遼寧省鞍山市高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第24頁/共24頁鞍山市高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，而，所?故選：A2.已知，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系求得，再由角的范圍有并確定函數(shù)值，進(jìn)而求目標(biāo)式的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則.因?yàn)?，則，故，所以.故選：A4.天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲?乙?丙?丁?戊?己?庚?辛?壬?癸；十二地支即：子?丑?寅?卯?辰?巳?午?未?申?酉?戌?亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請(qǐng)問：在100年后的2123年為（）A.壬午年 B.癸未年 C.己亥年 D.戊戌年【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，天干和地支的年份分別是以和為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：B.5.在正方體中，已知，點(diǎn)O在棱上，且，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，則點(diǎn)P會(huì)在4個(gè)面內(nèi)有軌跡，且均是圓弧，分別計(jì)算半徑和圓心角即可【詳解】依題意，∵，，，∴，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為，該軌跡是以5為半徑的個(gè)圓周，所以長(zhǎng)度為；同理，在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為；在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為；同理，在平面ABCD內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以A為圓心，AE為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為.故軌跡的總長(zhǎng)度為.故選：C.6.已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則最小值為（）A14 B.13 C.12 D.11【答案】C【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與圓有公共點(diǎn)的問題來列不等式，解不等式求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】解：以為直徑的圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為.圓的圓心為，半徑為.要使圓上存在點(diǎn)，使得，則圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把變形，，，利用和1比較大?。挥捎?，證明，即可得出結(jié)果.【詳解】，，，則.，因?yàn)椋?，所以，，所以，所?故選：C.8.已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，其定義域?yàn)?，滿足：當(dāng)時(shí)，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，解得，再令，得到，從而是奇函數(shù)，用替代，結(jié)合是奇函數(shù)，得到，再由時(shí)，，利用單調(diào)性定義得到在上遞增，則在上遞增，將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：令，即，則，令，即，則，因?yàn)槎x域?yàn)?，所以是奇函?shù)，由，用替代，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，即，所以在上遞增，又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以在上遞增，則等價(jià)于，解得，故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中判斷正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值是5B.若關(guān)于x的不等式的解集是或，則C.已知向量，，若，則D.已知向量，，，則與的夾角為【答案】BD【解析】【分析】A利用基本不等式求最小值；B根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)即可判斷；C根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可；D利用向量夾角的坐標(biāo)公式求夾角即可.【詳解】A：因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是，錯(cuò)誤；B：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是或，則，關(guān)于的方程的兩根分別為，，由韋達(dá)定理可得，可得，，則，所以，正確；C：由，得，即，解得或，錯(cuò)誤；D：已知?jiǎng)t，又，，則，故，，又向量夾角在[0,π]區(qū)間內(nèi)，所以向量的夾角為，正確；故選：BD10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象B.的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.的單調(diào)遞減區(qū)間為D.在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換求出，根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.【詳解】，所以，對(duì)于A，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，即，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C正確；因?yàn)樗砸驗(yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，D錯(cuò)誤，故選:ABC.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.四面體的體積為定值B.的最小值為C.平面D.當(dāng)直線與AC所成的角最大時(shí)，四面體的外接球的體積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用平面平面可得到到平面的距離相等，即可判斷，對(duì)于B，舉反例即可判斷；對(duì)于C，連接，，證明平面平面即可判斷；對(duì)于D，當(dāng)與重合時(shí)，直線與AC所成的角最大，則求出外接球半徑即可【詳解】對(duì)于A，由正方體可得平面平面，且平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，所以四面體的體積為，所以四面體體積為定值，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)與重合時(shí)，，所以的最小值不為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，由正方體可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面因?yàn)椋矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋裕ɑ蚱溲a(bǔ)角）為直線與AC所成角，由圖可得當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)最大，故此時(shí)直線與AC所成的角最大，所以四面體即四面體的外接球即為正方體的外接球，所以外接球的直徑為，即，所以四面體的外接球的體積為，故D正確；故選：ACD12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，平行四邊形的頂點(diǎn)，分別在的兩條漸近線上，則下列結(jié)論正確的為（）A.直線，的斜率之積為 B.的離心率為2C.的最小值為 D.四邊形的面積可能為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意可得：雙曲線為等軸雙曲線，即可得到離心率為，漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)漸近線互相垂直可得：平行四邊形為矩形，利用點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，則離心率為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由方程可知：雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在漸近線上.因?yàn)闈u近線互相垂直，由題意可知：平行四邊形為矩形，則，，所以直線，的斜率之積為，故選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)，由題意知：為矩形，則，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，，則當(dāng)且僅當(dāng)，也即為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)取等，所以的最小值為，故選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)的分析可知：，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的次數(shù)為1，從而可求出x的系數(shù).