電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)方法作業(yè)題數(shù)學(xué)物理方法作業(yè)題

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第一章分開變量法

1、求解定解問題：

utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（P-223）?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、長(zhǎng)為l的弦，兩端固定，弦中張力為T，在距一端為x0的一點(diǎn)以力F0把弦拉開，然后撤出這力，求解弦的震動(dòng)。[提醒：定解問題為

utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?F0l?x0x,(0?x?x0),??Tlu(x,0)???F0x0(l?x),(x?x?l),0??Tlut|t?0?0.](P-227)

3、求解細(xì)桿導(dǎo)熱問題，桿長(zhǎng)l，兩端保持為零度，初始溫度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。[定解問題為

k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tC???](P-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解問題

??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0.??3?x?u?u?Asin,?0.?t?0l?tt?0?

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數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題

4、長(zhǎng)為l的均勻桿，兩端受壓從而長(zhǎng)度縮為l(1?2?)，放手后自由振動(dòng)，求解桿的這一振動(dòng)。[提醒：定解問題為

?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](P-236)?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、長(zhǎng)為l的桿，一端固定，另一端受力F0而伸長(zhǎng)，求解桿在放手后的振動(dòng)。[提醒：定解問題為

?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??](P-238)x?uxF?0?u(x,0)??0dx??0dx,?xYS?ut|t?0?0.??6、長(zhǎng)為l的桿，上端固定在電梯天花板，桿身豎直，下端自由、電梯下降，當(dāng)速度為v0時(shí)突然中止，求解桿的振動(dòng)。[提醒：定解問題為

?vtt?a2x?0,(0?x?l),??v(0,t)?0,(l,t)|x?l?0,](P-242)?v(x,0)?v0,??vt(x,0)|t?0?0.?7、求解細(xì)桿導(dǎo)熱問題，桿長(zhǎng)l，初始溫度均勻?yàn)閡0，兩端分別保持溫度為u1和u2。[提醒：定解問題為

?ut?a2uxx?0,??u|x?0?u1,u|x?l?u2,](P-251)?u|t?0?u0.?8、在矩形區(qū)域0?x?a,0?y?b上求解拉氏方程?u?0，使?jié)M足邊界條件

u|x?0?Ay(b?y),u|x?a?0.u|y?0?Bsin?xa,u|y?b?0.(P-265)

9、均勻的薄板占據(jù)區(qū)域0?x?a,0?y??，邊界上溫度u|x?0?0,u|x?a?0,u|y?0?u0，

limu?0。[提醒：泛定方程為：uxx?uyy?0.](P-269)

y??10、矩形膜，邊長(zhǎng)l1和l2，邊緣固定，求它的本征振動(dòng)模式。[提醒：定解問題為

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數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題

utt?a2(uxx?uyy)?0,(0?x?l1,0?y?l2),u|x?0?0,u|x?l1?0,u|y?0?0,u|x?l2?0.11、細(xì)圓環(huán)，半徑為R，初始溫度分布已知為f(?)，?是以環(huán)心為極點(diǎn)的極角，環(huán)的表面是絕熱的。求解環(huán)內(nèi)溫度變化狀況。[提醒：其定解問題為

](P-271)

?ut?a2u???0,0???2?,?ut?f(?),](P-274)??u(??2?)?u(?).?12、在圓形域內(nèi)求解?u?0使?jié)M足邊界條件

(1)u|??a?Acos?,(2)u|??a?A?Bsin?。[提醒：泛定方程為u???1u???0???a?u?0,??.](P-275)2????0???2??1?13、半圓形薄板，板面絕熱，邊界直徑上溫度保持零度，圓周上保持u0，求穩(wěn)定狀態(tài)下的板上溫度分布。[提醒：定解問題為

11?u?u???????2u???0,(0???R,0????),??u|??0?0,](P-276)??u|????0,(0???R),?u|??R?u0,0????).??14、在以原點(diǎn)為心，以R1和R2為半徑的兩個(gè)同心圓所圍城的環(huán)域上求解?u?0，使?jié)M足邊界條件u|??R1?f1(?),u|??R2?f1(?)。[提醒：泛定方程為

2u???1?u???R1???R2?u?0,??.](P-282)2??0???2????115、兩端固定的弦在線密度為?f(x,t)???(x)sin?t的橫向力作用下振動(dòng)，求解其振動(dòng)狀況，研究共振的可能性，并求共振時(shí)的解。[提醒：定解問題為

?utt?a2uxx??(x)sin?t,??u|x?0?0,u|x?l?0,](P-292)?u|?0,u|?0.t?0tt?0?16、兩端固定弦在點(diǎn)x0受諧變力?f(x,t)??f0sin?t作用而振動(dòng)，求解振動(dòng)狀況。[提醒：外加力的線密度課表為?f(x,t)??f0sin?t?(x?x0)，所以定解問題為

