微分方程應(yīng)用題

微分方程應(yīng)用題第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長為400、那么前12h后總數(shù)是多少?分析：例1第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四將室內(nèi)一支讀數(shù)為260的溫度計(jì)放到室外。10min后，溫度計(jì)的讀數(shù)為300；又過了10min，讀數(shù)為320．先不用計(jì)算，推測一下室外的溫度。然后，利用牛頓的冷卻定律計(jì)算出正確的答案。分析：例2第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四翻譯；建立瞬時(shí)表達(dá)式；配備物理單位；敘述給定的條件；寫出清楚的框架。凈變化率＝輸入率一輸出率主要步驟第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四某人的食量是2500cal／天，其中1200cal用于基本的新陳代謝(即自動(dòng)消耗)。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的大約是16cal/kg/天，乘以他的體重(kg)。假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%的有效，而1kg脂肪含熱量10,000cal。求出這人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的。分析：輸入率=2500cal／天輸出率=健身訓(xùn)練16cal/kg/天×體重w(kg)+新陳代謝1200cal／天例3第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四在一個(gè)巴基斯坦洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家們把它們帶到實(shí)驗(yàn)室，作碳14年代測定。分析表明，C14與C12的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，此人生活在多少年前?分析：例4第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)p(t)表示一種給定物種在時(shí)刻t的總數(shù)，r(t,p)表示該物種出生率和死亡率之差。如果這個(gè)群體是孤立的．即不出現(xiàn)凈遷出或遷入．那么總數(shù)的變化率dp/dt

就等于r(t,p)p．在大多數(shù)簡化了的模型中，假定r是常數(shù)，即它不隨時(shí)間或總數(shù)而變。于是如果所給物種在t0時(shí)刻的總數(shù)p0，則p(t)滿足初值問題這個(gè)初值問題的解是人口預(yù)測第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四月數(shù)026l0觀察到的P2520109計(jì)算出的P24.522109.1觀察一種很小的嚙齒動(dòng)物，其繁殖速度為每月增長群體總數(shù)的40%，嚙齒動(dòng)物的增長第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四YearPopulationGrowthrate19502,555,360,9721.4719512,593,139,8571.6119522,635,192,9011.7119532,680,522,5291.7719542,728,486,4761.8719552,779,929,9401.8919562,832,880,7801.9519572,888,699,0421.9419582,945,196,4781.7619592,997,522,1001.3919603,039,585,5301.3319613,080,367,4741.8019623,136,451,4322.1919633,205,956,5652.1919643,277,024,7282.0819653,346,002,6752.0819663,416,184,9682.0219673,485,881,2922.0419683,557,690,6682.0819693,632,294,5222.0519703,707,475,8872.071950-1970年人口及增長率第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1950-1970年人口第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1950-1970年增長率第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1961年地球上的人口總數(shù)為3.06×109

而在以后的t年中。人口總數(shù)以每年2%的速度增長。這樣用過去的人口總數(shù)可以檢驗(yàn)這個(gè)公式的結(jié)果。1700──1961年間的人口總數(shù)每35年就翻了一番，而方程預(yù)測每34.6年地球的人口總數(shù)將翻一番。預(yù)測

