（教師版）函數(shù)與導數(shù)第1講

本文格式為Word版，下載可任意編輯——（教師版）函數(shù)與導數(shù)第1講第1講函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質

考情解讀1.高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內容的考察以基礎知識為主，難度中等偏下.2.函數(shù)圖象和性質是歷年高考的重要內容，也是熱點內容，對圖象的考察主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結合的思想解決問題；對函數(shù)性質的考察，則主要是將單調性、奇偶性、周期性等綜合一起考察，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù)．常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，且常與新定義問題相結合，難度較大．

1．函數(shù)的三要素定義域、值域及對應關系

兩個函數(shù)當且僅當它們的三要素完全一致時才表示同一函數(shù)，定義域和對應關系一致的兩個函數(shù)是同一函數(shù)．2．函數(shù)的性質

(1)單調性：單調性是函數(shù)在其定義域上的局部性質．利用定義證明函數(shù)的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結論．復合函數(shù)的單調性遵循“同增異減〞的原則．(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調性；奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有一致的單調性．

(3)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質．若函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個周期T＝|a|.3．函數(shù)的圖象

對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖．

作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．

4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質

(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質，分01

兩種狀況，著重關注兩函數(shù)圖象中的兩種狀況的公共性質．(2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質，分冪指數(shù)α>0，α0，則x的取值范圍是________．

1

0，?時，f(x)＝－x2，(2)設奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，滿足對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈??2?3

－?的值等于________．則f(3)＋f??2?1

思維啟迪(1)利用數(shù)形結合，通過函數(shù)的性質解不等式；(2)利用f(x)的性質和x∈[0，]時的

2

3

解析式探求f(3)和f(－)的值．

21

答案(1)(－1,3)(2)－4解析(1)

∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關于y軸對稱．

又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調遞減，則f(x)的大致圖象如下圖，

由f(x－1)>0，得－2x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－

1

x1)a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c

思維啟迪(1)可以利用函數(shù)的性質或特別點，利用排除法確定圖象．(2)考慮函數(shù)f(x)的單調性．

答案(1)C(2)D

10ln|x|

的圖象沿x軸向左平移1個單位x

10ln|x＋1|10ln|x|

而得到，y＝為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，所以，y＝的圖象關于點(－1,0)

xx＋1解析(1)函數(shù)的定義域為{x|x≠－1}，其圖象可由y＝成中心對稱．可排除A，D.

10ln|x＋1|

又x>0時，y＝>0，所以，B不正確，選C.

x＋1

(2)由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象

15

本身關于直線x＝1對稱，所以a＝f(－)＝f()，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)a>c.選D.

思維升華(1)作圖：常用描點法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．特別注意y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關系．

(2)識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關系．

(3)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，因此，函數(shù)性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結合研究．

(1)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21-x在同一直角坐標系中的圖象大致是()

??－x＋2x，x≤0，

(2)(2023·課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝?若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是

??ln?x＋1?，x>0.

2

()

A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]答案(1)C(2)D

解析(1)f(x)＝1＋log2x的圖象過定點(1,1)，g(x)＝21-x的圖象過定點(0,2)．

f(x)＝1＋log2x的圖象由y＝log2x的圖象向上平移一個單位而得到，且f(x)＝1＋log2x為單調

11

增函數(shù)，g(x)＝21-x＝2×()x的圖象由y＝()x的圖象伸縮變換得到，且g(x)＝21-x為單調減函

22數(shù)．A中，f(x)的圖象單調遞增，但過點(1,0)，不滿足；B中，g(x)的圖象單調遞減，但過點(0,1)，不滿足；D中，兩個函數(shù)都是單調增函數(shù)，也不滿足．選C.(2)

函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖．①當a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立．②當a>0時，只需在x>0時，ln(x＋1)≥ax成立．

比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度．顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．③當af(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是()

例3(1)若函數(shù)f(x)＝

?2A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)

ππ

(2)(2023·南陽市高三模擬)已知α，β∈[－，]且αsinα－βsinβ>0，則下面結論正確的是()

22A．α>βB．α＋β>0C．αβ2

思維啟迪(1)可利用函數(shù)圖象或分類探討確定a的范圍；(2)構造函數(shù)f(x)＝xsinx，利用f(x)的單調性．答案(1)C(2)D

解析(1)方法一由題意作出y＝f(x)的圖象如圖．

顯然當a>1或－1f(－a)．應選C.方法二對a分類探討：

當a>0時，log2a>log1a，即log2a>0，∴a>1.

