精選河北省衡水中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試題理(含解析)

河北省衡水中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試題理(含解析)PAGE15-2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題理科數(shù)學(xué)〔Ⅰ〕第一卷一、選擇題：此題共12個(gè)小題,每題5分,在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.集合，，那么=〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由題知，，那么故此題答案選．2.為虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由題．又對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)在第四象限，可知，解得．故此題答案選．3.以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在內(nèi)單調(diào)遞增的為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】為非奇非偶函數(shù)，排除；為偶函數(shù)，但在內(nèi)單調(diào)遞減，排除；為奇函數(shù)，排除．故此題答案選．4.雙曲線：與雙曲線：，給出以下說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.它們的焦距相等B.它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上C.它們的漸近線方程相同D.它們的離心率相等【答案】D【解析】由題知．那么兩雙曲線的焦距相等且，焦點(diǎn)都在圓的圓上，其實(shí)為圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)．漸近線方程都為，由于實(shí)軸長(zhǎng)度不同故離心率不同．故此題答案選，5.在等比數(shù)列中，“，是方程的兩根〞是“〞的〔〕A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由韋達(dá)定理知，那么，那么等比數(shù)列中，那么．在常數(shù)列或中，不是所給方程的兩根．那么在等比數(shù)列中，“，是方程的兩根〞是“〞的充分不必要條件．故此題答案選．6.執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值為〔〕A.1009B.-1009C.-1007D.1008【答案】B【解析】由程序框圖那么，由規(guī)律知輸出．故此題答案選．7.一幾何體的三視圖如以以下圖，那么該幾何體的體積為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】觀察三視圖可知，幾何體是一個(gè)圓錐的與三棱錐的組合體，其中圓錐的底面半徑為，高為．三棱錐的底面是兩直角邊分別為的直角三角形，高為．那么幾何體的體積．故此題答案選．8.函數(shù)的局部圖象如以以下圖，那么函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可能為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)知，又，即，所以．那么，圖象過(guò)點(diǎn)，那么，即，所以，又，那么．故，令，得，令，可得其中一個(gè)對(duì)稱中心為．故此題答案選．9.?幾何原本?卷2的幾何代數(shù)法〔以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題〕成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如以以下圖圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，那么該圖形可以完成的無(wú)字證明為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】令，可得圓的半徑，又，那么，再根據(jù)題圖知，即．故此題答案選．10.為迎接中國(guó)共產(chǎn)黨的十九大的到來(lái)，某校舉辦了“祖國(guó)，你好〞的詩(shī)歌朗誦比賽.該校高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加，且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為〔〕A.720B.768C.810D.816【答案】B【解析】由題知結(jié)果有三種情況．甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，有種情況，其中甲、乙相鄰的有種情況，所以甲、乙、丙三名同學(xué)全參加時(shí)，甲和乙的朗誦順序不能相鄰順序有種情況；甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加，不同的朗誦順序有種情況；甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加時(shí)，不同的朗誦順序有種情況．那么選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序有種情況，故此題答案選11.焦點(diǎn)為的拋物線：的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，那么當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為〔〕A.或B.C.或D.【答案】A【解析】過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，那么，那么當(dāng)取得最大值時(shí)，必須取得最大值，此時(shí)直線與拋物線相切，可設(shè)切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．那么直線方程為或．故此題答案選．點(diǎn)睛：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的根底，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，如果問(wèn)題中涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題．此題就是將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，將比值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成切線問(wèn)題求解．12.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)，，使得，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由題知問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集．當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)，得此時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，．那么在的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，那么有，解得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，那么有，解得．綜上所述，可得的取值范圍為．故此題答案選．點(diǎn)睛：求解分段函數(shù)問(wèn)題應(yīng)對(duì)自變量分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)就是自變量與分段函數(shù)所給出的范圍的關(guān)系，求解過(guò)程中要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合討論時(shí)的范圍．討論應(yīng)該不重復(fù)不遺漏．第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題和第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每題5分.13.，，假設(shè)向量與共線，那么在方向上的投影為_(kāi)________．【答案】【解析】由題知，又與共線，可得，得，那么方向上的投影為．故此題應(yīng)填．14.實(shí)數(shù)，滿足不等式組且的最大值為，那么=__________．【答案】【解析】作出可行域，目標(biāo)函數(shù)可變?yōu)椋?，作出，由平移可知直線過(guò)時(shí)取最大值，那么．那么．故此題應(yīng)填．15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，且，的面積為，那么的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化為，進(jìn)一步化為，那么，即．在三角形中．由面積公式，可知，由余弦定理，代入可得．故此題應(yīng)填．點(diǎn)睛：此題主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的過(guò)程中,當(dāng)所給的等式中既有正弦又有余弦時(shí),常利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系;如果出現(xiàn)邊的平方或者兩邊長(zhǎng)的乘積時(shí)可考慮使用余弦定理判斷三角形的形狀.解三角形問(wèn)題時(shí),要注意正,余弦定理的變形應(yīng)用,解題思路有兩個(gè):一個(gè)是角化為邊,二是邊化為角.選擇余弦定理和面積時(shí)，要以角的為主．16.球是正三棱錐〔底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心〕的外接球，，，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作圓的截面，那么所得截面圓面積的取值范圍是__________.【答案】【解析】令的中心為，球的半徑為，連接，易求得，那么，在中，由勾股定理得，解得，由，知，所以，所以．當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑，此時(shí)截面面積為．當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大，此時(shí)截面圓的面積為．