25l0年：2,000,000億；

2635年：18,000,000億；

2670年：36,000,000億。1961年人口預(yù)測第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四19713,784,957,1622.0019723,861,537,2221.9519733,937,599,0351.9019744,013,016,3981.8119754,086,150,1931.7419764,157,827,6151.7219774,229,922,9431.6919784,301,953,6611.7319794,376,897,8721.7119804,452,584,5921.6919814,528,511,4581.7519824,608,410,6171.7519834,689,840,4211.6919844,769,886,8241.7019854,851,592,6221.7019864,934,892,9881.7319875,020,809,2151.7119885,107,404,1831.6819895,194,105,9121.6719905,281,653,8201.571971-1990年人口及增長率第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四19915,365,480,2761.5519925,449,369,6361.4919935,531,014,6351.4419945,611,269,9831.4219955,691,759,2101.3819965,770,701,0201.3619975,849,885,3011.3219985,927,556,5291.2819996,004,170,0561.2520006,079,603,5711.2120016,153,801,9611.1820026,226,933,9181.1620036,299,763,4051.1520046,372,797,7421.141991-2004年人口及增長率第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1951-2004人口第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1951-2004增長率第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四YearPopulationGrowthrate19512,593,139,8571.6119562,832,880,7801.9519613,080,367,4741.8019663,416,184,9682.0219713,784,957,1622.0019764,157,827,6151.7219814,528,511,4581.7519864,934,892,9881.7319915,365,480,2761.5519965,770,701,0201.3620016,153,801,9611.18簡化數(shù)據(jù)表YearPopulationGrowthrate19713,784,957,1622.0019814,528,511,4581.7519915,365,480,2761.5520016,153,801,9611.18第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四簡化圖像第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)群體異常地龐大時(shí)，個(gè)體成員相互間要為有限的生存空間、自然資源以及可以得到的食物而進(jìn)行競爭?？紤]改進(jìn)的方程，其中b是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)方程被稱作群體增長的邏輯律，數(shù)字a、b稱為群體的生命系數(shù)。邏輯律第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)生物學(xué)家G．F．Gause對(duì)草履蟲做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：把五只草履蟲個(gè)體放入一個(gè)很小的試管中，管內(nèi)盛有0.5cm3的培養(yǎng)基，每天計(jì)算一下個(gè)體的數(shù)量．共持續(xù)六天。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)量不大時(shí)．這種草履蟲以每天230.9%的速度增長。最初個(gè)體的數(shù)量迅速地增加，后來就比較慢了，到了第四天使達(dá)到375的最高水平，蟲體占滿了試管。從這個(gè)數(shù)據(jù)我們得出結(jié)論，如果草履蟲依照邏輯律dp/dt＝ap-bp2增長，那么a＝2.309，b＝2.309/375；因此，邏輯律預(yù)測草履蟲實(shí)驗(yàn)第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四模型求解第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四某些生態(tài)學(xué)家已經(jīng)估算出a的正常值是0.029．我們還知道，當(dāng)人口總數(shù)為(3.06)×109時(shí)，人類人口以每年2%的速率增長。因?yàn)?1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我們看到

