題意:AEBC,BFCD,△ABE中,cosBE1cos1115ABC,DBC,sinDBC1,AB44164S△BCD1BDBCsinDBC15.22又cosDBC12sin2DBF1,sinDBF10,441cosBDCsinDBF10,4綜上可得,△BCD面積為15,cosBDC10.244.【2017課標(biāo)II,理17】ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知sinAC8sin2B,21)求cosB;(2)若ac6,ABC的面積為2,求b?!敬鸢浮?1)cosB15;(2)b=217【分析】b=2(1)由題設(shè)及,故上式兩邊平方,整理得解得(2)由,故又由余弦定理及得所以b=2.1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若cos(3()),則sin245(A)7(B)1(C)1(D)7255525【答案】D2327【分析】cos22cos2121,44525且cos24cos22sin2,應(yīng)選D.2.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若tan3,則cos22sin2()4(A)64(B)48(C)1(D)16252525【答案】A【分析】由tan3,得sin3,cos4或sin3,cos4,所以45555cos22sin21641264252525,應(yīng)選A.7.【2016高考天津理數(shù)】在△ABC中,若AB=13,BC=3,C120,則AC=()(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】A【分析】由余弦定理得139AC23ACAC1,選A.8.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形ABC中,若sinA2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是▲.【答案】8.【分析】sinAsin(B+C)2sinBsinCtanBtanC2tanBtanC,又tanA=tanB+tanC,因tanBtanC1-tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC8,即最小值為8.【2016年高考四川理數(shù)】(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAcosBsinC.abc(I)證明:sinAsinBsinC;(II)若b2c2a26bc,求tanB.5【答案】(Ⅰ)證明詳看法析;(Ⅱ)4.3【分析】2226(Ⅱ)由已知,b+c–a=bc,依據(jù)余弦定理,有cosA=b2c2a2=3.2bc5所以sinA=1cos2A=4.5由(Ⅰ),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以4sinB=4cosB+3sinB,555故tanB=sinB=4.cosB10.【2016高考浙江理數(shù)】(此題滿分14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.I)證明:A=2B;II)若△ABC的面積S=a2,求角A的大小.4【答案】(I)證明看法析;(II)或.24【分析】(Ⅰ)由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB,4故2sinAcosBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsinB,于是sinΒsinAΒ.又,B0,π,故0ABπBπAB或BAB,,所以所以AπA2B,(舍去)或所以,A2B.(Ⅱ)由Sa2得1absinCa2,故有sinBsinC1sin2BsinBcosB,4242由于sinB0,所以sinCcosB.又B,C0,π,所以CπB.2當(dāng)BCππ時(shí),A;22當(dāng)CBππ時(shí),A.24綜上,Aππ或A.24易錯(cuò)發(fā)源1、三角恒等變換π3π例1、(1)已知α為銳角,若cosα+6=5,則cos2α-6=________.510(2)已知sinα=5,sin(α-β)=-10,α,β均為銳角,則角β等于( )5ππA.12B.3ππC.4D.624答案(1)(2)C253分析(1)由于α為銳角,cos(α+6)=5>0,所以α+π為銳角,sin(α+π)=4,665πππ4324則sin(2α+3)=2sin(α+6)cos(α+6)=2×5×5=25.ππ又cos(2α-6)=sin(2α+3),524所以cos(2α-6)=25.由于α,β均為銳角,ππ所以-2<α-β<2.10又sin(α-β)=-,10310所以cos(α-β)=10.525又sinα=5,所以cosα=5,所以sinβ=sin[α-(α-β)]sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)5310251025×10-5×(-10)=2.π所以β=4.(1)已知sinπ72,cos2α=7,則sinα等于( )【變式研究】α-4=10254433A.5B.-5C.-5D.531(2)cos10°-sin170°等于()A.4B.2C.-2D.-4答案(1)D(2)D72分析(1)由sinα-4=10,得sinαcosπ4-cosαsinπ4=7102,7即sinα-cosα=5,①7227又cos2α=25,所以cosα-sinα=25,7即(cosα+sinα)·(cosα-sinα)=25,1所以cosα+sinα=-5.