故此題應(yīng)填．點(diǎn)睛：解決球與其他幾何體的內(nèi)切，外接問(wèn)題的關(guān)系在于仔細(xì)觀察，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，搞清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最正確角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球和其他幾何體的各種元素，盡可能的表達(dá)這些元素之間的關(guān)系)，到達(dá)空間問(wèn)題平面化的目的．三、解答題：解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.的展開(kāi)式中的系數(shù)恰好是數(shù)列的前項(xiàng)和.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】〔1〕;〔2〕見(jiàn)解析.【解析】試題分析：〔1〕由二項(xiàng)展開(kāi)式可知各項(xiàng)中的系數(shù)，求和后可得，利用與間的關(guān)系可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕由的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，對(duì)進(jìn)行裂項(xiàng)，用裂項(xiàng)法可求得，利用放縮法可證明不等式．試題解析：〔1〕的展開(kāi)式中的系數(shù)為，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.〔2〕證明：，所以，所以.18.如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心.〔1〕求證：平面平面；〔2〕假設(shè)，求二面角的余弦值.【答案】〔1〕見(jiàn)解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由重心性質(zhì)及中位線性質(zhì)可得，再結(jié)合圓的性質(zhì)得，由，可證平面，進(jìn)一步可得平面平面〔2〕以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角與二個(gè)半平面的法向量的夾角間的關(guān)系可求二面角的余弦值．試題解析：〔1〕如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)闉榈闹匦模詾榈闹悬c(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槭菆A的直徑，所以，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所?又平面，平面=，所以平面.即平面，又平面，所以平面平面.〔2〕以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，，，那么，.平面即為平面，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，那么令，得.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由平面，易得，又，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量.在中，由，得，那么，.所以，.所以.設(shè)二面角的大小為，那么.點(diǎn)睛：假設(shè)分別二面角的兩個(gè)半平面的法向量，那么二面角的大小滿足，二面角的平面角的大小是的夾角(或其補(bǔ)角，需根據(jù)觀察得出結(jié)論)．在利用向量求空間角時(shí)，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量是解題的關(guān)鍵．19.2023年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)600元〔含600元〕，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球〔其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè)〕的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)那么為：假設(shè)摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；假設(shè)摸出2個(gè)紅球那么打6折，假設(shè)摸出1個(gè)紅球，那么打7折；假設(shè)沒(méi)摸出紅球，那么不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球〔其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè)〕的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.〔1〕假設(shè)兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；〔2〕假設(shè)某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率的角度比擬該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？【答案】〔1〕;〔2〕見(jiàn)解析.【解析】試題分析：〔1〕選擇方案一可以免單，但需要摸出三個(gè)紅球，利用古典概型求出摸出三個(gè)紅球的概率，再利用兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率應(yīng)該是兩事件的概率乘積可求得兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；〔2〕分別寫(xiě)出兩種方案下付款金額的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，進(jìn)行合理選擇．試題解析：〔1〕選擇方案一假設(shè)享受到免單優(yōu)惠，那么需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，那么，所以兩位顧客均享受到免單的概率為.〔2〕假設(shè)選擇方案一，設(shè)付款金額為元，那么可能的取值為0，600，700，1000.，，，，故的分布列為，所以〔元〕.假設(shè)選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，那么，由可得，故，所以〔元〕.因?yàn)?，所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.20.橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且橢圓與圓：的公共弦長(zhǎng)為.〔1〕求橢圓的方程.〔2〕過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得為以為底邊的等腰三角形.假設(shè)存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】〔1〕；〔2〕見(jiàn)解析.【解析】試題分析：〔1〕由長(zhǎng)軸長(zhǎng)可得值，公共弦長(zhǎng)恰為圓直徑，可知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可得橢圓方程；〔2〕可令直線的解析式為，設(shè)，的中點(diǎn)為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍．試題解析：〔1〕由題意可得，所以.由橢圓與圓：的公共弦長(zhǎng)為，恰為圓的直徑，可得橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.所以橢圓的方程為.〔2〕直線的解析式為，設(shè)，的中點(diǎn)為.假設(shè)存在點(diǎn)，使得為以為底邊的等腰三角形，那么.由得，故，所以，.因?yàn)?，所以，即，所?當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，在軸上存在滿足題目條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.點(diǎn)睛：此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,根本不等式,及韋達(dá)定理的應(yīng)用.解析幾何大題的第一問(wèn)一般都是確定曲線的方程,常見(jiàn)的有求參數(shù)確定方程和求軌跡確定方程,第二問(wèn)一般為直線與橢圓的位置關(guān)系,解決此類問(wèn)題一般需要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化給出的條件,可將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,從而建立方程或者不等式來(lái)解決.21.函數(shù).〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，恰為函數(shù)的零點(diǎn)，求證：.【答案】〔1〕當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增；〔2〕見(jiàn)解析.【解析】試題分析：〔1〕對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)進(jìn)行討論可得函數(shù)單調(diào)性；〔2〕由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可知，又是的零點(diǎn)，代入相減化簡(jiǎn)得，對(duì)求導(dǎo)，.令，求得函數(shù).不等式得證．試題解析：〔1〕由于的定義域?yàn)椋敲?對(duì)于方程，其判別式.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)，即，方程恰有兩個(gè)不相等是實(shí)，令，得或，此時(shí)單調(diào)遞增；令，得，此時(shí)單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增.〔2〕由〔1〕知，，所以的兩根，即為方程的兩根.因?yàn)?，所以，?又因?yàn)?，為的零點(diǎn)，所以，，兩式相減得，得.而，所以.令，由得，因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以，得，因?yàn)?/p>