2當alog2(－a)，即log2(－a)∴y′＝xcosx＋sinx＝cosx(x＋tanx)，

π

當x∈[－，0]時，y′0，∴f(x)為增函數(shù)，

2且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又αsinα－βsinβ>0，∴αsinα>βsinβ，∴|α|>|β|，∴α2>β2.

思維升華(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)是中學階段所學的基本初等函數(shù)，是高考的必考內容之一，重點考察圖象、性質及其應用，同時考察分類探討、等價轉化等數(shù)學思想方法及其運算能力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調性．

111

(1)設g(0)＝0，所以函數(shù)g(x)的最小值是0.

2

1．判斷函數(shù)單調性的常用方法

(1)能畫出圖象的一般用數(shù)形結合法去觀測．

(2)由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復合而成的函數(shù)，常轉化為基本初等函數(shù)單調性的判斷問題．

(3)對于解析式較繁雜的一般用導數(shù)法．(4)對于抽象函數(shù)一般用定義法．2．函數(shù)奇偶性的應用

函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對稱性，是函數(shù)的整體特性．

利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質問題轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是

簡化問題的一種途徑．特別注意偶函數(shù)f(x)的性質：f(|x|)＝f(x)．3．函數(shù)圖象的對稱性

(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．提醒：函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)的圖象對稱軸為x＝0，并非直線x＝a.

a＋b

(2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱．

2(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則該函數(shù)圖象關于點(a，b)成中心對稱．4．二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的相互關系，能用函數(shù)與方程、分類探討、數(shù)形結合思想來研究與“三個二次〞有關的問題，高考對“三個二次〞知識的考察往往滲透在其他知識之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中．5．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質受底數(shù)a的影響，解決與指、對數(shù)函數(shù)特別是與單調性有關的問題時，首先要看底數(shù)a的范圍．

比較兩個對數(shù)的大小或解對數(shù)不等式或解對數(shù)方程時，一般是構造同底的對數(shù)函數(shù)，若底數(shù)不同，可運用換底公式化為同底的對數(shù)，三數(shù)比較大小時，注意與0比較或與1比較．6．解決與本講有關的問題應注意函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類探討、化歸與轉化等思想的運用.

真題感悟

1．(2023·安徽)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝?x?1－x?，0≤x≤1，?29??41??則f?＋f?6?＝________.4???sinπx，10，且a≠1)的圖象如下圖，則所給函數(shù)圖象正確的是()

答案B

1－解析由題意得y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(3,1)點，可解得a＝3.選項A中，y＝3x＝()x，

3顯然圖象錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關于y軸對稱，顯然不符，應選B.押題精練

1

x－?，則函數(shù)y＝f(x＋1)的大致圖象為()1．已知函數(shù)f(x)＝e|lnx|－??x?

答案A

解析據(jù)已知關系式可得

1－

x－?＝x?01?，elnx－??x?x

???

作出其圖象然后將其向左平移1個單位即得函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象．

2．已知函數(shù)f(x)＝|log1x|，若m1，

3

∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上單調遞減，

m當m＝1時，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.

3．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|0〞的是()

1

A．f(x)＝B．f(x)＝x2－4x＋4

2

C．f(x)＝2xD．f(x)＝log1x

2答案C

解析函數(shù)f(x)滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)時，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0〞等價于x1

f?x1?－f?x2?

－x2與f(x1)－f(x2)的值的符號一致，即可化為>0，表示函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調

x1－x2遞增，由此可得只有函數(shù)f(x)＝2x符合．應選C.

2．(2023·浙江)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是()

答案D

解析方法一分a>1,0當a>1時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；

當01，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯．

?1??的值等于()3．(2023·綿陽模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝lgx，則f?f??100??

11A.B．－C．lg2D．－lg2lg2lg2答案D

解析當x0，則f(－x)＝lg(－x)．又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，所以當xb，則以下不等式成立的是()A．lna>lnbB．0.3a>0.3b33C．a(chǎn)?bD.a>b答案D

1212

解析由于a>b，而對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，所以lna>lnb不一定成立；由于y＝0.3x是減函數(shù)，又a>b，則0.3ab，則a?b不一定成立，故C錯；33y＝x在(－∞，＋∞)是增函數(shù)，又a>b，則a?b，即a>b成立，選D.

5．(2023·XX五校聯(lián)考)設偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于()A．{x|x4}B．{x|x4}C．{x|x6}D．{x|x2}答案B

解析由于