高考數(shù)學壓軸題解題技巧及方法

./圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：〔1中點弦問題具有斜率的弦中點問題,常用設(shè)而不求法〔點差法：設(shè)曲線上兩點為,,代入方程,然后兩方程相減,再應用中點關(guān)系及斜率公式〔當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論,消去四個參數(shù)。如：〔1與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點為M<x0,y0>,則有。〔2與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點為M<x0,y0>則有〔3y2=2px〔p>0與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點為M<x0,y0>,則有2y0k=2p,即y0k=p.典型例題給定雙曲線。過A〔2,1的直線與雙曲線交于兩點及,求線段的中點P的軌跡方程?！?焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P,與兩個焦點、構(gòu)成的三角形問題,常用正、余弦定理搭橋。典型例題設(shè)P<x,y>為橢圓上任一點,,為焦點,,。〔1求證離心率；〔2求的最值。〔3直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組,進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理,應特別注意數(shù)形結(jié)合的思想,通過圖形的直觀性幫助分析解決問題,如果直線過橢圓的焦點,結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題〔1求證：直線與拋物線總有兩個不同交點〔2設(shè)直線與拋物線的交點為A、B,且OA⊥OB,求p關(guān)于t的函數(shù)f<t>的表達式?！?圓錐曲線的相關(guān)最值〔范圍問題圓錐曲線中的有關(guān)最值〔范圍問題,常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義,一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式,則可建立目標函數(shù)〔通常利用二次函數(shù),三角函數(shù),均值不等式求最值?！?,可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式,通過解不等式求出a的范圍,即："求范圍,找不等式"。或者將a表示為另一個變量的函數(shù),利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于〔2首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數(shù),然后再求它的最大值,即："最值問題,函數(shù)思想"。最值問題的處理思路：1、建立目標函數(shù)。用坐標表示距離,用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題,關(guān)鍵是由方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合,用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式,對于二次函數(shù)求最值,往往由條件建立二次方程,用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px<p>0>,過M〔a,0且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|≤2p〔1求a的取值范圍；〔2若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值。〔5求曲線的方程問題1．曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點,拋物線C的頂點在原點,焦點在x軸正半軸上。若點A〔-1,0和點B〔0,8關(guān)于L的對稱點都在C上,求直線L和拋物線C的方程。2．曲線的形狀未知求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標平面上點Q〔2,0和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)〔>0,MNQO〔6存在兩點關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題,可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線,求這兩直線的交點,使這交點在圓錐曲線形內(nèi)?！伯斎灰部梢岳庙f達定理并結(jié)合判別式來解決典型例題已知橢圓C的方程,試確定m的取值范圍,使得對于直線,橢圓C上有不同兩點關(guān)于直線對稱〔7兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題,常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題已知直線的斜率為,且過點,拋物線,直線與拋物線C有兩個不同的交點〔如圖?！?求的取值范圍；〔2直線的傾斜角為何值時,A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學中,學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上,如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程,以及運用"設(shè)而不求"的策略,往往能夠減少計算量。下面舉例說明：〔1充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì),所以在處理解析幾何問題時,除了運用代數(shù)方程外,充分挖掘幾何條件,并結(jié)合平面幾何知識,這往往能減少計算量。典型例題設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點,O為坐標原點,若,求的值?！?充分利用韋達定理及"設(shè)而不求"的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標而不求它,而是結(jié)合韋達定理求解,這種方法在有關(guān)斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點O,焦點在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點,且,,求此橢圓方程。〔3充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點,因此也可以減少計算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓和0的交點,且圓心在直線：上的圓的方程。〔4充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解決相關(guān)的求最值的問題．這也是我們常說的三角代換法。