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?utt?a2uxx?f0sin?t?(x?x0),?u|x?0?0,u|x?l?0,](P-297)??u|t?0?0,ut|t?0?0.?bb217、在矩形域0?x?a,??y?上求解?u??2且u在邊界上的值為零。(P-303)

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其次章球函數(shù)

??1、在本來是勻強(qiáng)的靜電場(chǎng)E0中放置導(dǎo)體球，球的半徑為a，試研究導(dǎo)體球怎樣改變了勻強(qiáng)

靜電場(chǎng)。[提醒：定解問題為

?2u?0,（1）

?u|r????E0z??E0rcos?,(設(shè)導(dǎo)體放入前，u|r?0=0),（2）和（3）](P-369)?u|r?a?C.?2、在點(diǎn)電荷4??0q的電場(chǎng)中放置導(dǎo)體球，球的半徑為a，球心與點(diǎn)電荷相距d(d?a)，求解這個(gè)靜電場(chǎng)。[提醒：定解問題為

??2v?0,?q??u??v,](P-370)D??v|?0,?r?a??v|r???0.3、求解

??2u?0,(r?a),(P-372)?2u|?cos?.?r?04、在球坐標(biāo)系中利用分開變量法求以下定解問題。

??2u?0(0?r?a)??1??2?ur?a?4sin??cos?sin???（08~09）

2????u有限?r?0

5、用一層不導(dǎo)電的物質(zhì)把半徑為a的導(dǎo)體球殼分隔為兩個(gè)半球殼，使半球各充電到電勢(shì)為v1和v2，試解電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。[提醒：定解問題為

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數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題

??????2ui?0,(r?a),?ui|r?0有限，(自然邊界條件)(P-373)?????v,(0???)或(0?x?1),1??2?u|?.?ir?a???v,(????)或(?1?x?0)?2??2?6、半球的球面保持一定溫度u0，半球底面（1）保持0C，（2）絕熱，試求這個(gè)半球里的穩(wěn)定溫度分布。[提醒：定解問題為

??2?u?0,(r?a),???u|r?0有限，u|r?a?u0,](P-375)?u|??0.????2第三章柱函數(shù)

1、半徑為R的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是旋轉(zhuǎn)拋物面u|t?0?(1??2/R2)H，初速為零，求解膜的振動(dòng)狀況。[提醒：定解問題為

1?2u?a(u?u)?0,???tt?????u|??0有限，u|??R?0,](P-399)?2??u|t?0?H(1?2),ut|t?0?0.?R?12、利用遞推公式證明J2(x)?J0??(x)?J0?(x)并計(jì)算?x4J1(x)dx

x3、半徑為R的圓形膜，在?0,?0受到?jīng)_量K作用，求解其后的振動(dòng)。[提醒：定解問題為

utt?a2?2u?0,（1）

（膜邊緣固定），??u|??R?0,（2）?u|有限，???0?（初位移為零），?u|t?0?0,?（3）](P-401)k?u|=?(?-?)??(?-?)。00?tt?0p??04、半徑為R的圓形膜，邊緣固定，求其本征頻率和本征振動(dòng)。[提醒：定解問題為

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數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題

?utt?a2?2u?0,(0????,0???R),?u|??0有限，u|??R?0,](P-403)??u|??0?u|????0.?5、半徑為R而高為H的圓柱體下底和側(cè)面保持零度，上底溫度分布為f(?)??2，求柱體內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)恒溫度。[提醒：定解問題為

??2u?0,?2?u|Z?0?0,u|Z?H??,](P-404)?u|有限，u|?0.??R???06、圓柱體半徑為R，高為H，上底有均勻分布的強(qiáng)度為q0的熱流流入，下底有同樣熱流流出，柱側(cè)保持為0C，求柱內(nèi)的穩(wěn)恒溫度。[提醒：定解問題為

?????u|???zZ?0???u|???zZ?H???2u?0,q(熱流方向與z軸反向)，R](P-409)

q0(熱流方向與z軸同向)，Ru|??R?0.7、確定球形鈾塊的臨界半徑。[提醒：鈾塊厚度超過臨界厚度，則中子濃度獎(jiǎng)隨著時(shí)間而增長(zhǎng)以致鈾塊爆炸，其定解問題為

?ut?a2?2u??u,](P-422)?u|?0.?r?R8、均質(zhì)球，半徑為r0，初始溫度分布為f(r)，把球面溫度保持為零度而使它冷卻，求解球內(nèi)各處溫度變化狀況。[提醒：定解問題為

?ut?a2?2u?0,??u|r?r0?0,](P-424)??u|t?0?f(r).9、半徑為r0的球面徑向速度分布為???0中輻射出去的聲場(chǎng)中的速度勢(shì)，設(shè)r0?由因子

1(3cos2??1)?cos?t，試求解這個(gè)球在空氣4?(波長(zhǎng))。此題徑向速度對(duì)空間中的方向的依靠性

1(3cos2??1)即P2(cos?)描寫，因而是軸對(duì)稱四級(jí)聲源。[提醒：三