高數一試題分析

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高數一試題分析、詳解和評注

一、填空題（此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上）

11x2（1）曲線y?的斜漸近線方程為y?x?.

242x?1此題屬基此題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.

f(x)x21?lim2?，由于a=limx??x??2x?xx2b?lim?f(x)?ax??limx???x1??，

x??2(2x?1)4于是所求斜漸近線方程為y?11x?.24如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應熟練把握。這

里應注意兩點：1）當存在水平漸近線時，不需要再求斜漸近線；2）若當x??時，極限

a?limx??f(x)不存在，則應進一步探討x???或x???的情形，即在右或左側是否存x在斜漸近線。

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.192

（2）微分方程xy??2y?xlnx滿足y(1)??111的解為y?xlnx?x..939直接套用一階線性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：

?P(x)dxP(x)dxy?e?[Q(x)e?dx?C]，

?再由初始條件確定任意常數即可.原方程等價為

y??于是通解為y?e=

?2y?lnx，x?xdx2[?lnx?e?xdx2dx?C]?12?[xlnxdx?C]2?x111xlnx?x?C2，39x111由y(1)??得C=0，故所求解為y?xlnx?x.

939此題雖屬基此題型，但在用相關公式時應注意先化為標準型.另外，此題也

可如下求解：原方程可化為

xy??2xy?xlnx，即[xy]??xlnx，兩邊積分得

22221

13132xlnxdx?xlnx?x?C，?3911再代入初始條件即可得所求解為y?xlnx?x.

39xy?2完全類似公式見《數學復習指南》（理工類）P.154

?1x2y2z2{1,1,1}，則??（3）設函數u(x,y,z)?1?，單位向量n?612183?u?n=

(1,2,3)3.3?函數u(x,y,z)沿單位向量n?{cos?,cos?,cos?}的方向導數為：

?u?u?u?u?cos??cos??cos??n?x?y?z因此，此題直接用上述公式即可.

由于

?ux?uy?uz?，?，于是所求方向導數為?，?x3?y6?z9

?u?n(1,2,3)=

1111113??????.3333333?此題若n={m,n,l}非單位向量，則應先將其單位化，從而得方向余弦為：

cos??mm?n?l222,cos??nm?n?l222,cos??lm?n?l222.

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.330

（4）設?是由錐面z?x2?y2與半球面z?R2?x2?y2圍成的空間區(qū)域，?是

?的整個邊界的外側，則??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R.2此題?是封閉曲面且取外側，自然想到用高斯公式轉化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.

??xdydz?ydzdx?zdxdy????3dxdydz

??=3.

?R?200?d??4sin?d??d??2?(1?02?23)R.22

此題屬基此題型，不管是用球面坐標還是用柱面坐標進行計算，均應特別注意計算的確鑿性，主要考察基本的計算能力.

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.325

（5）設?1,?2,?3均為3維列向量，記矩陣

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，假使A?1，那么B?2.

將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可.

由題設，有

B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)

?111???=(?1,?2,?3)123，????149??111于是有B?A?123?1?2?2.

149此題相當于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示。一般地，若

?1?a11?1?a12?2???a1n?n，?2?a21?1?a22?2???a2n?n，

????

?m?am1?1?am2?2???amn?n，

?a11?a??m????1,?2,?,?n??12????a1na21?am1?a22?am2??.?????a2n?amn?則有??1?2完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.356

（6）從數1,2,3,4中任取一個數，記為X,再從1,2,?,X中任取一個數，記為Y,則

P{Y?2}=

13.483

此題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式,且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結果即為完備事件組或樣本空間的劃分.

P{Y?2}=P{X?1}P{Y?2X?1}+P{X?2}P{Y?2X?2}+P{X?3}P{Y?2X?3}+P{X?4}P{Y?2X?4}=

111113?(0???)?.423448全概率公式綜合考察了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型一直都是

考察的重點.

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.492

二、選擇題（此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）

（7）設函數f(x)?limn1?xn??3n，則f(x)在(??,??)內

(A)四處可導.(B)恰有一個不可導點.

(C)恰有兩個不可導點.(D)至少有三個不可導點.[C]先求出f(x)的表達式，再探討其可導情形.當x?1時，f(x)?limn1?xn??3n?1；

當x?1時，f(x)?limn1?1?1；

n??當x?1時，f(x)?limx(n??31x3n?1)?x.