典型例題P為橢圓上一動點,A為長軸的右端點,B為短軸的上端點,求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標?！?線段長的幾種簡便計算方法①充分利用現(xiàn)成結(jié)果,減少運算過程一般地,求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中,得到型如的方程,方程的兩根設(shè)為,,判別式為△,則,若直接用結(jié)論,能減少配方、開方等運算過程。例求直線被橢圓所截得的線段AB的長。②結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系,減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時,由于圓錐曲線的定義都涉及焦點,結(jié)合圖形運用圓錐曲線的定義,可回避復雜運算。例、是橢圓的兩個焦點,AB是經(jīng)過的弦,若,求值③利用圓錐曲線的定義,把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離例點A〔3,2為定點,點F是拋物線的焦點,點P在拋物線上移動,若取得最小值,求點P的坐標。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1.直線方程的形式〔1直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式?！?與直線相關(guān)的重要內(nèi)容①傾斜角與斜率②點到直線的距離③夾角公式：〔3弦長公式直線上兩點間的距離：或〔4兩條直線的位置關(guān)系①=-1②2、圓錐曲線方程及性質(zhì)<1>、橢圓的方程的形式有幾種？〔三種形式標準方程：距離式方程：參數(shù)方程：<2>、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程：距離式方程：<3>、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？<4>、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知是橢圓的兩個焦點,平面內(nèi)一個動點M滿足則動點M的軌跡是〔A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線<5>、焦點三角形面積公式：〔其中<6>、記住焦半徑公式：〔1,可簡記為"左加右減,上加下減"。〔2〔3<6>、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲備1、點差法〔中點弦問題設(shè)、,為橢圓的弦中點則有,；兩式相減得=2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程,并且與曲線的方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個二次方程,使用判別式,以及根與系數(shù)的關(guān)系,代入弦長公式,設(shè)曲線上的兩點,將這兩點代入曲線方程得到eq\o\ac<○,1>eq\o\ac<○,2>兩個式子,然后eq\o\ac<○,1>-eq\o\ac<○,2>,整體消元······,若有兩個字母未知數(shù),則要找到它們的聯(lián)系,消去一個,比如直線過焦點,則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系,則尋找坐標之間的關(guān)系,根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為,就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上,且點A是橢圓短軸的一個端點〔點A在y軸正半軸上.〔1若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點,試求直線BC的方程;〔2若角A為,AD垂直BC于D,試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住"重心",利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率,從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出AB⊥AC,從而得,然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：〔1設(shè)B〔,,C<,>,BC中點為<>,F<2,0>則有

兩式作差有<1>F<2,0>為三角形重心,所以由,得,由得,代入〔1得直線BC的方程為

2>由AB⊥AC得〔2設(shè)直線BC方程為,得,代入〔2式得,解得或直線過定點〔0,,設(shè)D〔x,y,則,即

所以所求點D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖,已知梯形ABCD中,點E分有向線段所成的比為,雙曲線過C、D、E三點,且以A、B為焦點當時,求雙曲線離心率的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系,如圖,若設(shè)C,代入,求得,進而求得再代入,建立目標函數(shù),整理,此運算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標函數(shù),整理,化繁為簡.解法一：如圖,以AB為垂直平分線為軸,直線AB為軸,建立直角坐標系,則CD⊥軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D,且以A、B為焦點,由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱依題意,記A,C,E,其中為雙曲線的半焦距,是梯形的高,由定比分點坐標公式得,設(shè)雙曲線的方程為,則離心率由點C、E在雙曲線上,將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得,①②由①式得,③將③式代入②式,整理得,故由題設(shè)得,解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫坐標表示,回避的計算,達到設(shè)而不求的解題策略．解法二：建系同解法一,,,又,代入整理,由題設(shè)得,解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為5、判別式法例3已知雙曲線,直線過點,斜率為,當時,雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為,試求的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科,因此,數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從"有且僅有"這個微觀入手,對照草圖,不難想到：過點B作與平行的直線,必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式.