【詳解】由題知的二項(xiàng)式展開式中通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，所以展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】【分析】利用前項(xiàng)和和的關(guān)系求通項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，可得，故有，當(dāng)時(shí)，不相符.故答案為：.15.冬季兩項(xiàng)是冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點(diǎn)的競(jìng)賽項(xiàng)目結(jié)合在一起進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)，其中冬季兩項(xiàng)男子個(gè)人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射擊1次，共射擊4次，每次5發(fā)子彈，若每有1發(fā)子彈沒命中，則被罰時(shí)1分鐘，總用時(shí)最少者獲勝.己知某男選手在一次比賽中共被罰時(shí)3分鐘，假設(shè)其射擊時(shí)每發(fā)子彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨(dú)立，記事件A為其在前兩次射擊中沒有被罰時(shí)，事件B為其在第4次射擊中被罰時(shí)2分鐘，那么___________.【答案】【解析】【分析】事件B為前3次中有一次中1發(fā)未中，第4次射擊中有2發(fā)未中，事件AB是第3次有1發(fā)未中，第4次有2發(fā)未中，然后利用利用條件概率求解.【詳解】解：由題意得，，故答案為：16.已知A?B?C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A?B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，AC經(jīng)過右焦點(diǎn)F，若且，則該橢圓的離心率是___________.【答案】##【解析】【分析】方法一：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由條件證明四邊形為矩形，設(shè)，結(jié)合橢圓的定義求，，利用勾股定理列方程可得關(guān)系由此可求離心率.方法二：設(shè)，，由可得，由可得，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程列方程，消元可得關(guān)系由此可求離心率.【詳解】方法一：設(shè)橢圓的半焦距為，左焦點(diǎn)為，則因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，因?yàn)?，所以，由橢圓的定義可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以離心率.故答案為：.方法二：設(shè)橢圓的半焦距為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且①，②，②×4-①可得，，因?yàn)榻?jīng)過右焦點(diǎn)，，所以，所以，故，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以離心率.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，已知且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式求公比，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）、題設(shè)可得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.【小問1詳解】由題設(shè)，令公比為，則，所以，即，則，故.【小問2詳解】由（1）知：，則，所以.18.如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，底面．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以在中，由余弦定理得，解得，所以在中，所以，又因底面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】因?yàn)榈酌?，平面，所以，結(jié)合（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，解得，設(shè)平面的法向量，則，解得，所以，所以結(jié)合圖像可得二面角的余弦值為.19.請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚懙酱痤}卡對(duì)應(yīng)位置上）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若___________，（1）求角B的大?。唬?）若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理結(jié)合得到，求出答案；選②，由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案；選③，由正弦定理得到，由輔助角公式得到，求出答案；（2）利用正弦定理和余弦定理得到，結(jié)合△ABC為銳角三角形，求出，求出答案.【小問1詳解】若選①因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因?yàn)?，所?若選②由，化簡(jiǎn)得.由正弦定理得：，即，所以.因?yàn)?，所?若選③由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?【小問2詳解】在中，由正弦定理，得，由（1）知：，又с=1代入上式得：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，，所以.【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.20.2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國(guó)首次精確測(cè)定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國(guó)移動(dòng)開通珠峰峰頂5G，有助于測(cè)量信號(hào)的實(shí)時(shí)開通，為珠峰高程測(cè)量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號(hào)覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號(hào)的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡(jiǎn)易設(shè)備傳輸視頻信號(hào)的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類服務(wù).”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國(guó)5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（3）從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設(shè)（i=1，2，3，4，5，6）.參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）更適宜（2），65.35百萬元（3）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖確定正確答案.（2）根據(jù)非線性回歸的知識(shí)求得回歸方程并求得預(yù)測(cè)值.（3）利用超幾何分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型；【小問2詳解】因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以所?所以，即，所以.令，得，故預(yù)測(cè)該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬元.【小問3詳解】前6個(gè)月的收入中，收入超過20百萬元的有3個(gè)，所以X的取值為0，1，2，所以X的分布列為：012P所以.21.拋物線C：上的點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，A?B（不與O重合）是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）x軸上是否存在點(diǎn)P使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由焦半徑公式求出，求出拋物線方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用得到，求出，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由拋物線的定義得，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意知直線與直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，由得直線方程為：，由，解得，由，解得由得，假定在軸上存在點(diǎn)使得，設(shè)點(diǎn)，則由（1）得直線斜率，直線斜率，由得，則有，即，整理得，