1n3??x3,x??1,?即f(x)??1,?1?x?1,可見f(x)僅在x=?1時不可導，故應選(C).

?x3,x?1.?此題綜合考察了數列極限和導數概念兩個知識點.

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.56

\M?N\表示（8）設F(x)是連續(xù)函數f(x)的一個原函數，“M的充分必要條件是N〞，

則必有

(A)F(x)是偶函數?f(x)是奇函數.（B）F(x)是奇函數?f(x)是偶函數.

(C)F(x)是周期函數?f(x)是周期函數.

(D)F(x)是單調函數?f(x)是單調函數.[A]此題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.

方法一：任一原函數可表示為F(x)??x0f(t)dt?C，且F?(x)?f(x).

當F(x)為偶函數時，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即?f(?x)?f(x)，

4

也即f(?x)??f(x)，可見f(x)為奇函數；反過來，若f(x)為奇函數，則數，從而F(x)??x0f(t)dt為偶函

?x0f(t)dt?C為偶函數，可見(A)為正確選項.

12x,排除(D);2方法二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,則取F(x)=

故應選(A).

函數f(x)與其原函數F(x)的奇偶性、周期性和單調性已屢屢考察過.請讀者思考f(x)與其原函數F(x)的有界性之間有何關系？

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.10

（9）設函數u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt,其中函數?具有二階導數，

?具有一階導數，則必有

?2u?2u?2u?2u(A)??2.（B）2?2.2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C).(D).[B]???x?y?x2?x?y?y2?2u?2u?2u先分別求出2、2、，再比較答案即可.

?x?x?y?y由于

?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)，?x

?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)，?y?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，于是2?x?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，

?x?y?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，2?y?2u?2u可見有2?，應選(B).2?x?y此題綜合考察了復合函數求偏導和隱函數求偏導以及高階偏導的計算。作為做題技巧，也可取?(t)?t,?(t)?1，則u(x,y)?2x?2y?2y，簡單驗算只有

2225

?2u?2u?2成立，同樣可找到正確選項(B).2?x?y完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.267及習題十（第11題）

（10）設有三元方程xy?zlny?exz?1，根據隱函數存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內該方程

(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數的隱函數z=z(x,y).

(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數的隱函數x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數的隱函數y=y(x,z)和z=z(x,y).

(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數的隱函數x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]

此題考察隱函數存在定理，只需令F(x,y,z)=xy?zlny?exz?1,分別求出三個偏導數Fz,Fx,Fy，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導數不為0，則可確定相應的隱函數.

令F(x,y,z)=xy?zlny?exz?1,則Fx??y?exzz，F(xiàn)y??x?z，F(xiàn)z???lny?exzx，y且Fx?(0,1,1)?2，F(xiàn)y?(0,1,1)??1，F(xiàn)z?(0,1,1)?0.由此可確定相應的隱函數x=x(y,z)和y=y(x,z).故應選(D).

隱函數存在定理是首次直接考察，有部分考生感到較生疏.實際上此題也可從隱函數求偏導公式著手分析：若偏導表達式有意義，相應偏導數也就存在.

定理公式見《數學復習指南》（理工類）P.270

（11）設?1,?2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為?1,?2，則?1，

A(?1??2)線性無關的充分必要條件是

(A)

?1?0.(B)?2?0.(C)?1?0.(D)?2?0.[B]

探討一組抽象向量的線性無關性，可用定義或轉化為求其秩即可.方法一：令k1?1?k2A(?1??2)?0，則

k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0，(k1?k2?1)?1?k2?2?2?0.由于?1,?2線性無關，于是有??k1?k2?1?0,

?k2?2?0.6

當?2?0時，顯然有k1?0,k2?0，此時?1，A(?1??2)線性無關；反過來，若?1，A(?1??2)線性無關，則必然有?2?0(,否則，?1與A(?1??2)=?1?1線性相關)，故應選(B).

?1?1?方法二：由于[?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]??，

0?2??可見?1，A(?1??2)線性無關的充要條件是

1?1??2?0.故應選(B).