由此出發(fā),可設(shè)計如下解題思路：把直線l把直線l’的方程代入雙曲線方程,消去y,令判別式直線l’在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考,就應當把距離用代數(shù)式表達,即所謂"有且僅有一點B到直線的距離為",相當于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解簡解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點,則點M到直線的距離為：于是,問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于,所以,從而有于是關(guān)于的方程由可知：方程的二根同正,故恒成立,于是等價于. 由如上關(guān)于的方程有唯一解,得其判別式,就可解得.點評：上述解法緊扣解題目標,不斷進行問題轉(zhuǎn)換,充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:和點P〔4,1,過P作直線交橢圓于A、B兩點,在線段AB上取點Q,使,求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題,解題困難在于多動點的困擾,學生往往不知從何入手。其實,應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此,首先是選定參數(shù),然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達,最后通過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的,自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù),如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線,不難得到,要建立與的關(guān)系,只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程,利用韋達定理即可.通過這樣的分析,可以看出,雖然我們還沒有開始解題,但對于如何解決本題,已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程,消去y,利用韋達定理將直線方程代入橢圓方程,消去y,利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y=k<x—4>+1,消去參數(shù)k點Q的軌跡方程在得到之后,如果能夠從整體上把握,認識到：所謂消參,目的不過是得到關(guān)于的方程〔不含k,則可由解得,直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè),則由可得：,解之得：〔1設(shè)直線AB的方程為：,代入橢圓C的方程,消去得出關(guān)于x的一元二次方程：〔2∴代入〔1,化簡得：<3>與聯(lián)立,消去得：在〔2中,由,解得,結(jié)合〔3可求得故知點Q的軌跡方程為：〔.點評：由方程組實施消元,產(chǎn)生一個標準的關(guān)于一個變量的一元二次方程,其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中,難點在引出參,活點在應用參,重點在消去參.,而"引參、用參、消參"三步曲,正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線過點P〔0,3,和橢圓順次交于A、B兩點,試求的取值范圍.分析：本題中,絕大多數(shù)同學不難得到：=,但從此后卻一籌莫展,問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上,所謂求取值范圍,不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個〔或某幾個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式〔或方程,這只需利用對應的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1: 從第一條想法入手,=已經(jīng)是一個關(guān)系式,但由于有兩個變量,同時這兩個變量的范圍不好控制,所以自然想到利用第3個變量——直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程,消去y得出關(guān)于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍所求量的取值范圍把直線l的方程y=kx+3代入橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA=f〔k,xB=g〔k得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB=—〔xA/xB由判別式得出k的取值范圍簡解1：當直線垂直于x軸時,可求得;當與x軸不垂直時,設(shè),直線的方程為：,代入橢圓方程,消去得解之得因為橢圓關(guān)于y軸對稱,點P在y軸上,所以只需考慮的情形.當時,,,所以===.由,解得,所以,綜上.分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍,于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來.一般來說,韋達定理總是充當這種問題的橋梁,但本題無法直接應用韋達定理,原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式.原因找到后,解決問題的方法自然也就有了,即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線把直線l的方程y=kx+3代入橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+xB=f〔k,xAxB=g〔k構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達定理AP/PB=—〔xA/xB由判別式得出k的取值范圍簡解2：設(shè)直線的方程為：,代入橢圓方程,消去得〔*則令,則,在〔*中,由判別式可得,從而有,所以,解得.結(jié)合得.綜上,.點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多,諸如判別式法,均值不等式法,變量的有界性法,函數(shù)的性質(zhì)法,數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手,給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗,不能只是忙于沖鋒陷陣,一時局部的勝利并不能說明問題,有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在,只有見微知著,樹立全局觀念,講究排兵布陣,運籌帷幄,方能決勝千里.