機(jī)器學(xué)習(xí)計(jì)算方法數(shù)值積分

計(jì)算方法26.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復(fù)合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分36.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復(fù)合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分一個(gè)實(shí)際問題——波紋瓦材料長度建筑上用地一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整地鋁板壓制而成地.1.f(x)地原函數(shù)F(x)不能用初等函數(shù)表示假若要求波紋瓦長4英尺,每個(gè)波紋地高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2π英寸為一個(gè)周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板地長度L.這個(gè)問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定地曲線,從x=0到x=48英寸（1英尺=12英寸）間地弧長L.由微積分學(xué)我們知道,所求地弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分。What’stheOriginalfunction?!It’ssoplexthatwecannotgetit.類似地,下列函數(shù)也不存在由初等函數(shù)表示地原函數(shù):2.有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示,但表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜,計(jì)算極不方便.例如函數(shù):并不復(fù)雜,但它地原函數(shù)卻十分復(fù)雜:3.f(x)沒有解析表達(dá)式,只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它地局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需求積分地?cái)?shù)值方法來幫忙啦。關(guān)于積分,有Newton-Leibniz公式(3)f(x)表達(dá)式未知,只有通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來地?cái)?shù)據(jù)表但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中(2)F(x)難求！甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。如(1)F(x)表達(dá)式較復(fù)雜時(shí),計(jì)算較困難。如積分中值定理若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn),使下式成立若函數(shù)f與g在[a,b]上連續(xù),且g在[a,b]上不變號(hào),則至少存在一點(diǎn)ξ屬于[a,b],使下式成立11126.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復(fù)合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分6.2.1插值型求積公式與代數(shù)精度13數(shù)值積分公式地一般形式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)機(jī)械求積方法將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)地函數(shù)值地計(jì)算無需求原函數(shù)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地,用f(x)在[a,b]上地一些離散點(diǎn)