0?2此題綜合考察了特征值、特征向量和線性相關與線性無關的概念.完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.407

**（12）設A為n（n?2）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A,B分

別為A,B的伴隨矩陣，則

(A)交換A的第1列與第2列得B.(B)交換A的第1行與第2行得B.

(C)交換A的第1列與第2列得?B.(D)交換A的第1行與第2行得?B.[C]此題考察初等變換的概念與初等矩陣的性質，只需利用初等變換與初等矩陣的關系以及伴隨矩陣的性質進行分析即可.

由題設，存在初等矩陣E12（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使

*****得E12A?B，于是B?(E12A)?AE12?AE12?E12?1********??A*E12，即

AE12??B,可見應選(C).

注意伴隨矩陣的運算性質：

**AA*?A*A?AE，當A可逆時，A*?AA?1,(AB)*?B*A*.

完全類似例題及性質見《數學復習指南》（理工類）P.381

（13）設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為XY0100.4a1b0.1

已知隨機事件{X?0}與{X?Y?1}相互獨立，則

(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1

7

(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[B]首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.

由題設，知a+b=0.5

又事件{X?0}與{X?Y?1}相互獨立，于是有

P{X?0,X?Y?1}?P{X?0}P{X?Y?1}，即a=(0.4?a)(a?b),由此可解得a=0.4,b=0.1,故應選(B).

此題考察二維隨機變量分布律的性質和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求的基本內容.

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.528

S（14）設X1,X2,?,Xn(n?2)為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，X為樣本均值，

為樣本方差，則

(A)nX~N(0,1)(B)nS2~2?2(n).

(n?1)X12(n?1)X~t(n?1)(D)n(C)~F(1,n?1).[D]S?Xi2i?2利用正態(tài)總體抽樣分布的性質和?分布、t分布及F分布的定義進行探討即可.

由正態(tài)總體抽樣分布的性質知，

2X?0?nX~N(0,1)，可排除(A);1n(n?1)S2X?0nX22?(n?1)S~?(n?1)，不能又?~t(n?1)，可排除(C);而

S12Sn斷定(B)是正確選項.

由于X21nn~?(1),?X~?(n?1)，且X~?(1)與?Xi2~?2(n?1)相互獨

22i2212i?2i?2X12立，于是

1n?1?Xi?2n?(n?1)X122i?Xi?2n~F(1,n?1).故應選(D).

2i正態(tài)總體X~N(?,?)的三個抽樣分布：

2X???~N(0,1)、

n8

(n?1)S2X??~?2(n?1)是?？贾R點，應當牢記.~t(n?1)、2S?n完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.575

三、解答題（此題共9小題，總分值94分.解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（此題總分值11分）設D?{(x,y)x?y?大整數.計算二重積分

222,x?0,y?0}，[1?x2?y2]表示不超過1?x2?y2的最

22xy[1?x?y]dxdy.??D首先應設法去掉取整函數符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.

令D1?{(x,y)0?x?y?1,x?0,y?0}，

22D2?{(x,y)1?x?y?222,x?0,y?0}.

則

22xy[1?x?y]dxdy=??xydxdy?2??xydxdy??DD1D2??=

?20sin?cos?d??rdr?2?sin?cos?d??r3dr

02023?32137??.848對于二重積分（或三重積分）的計算問題，當被積函數為分段函數時應利用積分的可加性分區(qū)域積分.而實際考題中，被積函數經常為隱含的分段函數，如取絕對值函數f(x,y)、取極值函數max{f(x,y,g(x,y)}以及取整函數[f(x,y]等等.

完全類似例題見《數學復習指南》（理工類）P.295

（16）（此題總分值12分）求冪級數

??(?1)n?1(1?n?11)x2n的收斂區(qū)間與和函數f(x).

n(2n?1)先求收斂半徑，進而可確定收斂區(qū)間.而和函數可利用逐項求導得到.

由于lim(n?1)(2n?1)?1n(2n?1)??1，所以當x2?1時，原級數絕

n??(n?1)(2n?1)n(2n?1)?1對收斂，當x?1時，原級數發(fā)散，因此原級數的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（－1,1）

1(?1n?)記S(x)??2?n?12n(n??2,1)x,?x?(，11)2n(?1)n?12n?1則S?(x)??x,x?(?1,1)，n?12n?19

S??(x)??(?1)n?1