第三、推理訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式,它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題,即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù),選擇恰當?shù)慕忸}方法,達到解題目標,得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中,必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系〔充分性、必要性、充要性等,做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦,快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點,且,．〔Ⅰ求橢圓的標準方程；〔Ⅱ記橢圓的上頂點為,直線交橢圓于兩點,問：是否存在直線,使點恰為的垂心？若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由,寫出橢圓方程由,,由F為由F為的重心〔Ⅱ兩根之和,兩根之積兩根之和,兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m解題過程：〔Ⅰ如圖建系,設(shè)橢圓方程為,則又∵即,∴故橢圓方程為〔Ⅱ假設(shè)存在直線交橢圓于兩點,且恰為的垂心,則設(shè),∵,故,于是設(shè)直線為,由得,∵又得即由韋達定理得解得或〔舍經(jīng)檢驗符合條件．點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊,然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．例7、已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過、、三點．〔Ⅰ求橢圓的方程：〔Ⅱ若點D為橢圓上不同于、的任意一點,,當Δ內(nèi)切圓的面積最大時,求Δ內(nèi)心的坐標；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設(shè)方程為由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設(shè)方程為得到的方程組解出〔Ⅰ由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點的縱坐標的絕對值最大最大為橢圓短軸端點面積最大值為得出得出點坐標為解題過程：〔Ⅰ設(shè)橢圓方程為,將、、代入橢圓E的方程,得解得.∴橢圓的方程． 〔Ⅱ,設(shè)Δ邊上的高為當點在橢圓的上頂點時,最大為,所以的最大值為．設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為,因為Δ的周長為定值6．所以,所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標為.點石成金：例8、已知定點及橢圓,過點的動直線與橢圓相交于兩點.〔Ⅰ若線段中點的橫坐標是,求直線的方程；〔Ⅱ在軸上是否存在點,使為常數(shù)？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由.思維流程：〔Ⅰ解：依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,將代入,消去整理得設(shè)則由線段中點的橫坐標是,得,解得,符合題意。所以直線的方程為,或.〔Ⅱ解：假設(shè)在軸上存在點,使為常數(shù).=1\*GB3①當直線與軸不垂直時,由〔Ⅰ知所以將代入,整理得注意到是與無關(guān)的常數(shù),從而有,此時=2\*GB3②當直線與軸垂直時,此時點的坐標分別為,當時,亦有綜上,在軸上存在定點,使為常數(shù).點石成金：例9、已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M〔2,1,平行于OM的直線在y軸上的截距為m〔m≠0,交橢圓于A、B兩個不同點?！并袂髾E圓的方程；〔Ⅱ求m的取值范圍；〔Ⅲ求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：〔1設(shè)橢圓方程為則∴橢圓方程為〔Ⅱ∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m又KOM=由∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點,〔Ⅲ設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可設(shè)則由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形例10、已知雙曲線的離心率,過的直線到原點的距離是〔1求雙曲線的方程；〔2已知直線交雙曲線于不同的點C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值.思維流程：解：∵〔1原點到直線AB：的距離.故所求雙曲線方程為〔2把中消去y,整理得.設(shè)的中點是,則即故所求k=±.點石成金:C,D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE⊥CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1．〔Ⅰ求橢圓C的標準方程；〔II若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點〔A、B不是左右頂點,且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線過定點,并求出該定點的坐標．思維流程：解：〔Ⅰ由題意設(shè)橢圓的標準方程為, 由已知得：,橢圓的標準方程為．〔II設(shè)． 聯(lián)立 得 ,則 又． 因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點,,即. ．． ． 解得：,且均滿足． 當時,的方程,直線過點,與已知矛盾； 當時,的方程為,直線過定點． 所以,直線過定點,定點坐標為．點石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點CA⊥CB;例12、已知雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上.〔Ⅰ若當點P的坐標為時,,求雙曲線的方程；〔Ⅱ若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.思維流程：解：〔Ⅰ<法一>由題意知,,,,〔1分解得.由雙曲線定義得:,所求雙曲線的方程為:<法二>因,由斜率之積為,可得解.〔Ⅱ設(shè),<法一>設(shè)P的坐標為,由焦半徑公式得,,,的最大值為2,無最小值.此時,此時雙曲線的漸進線方程為<法二>設(shè),.<1>當時,,此時.<2>當,由余弦定理得:,,,綜上,的最大值為2,但無最小值.<以下法一>附：1.圓錐曲線的兩個定義：〔1第一定義中要重視"括號"內(nèi)的限制條件：橢圓中,與兩個定點F,F的距離的和等于常數(shù),且此常數(shù)一定要大于,當常數(shù)等于時,軌跡是線段FF,當常數(shù)小于時,無軌跡；雙曲線中,與兩定點F,F的距離的差的絕對值等于常數(shù),且此常數(shù)一定要小于|FF|,定義中的"絕對值"與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|,則軌跡是以F,F為端點的兩條射線,若﹥|FF|,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如〔1已知定點,在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是A．