②3由①②得sinα=,應(yīng)選D.56(2)3131cos10°-sin170°=cos10°-sin10°=3sin10°-cos10°=-sin10°cos10°12sin20°2sin20°=1=-4,sin20°2應(yīng)選D.【名師點(diǎn)睛】三角變換的重點(diǎn)在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等變換公式的熟記和靈巧應(yīng)用,要擅長察看各個(gè)角之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系,公式的使用過程要注意正確性,要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換,防備出現(xiàn)張冠李戴的狀況.(2)求角問題要注意角的范圍,要依據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量減小,防止產(chǎn)生增解.【神機(jī)妙算,戰(zhàn)勝自我】1.三角求值“三大種類”“給角求值”、“給值求值”、“給值求角”.2.三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換:特別是“1”的代換,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;項(xiàng)的分拆與角的配湊:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;弦、切互化:一般是切化弦.易錯(cuò)發(fā)源2、正弦定理、余弦定理π1例2、(1)(2016·課標(biāo)全國丙)在△ABC中,B=4,BC邊上的高等于3BC,則cosA等于( )3101010310A.10B.10C.-10D.-10(2)(2015·北京)在△中,=3,=6,=2π,則=________.ABCabA3Bπ答案(1)C(2)4分析(1)設(shè)△ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,1112則由題意得S△ABC=2a·3a=2acsinB,∴c=3a.由余弦定理得2=2+c2-2cosBbaac7=a2+22-2××2×2=52,9aa3a29a∴b=5.3a52+22-2∴cosA=b2+c2-a29a9aa102bc=52=-10.2×3a·3a應(yīng)選C.6sin2πsinA32(2)sinB==2,由正弦定理得a=3由于A為鈍角,所以=π.B4【變式研究】如圖,在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD均分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.sinB(1)求;sinC2若AD=1,DC=2,求BD和AC的長.由于S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知222AB=AD+BD-2AD·BDcos∠ADB,222AC=AD+DC-2AD·DCcos∠ADC.822222故AB+2AC=3AD+BD+2DC=6,由(1)知AB=2AC,所以AC=1.【名師點(diǎn)睛】對于解三角形問題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正弦、余弦定理及相關(guān)三角形的性質(zhì),常有的三角變換方法和原則都合用,同時(shí)要注意“三一致”,即“一致角、一致函數(shù)、一致構(gòu)造”,這是使問題獲取解決的打破口.【神機(jī)妙算,戰(zhàn)勝自我】abca1.正弦定理:在△ABC中,sinA=sinB=sinC=2R(R為△ABC的外接圓半徑).變形:a=2RsinA,sinA=2R,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理:在△ABC中,2=b2+c2-2cos;abcA變形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=b2+c2-2a.2bc易錯(cuò)發(fā)源3、解三角形與三角函數(shù)的綜合問題例3(2015·山東)設(shè)f(x)=sinxcosx-cos2πx+.4求f(x)的單一區(qū)間;A在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f2=0,a=1,求△ABC面積的最大值.π解(1)由題意知f(x)=sin2x-1+cos2x+222sin2x1-sin2x1=2-2=sin2x-2.由-π+2π≤2≤π+2kπ,∈Z,2kx2kππ可得-4+kπ≤x≤4+kπ,k∈Z;π3π由2+2kπ≤2x≤2+2kπ,k∈Z,π3π可得4+kπ≤x≤4+kπ,k∈Z.所以f(x)的單一遞加區(qū)間是-π+kπ,π+kπ(k∈Z);44單一遞減區(qū)間是π+kπ,3π+kπ(k∈Z).449(2)由fAA-1=0,得sinA=1,=sin222由題意知A3為銳角,所以cos=.A2由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)建立.所以1sin≤2+3.2bcA4所以△ABC面積的最大值為2+3.4【變式研究】已知函數(shù)f(x)=cos2x+23sinxcosx-sin2x.求f(x)的最小正周期和值域;A2(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別

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