0.02＝a-b(3.06)×109因此，b＝2．941×10-12．這樣，根據(jù)群體增長的邏輯律．地球上的人類人口將趨于極限值常數(shù)估算第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四預(yù)測人口第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四預(yù)測增長率第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四證明對(duì)于是正的。2、選擇三個(gè)時(shí)間，且證明根據(jù)可以唯一確定3、1879年1881年人們?cè)谛聺晌饔猛暇W(wǎng)捕獲了大量周歲左右的歐洲鱸魚。把它們裝進(jìn)水箱里用火車運(yùn)送，穿過大陸，放入舊金山海灣養(yǎng)殖。經(jīng)過這兩次艱苦的旅行，活下的有條紋歐洲鱸魚總共只剩下435尾。然而，到1899年，僅商業(yè)凈捕獲量就有1234000(lb)因?yàn)檫@種群體的增長這么快。有理由假設(shè)它服從馬爾薩斯律；外假設(shè)一條歐洲鱸魚的平均質(zhì)量是3(lb)，并且1899年捕獲整整十分之一的歐洲鱸魚。求出a的一個(gè)下界。4、一群體按邏輯律增長，極限總數(shù)是5x108。個(gè)個(gè)體。當(dāng)群體總數(shù)較少時(shí)，每40min翻一番。在下列每一種初值情況下，2h后群體總數(shù)將是多少。a)108b)1091、第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四在阿拉斯加海灣附近生活著一種大馬哈魚，它們服從馬爾薩斯的群體增長律dp/dt＝0.003p(t)．其小t以分鐘度量。在t＝0時(shí)一群鯊魚來到達(dá)些海域棲身并開始捕捉這里的大馬哈魚。鯊魚吞食大馬哈魚的速度是0.001p2(t)，其中p(t)為t時(shí)刻大馬哈魚的總數(shù)，而且，由于不受歡迎的成員進(jìn)入到它們的領(lǐng)域，每分鐘有0.002條大馬哈魚離開阿拉斯加海域。a)修改馬爾嚴(yán)斯的群體增長律使之將這兩個(gè)因素包含進(jìn)去。b)設(shè)t=0時(shí)有一百萬條大馬哈魚。觀察群體總數(shù)在t→∞時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況?5、第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四如果不考慮大量移民以及高殺人率，紐約城的人口將滿足邏輯律（其中t以年度量）a)修改這個(gè)方程，使之包含：每年有6000人從該城市遷出，有4000人被殺這些因素。b)假設(shè)1970年紐約城的人口為8,000,000，求出在未來任意時(shí)刻的人口。t→∞時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況？6、第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)一群體對(duì)流行病很敏感。我們可以用下面的方式建立它的模型。設(shè)該群體最初受邏輯律控制，并且一旦p達(dá)到某個(gè)小于極限總數(shù)a/b的特定值Q，流行病便開始傳播。在此階段中生命系數(shù)A<a，B<b，且(1)被7、第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四所代替。假設(shè)Q＞A/B。于是群體開始減少。當(dāng)群體減少到某一值q＞A/B時(shí)，就達(dá)到一個(gè)特定時(shí)刻。在這個(gè)時(shí)刻流行病停止傳播。群體又開始遵循(1)而增長。直到新的流行病發(fā)生。這樣在q與Q之間發(fā)生周期性波動(dòng)。現(xiàn)在我們要指出如何計(jì)算這些波動(dòng)的周期。a)證明當(dāng)p從q增加到Q時(shí)，周期的第一部分T1為b)證明當(dāng)p從Q減倒到q時(shí)，周期的第二部分T2為第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四據(jù)觀察．每當(dāng)老鼠過多時(shí)在鼠群中就會(huì)出現(xiàn)瘟疫。而且，密度的局部增加將會(huì)引起捕食者蜂擁而來。由于這兩個(gè)因素。在兩到三個(gè)星期內(nèi)，一個(gè)小嚙齒動(dòng)物群體的97%到98%就會(huì)被吞食掉。爾后，它的密度降到疾病不能傳播的水平。待減少到最高值的2%時(shí)。鼠群便從被大量捕食的困境中解脫出來。食物豐富了。于是，鼠群又開始增長，直到達(dá)到另—次疾病傳播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我們可以在練習(xí)7的(1)中置b=0。恰恰相反．在周期的第二部分，A與B相比卻非常小，故在(2)中可忽略A。a)在這些假設(shè)下．證明b)設(shè)T1近似地為4y．Q/q近似地為50．證明a近似地為1，順便說一下，a的這個(gè)值非常符合老鼠在自然環(huán)境中的繁殖率。8、第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四早晨開始下雪整天穩(wěn)降不停。正午一掃雪車開始掃雪，每小時(shí)掃雪量按體積計(jì)為常數(shù)，到下午2點(diǎn)它掃清了2km，到下午4點(diǎn)，又掃清了1km，問降雪是什么時(shí)候開始的？（假設(shè)掃雪車不管已掃過的路面）分析：設(shè)單位面積上單位時(shí)間降雪量為a(km/h)，路面寬度為b(km)，掃雪速度為c(km3/h)，路面上雪層厚度為H(t)(km)，掃雪車前進(jìn)路程為s(t)(km)，降雪開始時(shí)間為T例6、第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四在t=0時(shí)，兩只桶內(nèi)各裝有10升的鹽水，其濃度為15克鹽/升，用管子將凈水以2升/min的速度輸送到第一只桶內(nèi)．?dāng)嚢杈鶆蚝蠡旌弦河钟晒茏右?升/min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)。再將混合掖攪拌均勻．然后用1升/min的速度輸出。在任意時(shí)刻t＞0，從第二只桶流出的水中含多少鹽？分析：例7、第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四在邊長為a的正方形桌面的四個(gè)角上各放一只蟲子，每個(gè)蟲子同時(shí)以相同的速度爬向它右邊的蟲子，求它們的路徑以及會(huì)合前所經(jīng)過的路程。分析：例8、第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1、根據(jù)牛頓定律：物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫度差成比例。如果空氣的溫度是20℃且沸騰的水在20min內(nèi)冷卻到60℃。那么水溫降到30℃需多長時(shí)間?2、一滴球形雨滴，以與它表面積成正比的速度蒸發(fā)。求其體積V關(guān)于時(shí)間的t的函數(shù)式。第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四3、在進(jìn)入供水系統(tǒng)之前，對(duì)原污水進(jìn)行處理。可減少誰的污染。一種常用的處理方法是使用一只活化污泥交換箱，在交換箱內(nèi)裝有一種濃度為c的活性污泥。把污染度c1的原污水灌入箱內(nèi)，細(xì)菌將消化掉一部分污物。剩下的較清潔的混合物別被注入一只貯水器中。按規(guī)定排出物的污染度不得超過安全標(biāo)準(zhǔn)，如0.3c1，故我們的問題是求出達(dá)到安全標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間。實(shí)際上。到那時(shí)(t)，可以把原污水引入一個(gè)交換箱中。而原箱內(nèi)的活性污泥經(jīng)交換處理后污染度由c降至一個(gè)適當(dāng)?shù)淖畹投萩0。假定每分鐘輸進(jìn)交換箱的污水為r1gal，而排出的水為r2gal，在t=0時(shí)，交換箱內(nèi)有V0gal的污水，其中含有z0污染物。建立一個(gè)數(shù)學(xué)問題以求出何時(shí)應(yīng)該對(duì)交換箱實(shí)行分流。第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四4、如果一筆存款連同連續(xù)復(fù)利一道計(jì)算．在16年內(nèi)翻了一番，問利率