B．C．D．〔答：C；〔2方程表示的曲線是_____〔答：雙曲線的左支〔2第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線,且"點點距為分子、點線距為分母",其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義,給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關(guān)系,要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化。如已知點及拋物線上一動點P〔x,y,則y+|PQ|的最小值是_____〔答：22.圓錐曲線的標準方程〔標準方程是指中心〔頂點在原點,坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程：〔1橢圓：焦點在軸上時〔〔參數(shù)方程,其中為參數(shù),焦點在軸上時＝1〔。方程表示橢圓的充要條件是什么？〔ABC≠0,且A,B,C同號,A≠B。如〔1已知方程表示橢圓,則的取值范圍為____〔答：；〔2若,且,則的最大值是____,的最小值是___〔答：〔2雙曲線：焦點在軸上：=1,焦點在軸上：＝1〔。方程表示雙曲線的充要條件是什么？〔ABC≠0,且A,B異號。如〔1雙曲線的離心率等于,且與橢圓有公共焦點,則該雙曲線的方程_______〔答：；〔2設(shè)中心在坐標原點,焦點、在坐標軸上,離心率的雙曲線C過點,則C的方程為_______〔答：〔3拋物線：開口向右時,開口向左時,開口向上時,開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷〔首先化成標準方程,然后再判斷：〔1橢圓：由,分母的大小決定,焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是__〔答：〔2雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定,焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；〔3拋物線：焦點在一次項的坐標軸上,一次項的符號決定開口方向。特別提醒：〔1在求解橢圓、雙曲線問題時,首先要判斷焦點位置,焦點F,F的位置,是橢圓、雙曲線的定位條件,它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型,而方程中的兩個參數(shù),確定橢圓、雙曲線的形狀和大小,是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時,首先要判斷開口方向；〔2在橢圓中,最大,,在雙曲線中,最大,。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：〔1橢圓〔以〔為例：①范圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸,一個對稱中心〔0,0,四個頂點,其中長軸長為2,短軸長為2；④準線：兩條準線；⑤離心率：,橢圓,越小,橢圓越圓；越大,橢圓越扁。如〔1若橢圓的離心率,則的值是__〔答：3或；〔2以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時,則橢圓長軸的最小值為__〔答：〔2雙曲線〔以〔為例：①范圍：或；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸,一個對稱中心〔0,0,兩個頂點,其中實軸長為2,虛軸長為2,特別地,當實軸和虛軸的長相等時,稱為等軸雙曲線,其方程可設(shè)為；④準線：兩條準線；⑤離心率：,雙曲線,等軸雙曲線,越小,開口越小,越大,開口越大；⑥兩條漸近線：。如〔1雙曲線的漸近線方程是,則該雙曲線的離心率等于______〔答：或；〔2雙曲線的離心率為,則=〔答：4或；〔3設(shè)雙曲線〔a>0,b>0中,離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是________〔答：；〔3拋物線〔以為例：①范圍：；②焦點：一個焦點,其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸,沒有對稱中心,只有一個頂點〔0,0；④準線：一條準線；⑤離心率：,拋物線。如設(shè),則拋物線的焦點坐標為________〔答：；5、點和橢圓〔的關(guān)系：〔1點在橢圓外；〔2點在橢圓上＝1；〔3點在橢圓內(nèi)6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：〔1相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有,當直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交且只有一個交點,故是直線與雙曲線相交的充分條件,但不是必要條件；直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有,當直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線相交且只有一個交點,故也僅是直線與拋物線相交的充分條件,但不是必要條件。如〔1若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點,則k的取值范圍是_______〔答：<-,-1>；〔2直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點,則m的取值范圍是_______〔答：[1,5∪〔5,+∞；〔3過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點,若│AB︱＝4,則這樣的直線有_____條〔答：3；〔2相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；〔3相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：〔1直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；〔2過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線,共四條；③P在兩條漸近線上但非原點,只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線,一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；〔3過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如〔1過點作直線與拋物線只有一個公共點,這樣的直線有______〔答：2；〔2過點<0,2>與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______〔答：；〔3過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點,若4,則滿足條件的直線有____條〔答：3；〔4對于拋物線C：,我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部,若點在拋物線的內(nèi)部,則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_______〔答：相離；〔5過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是、,則_______〔答：1；〔6設(shè)雙曲線的右焦點為,右準線為,設(shè)某直線交其左支、右支和右準線分別于,則和的大小關(guān)系為___________<填大于、小于或等于>〔答：等于；〔7求橢圓上的點到直線的最短距離〔答：；〔8直線與雙曲線交于、兩點。