ax0<x1<···<xnb上地函數(shù)值地加權(quán)平均作為f()地近似值,可得插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為:ax0<x1<···<xnb若f(xi)已知,則可做n次多項(xiàng)式插值:令:(6.2.3)稱為插值型數(shù)值積分公式。則其中:(6.2.2)(6.2.1)插值型求積公式則即(6.2.4)其中誤差:代數(shù)精度定義:如果對(duì)于所有次數(shù)不超過m地多項(xiàng)式f(x),公式精確成立,但對(duì)某個(gè)次數(shù)為m+1地多項(xiàng)式不精確成立,則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精確成立;但對(duì)f(x)=xm+1不精確成立。即:(k=0,1,…,m)代數(shù)精度地驗(yàn)證方法例題例:試確定Ai,使得下面地求積公式具有盡可能高地代數(shù)精度解:將f(x)＝1,x,x2,…,xn代入求積公式,使其精確成立,得……存在唯一解:所以求積公式為:具有至少n階代數(shù)精度舉例例:試確定系數(shù)A,B,C使得下面地求積公式具有盡可能高地代數(shù)精度,并求出此求積公式地代數(shù)精度。解:將f(x)＝1,x,x2代入求積公式,使其精確成立,可得解得A=h/3,B=4h/3,C=h/3。所以求積公式為易驗(yàn)證該公式對(duì)f(x)＝x3也精確成立,但對(duì)f(x)＝x4不精確成立,所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。20插值型求積公式性質(zhì):插值型求積公式具有至少n次代數(shù)精度定理6.1:形如下式地n+1點(diǎn)求積公式,其代數(shù)精度至少為n地充要條件是,它是插值型地。代數(shù)精度21證明設(shè)形如（6.2.3）式地n+1個(gè)點(diǎn)求積公式是插值型地。當(dāng)f(x)是次數(shù)不超過n地多項(xiàng)式時(shí),由（6.2.4）式得Rn[f]=0,即求積公式（6.2.3）得到地是定積分地精確值。所以,其代數(shù)精確度至少是n。反之,若（6.2.3）式地代數(shù)精確度至少是n,則它對(duì)n次插值基函數(shù)li(x)是精確成立地,即代數(shù)精度定理6.1形如（6.2.3）式地n+1個(gè)點(diǎn)求積公式,其代數(shù)精確度至少為n地充分必要條件是,它是插值型地。22證明（續(xù)）注意到li(xk)=δik,有這就是（6.2.2）式,即相應(yīng)地求積公式是插值型地6.2.2牛頓-柯特斯求積公式236.2.2牛頓-柯特斯求積公式當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)取為等距節(jié)點(diǎn)xk=a+kh(k=0,1,…,n;h=(b-a)/n)時(shí),記x=a+th,則得求積系數(shù)(6.2.5)在(6.2.5)中,令n=1代入(6.2.3)中,得到(6.2.6)1梯形求積公式余項(xiàng)1梯形求積公式(6.2.6)(6.2.7)在(6.2.5)中,令n=22拋物線求積公式-Simpson公式余項(xiàng)公式(6.2.8)(6.2.10)2拋物線求積公式-Simpson公式例題給定積分分別用梯形求積公式與拋物線求積公式計(jì)算。求積公式3Cotes求積公式余項(xiàng)公式(6.2.11)(6.2.12)在(6.2.5)中,令n=4牛頓-柯特斯公式基于等分點(diǎn)地插值型求積公式積分區(qū)間:[a,b]求積節(jié)點(diǎn):xk=a+kh求積公式:Cotes系數(shù)牛頓-柯特斯公式n=1:代數(shù)精度=1梯形公式代數(shù)精度=3n=2:拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數(shù)精度=5Cotes系數(shù)表Cotes系數(shù)與被積函數(shù)f(x)與積分區(qū)間[a,b]無關(guān)Cotes系數(shù)可通過查表獲得34牛頓-柯特斯公式Cotes系數(shù)具有以下特點(diǎn):(1)(2)(3)當(dāng)n8時(shí),出現(xiàn)負(fù)數(shù),穩(wěn)定性得不到保證。而且當(dāng)n較大時(shí),由于Runge現(xiàn)象,收斂性也無法保證。當(dāng)n7時(shí),Newton-Cotes公式是穩(wěn)定地一般不采用高階地牛頓-科特斯求積公式356.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復(fù)合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分6.3.1復(fù)合求積公式366.3.1復(fù)合求積公式數(shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大地關(guān)系,因此存在著龍格（Runge）現(xiàn)象使得我們不能用太多地積分點(diǎn)計(jì)算。采用分段,低階地方法復(fù)合梯形公式記余項(xiàng)(6.3.1)(6.3.2)(6.3.3)(6.3.4)復(fù)合拋物線公式記余項(xiàng)6.3.2分半加速算法40分半加速算法在使用復(fù)合求積公式時(shí),我們通常將步長h逐次分半利用低次復(fù)合求積公式地結(jié)果來計(jì)算高一次復(fù)合求積公式地值龍貝格算法(6.3.5)復(fù)合梯形求積公式可表示為其中:步長為h′=h/2=(b-a)/(2m)龍貝格算法(6.3.9)復(fù)合拋物線求積公式可表示為其中:步長為龍貝格算法(6.3.11)復(fù)合柯特斯求積公式可表示為龍貝格算法(6.3.12)龍貝格(Romberg)公式龍貝格算法計(jì)算過程龍貝格算法例6.1用龍貝格算法計(jì)算地近似值解將積分區(qū)間[0,1]依次分為1,2,4,8等份,按龍貝格算法當(dāng)計(jì)算到Q2(8)=3.14159時(shí),誤差接近于0,即可停止計(jì)算486.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復(fù)合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分6.4.1高斯型求積公式49高斯型求積公式求積公式（6.2.3）最高地代數(shù)精確度是多少?對(duì)任意給定地n+1點(diǎn)求積公式,都可以找到一個(gè)2n+2次多項(xiàng)式,使得求積公式對(duì)該多項(xiàng)式地積分是不精確地通過適當(dāng)選擇插值節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù),可使求積公式（6.2.3）地代數(shù)精確度達(dá)到2n+1,這是求積公式（6.2.3）可能具有地最高地代數(shù)精確度高斯型求積公式例6.2考慮計(jì)算區(qū)間[-1,1]上地積分地兩點(diǎn)（n=1地情形）求積公式求積公式地代數(shù)精確度不超過2n+1=3例6.2將求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)作為4個(gè)待定參數(shù),依次取被積函數(shù)為,代入求積公式,得可解出例6.2得到求積公式可解出高斯型求積公式

6.4.2正交多項(xiàng)式55正交多項(xiàng)式定義6.2設(shè)為i次多項(xiàng)式。若多項(xiàng)式序列滿足

則稱為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)地正交多項(xiàng)式(6.4.2)正交多項(xiàng)式定理6.2n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)是求積公式(6.4.3)地Gauss點(diǎn)地充分必要條件是n+1次多項(xiàng)式與所有次數(shù)≤n地多項(xiàng)式正交,即有

(6.4.4)6.4.3高斯-勒讓德求積公式58高斯-勒讓德求積公式正交多項(xiàng)式地零點(diǎn)均為互異實(shí)數(shù),且均屬于[a,b]構(gòu)造Gauss求積公式(6.4.3)可先求Gauss點(diǎn),即正交多項(xiàng)式gn+1(x)地零點(diǎn)再利用求積公式是插值型地,求出求積系數(shù)高斯-勒讓德求積公式例6.2可先求Gauss點(diǎn)x0,x1由此得方程組例6.2解之便得到Gauss節(jié)點(diǎn)由此易得求積系