①當為何值時,、分別在雙曲線的兩支上？②當為何值時,以AB為直徑的圓過坐標原點？〔答：①；②；7、焦半徑〔圓錐曲線上的點P到焦點F的距離的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義,轉(zhuǎn)化到相應準線的距離,即焦半徑,其中表示P到與F所對應的準線的距離。如〔1已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3,則點P到右準線的距離為____〔答：；〔2已知拋物線方程為,若拋物線上一點到軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點的距離等于____；〔3若該拋物線上的點到焦點的距離是4,則點的坐標為_____〔答：；〔4點P在橢圓上,它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍,則點P的橫坐標為_______〔答：；〔5拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到軸的距離為______〔答：2；〔6橢圓內(nèi)有一點,F為右焦點,在橢圓上有一點M,使之值最小,則點M的坐標為_______〔答：；8、焦點三角形〔橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為,焦點的面積為,則在橢圓中,①＝,且當即為短軸端點時,最大為＝；②,當即為短軸端點時,的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：①；②。如〔1短軸長為,離心率的橢圓的兩焦點為、,過作直線交橢圓于A、B兩點,則的周長為________〔答：6；〔2設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點,F1、F2是左右焦點,若,|PF1|=6,則該雙曲線的方程為〔答：；〔3橢圓的焦點為F1、F2,點P為橢圓上的動點,當eq\o<PF2,\s\up6<→>>·eq\o<PF1,\s\up6<→>><0時,點P的橫坐標的取值范圍是〔答：；〔4雙曲線的虛軸長為4,離心率e＝,F1、F2是它的左右焦點,若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,且是與等差中項,則＝__________〔答：；〔5已知雙曲線的離心率為2,F1、F2是左右焦點,P為雙曲線上一點,且,．求該雙曲線的標準方程〔答：；9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：〔1以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；〔2設(shè)AB為焦點弦,M為準線與x軸的交點,則∠AMF＝∠BMF；〔3設(shè)AB為焦點弦,A、B在準線上的射影分別為A,B,若P為AB的中點,則PA⊥PB；〔4若AO的延長線交準線于C,則BC平行于x軸,反之,若過B點平行于x軸的直線交準線于C點,則A,O,C三點共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B,且分別為A、B的橫坐標,則＝,若分別為A、B的縱坐標,則＝,若弦AB所在直線方程設(shè)為,則＝。特別地,焦點弦〔過焦點的弦：焦點弦的弦長的計算,一般不用弦長公式計算,而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解。如〔1過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A〔x1,y1,B〔x2,y2兩點,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______〔答：8；〔2過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點,已知|AB|=10,O為坐標原點,則ΔABC重心的橫坐標為_______〔答：3；11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用"韋達定理"或"點差法"求解。在橢圓中,以為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中,以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中,以為中點的弦所在直線的斜率k=。如〔1如果橢圓弦被點A〔4,2平分,那么這條弦所在的直線方程是〔答：；〔2已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點,且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上,則此橢圓的離心率為_______〔答：；〔3試確定m的取值范圍,使得橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線對稱〔答：；特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件,故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時,務必別忘了檢驗！12．你了解下列結(jié)論嗎？〔1雙曲線的漸近線方程為；〔2以為漸近線〔即與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為為參數(shù),≠0。如與雙曲線有共同的漸近線,且過點的雙曲線方程為_______〔答：〔3中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；〔4橢圓、雙曲線的通徑〔過焦點且垂直于對稱軸的弦為,焦準距〔焦點到相應準線的距離為,拋物線的通徑為,焦準距為；〔5通徑是所有焦點弦〔過焦點的弦中最短的弦；〔6若拋物線的焦點弦為AB,,則①；②〔7若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦,則直線AB恒經(jīng)過定點13．動點軌跡方程：〔1求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；〔2求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知動點P到定點F<1,0>和直線的距離之和等于4,求P的軌跡方程．〔答：或；②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型,求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù)。如線段A