微積分大一下課件上

2.2函數(shù)的極限一自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三函數(shù)極限的性質(zhì)一、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(infinitepoint)的極限設(shè)對(duì)充分大的x,函數(shù)處處有定義.如果隨著x的無(wú)限增大,相應(yīng)的函數(shù)無(wú)限接近某一常數(shù)A.由此可引入函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限概念.以下分別用記號(hào)表示無(wú)限增大的過(guò)程.x趨向于負(fù)無(wú)窮x趨向于無(wú)窮x趨向于正無(wú)窮用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃問(wèn)題表示表示無(wú)限增大.1.定義定義1記作或無(wú)限接近、2.另兩種情形解顯然有可見(jiàn)和雖然都存在,但它們不相等.故不存在.例討論極限是否存在?如果在x的某種趨向下,并不無(wú)限接近一個(gè)常數(shù),則稱:在x的該種趨向下例當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí),都不無(wú)限接近一個(gè)常數(shù),因此都不存在.不存在.圖形完全落在:例證要使成立.只要有

解不等式練習(xí)試證證注意有為了使只要使有的圖形的水平漸近線(horizontalasymptote).結(jié)論則直線用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃問(wèn)題無(wú)限接近于確定值A(chǔ).二、函數(shù)在一點(diǎn)(one-point)的極限1.定義定義2設(shè)函數(shù)有定義.記作或恒有在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)注(1)定義中的所以

f(x)有沒(méi)有極限與f(x)在點(diǎn)x0是否有定義并無(wú)關(guān)系.(2)定義中標(biāo)志x接近x0的程度,也將越小.(3)不要求最大的表示它與一般地說(shuō),越小,只要求存在即可.有關(guān).必存在x0的去心鄰域?qū)τ诖肃徲騼?nèi)的x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi).作出帶形區(qū)域一般說(shuō)來(lái),應(yīng)從不等式出發(fā),推導(dǎo)出應(yīng)小于怎樣的正數(shù),這個(gè)正數(shù)就是要找的與相對(duì)應(yīng)的這個(gè)推導(dǎo)常常是困難的.

但是,注意到我們不需要找最大的所以適當(dāng)放大些,的式子,變成易于解出找到一個(gè)需要的找到就證明完畢.可把例證例證例證函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義.要使例證min可用保證練習(xí)(1)證明證由于要使解出只要可取有解不等式,3.左、右極限(單側(cè)極限)例如,兩種情況分別討論!左極限右極限使得時(shí),或使得時(shí),或或或注且性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當(dāng)x趨近于分段點(diǎn)時(shí)的極限.試證函數(shù)證左、右極限不相等,故例左、右極限存在,證故極限不存在.例但不相等,討論的存在性.練習(xí)設(shè)函數(shù)答案總結(jié)一下x的趨向一共有六種:

函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質(zhì),定理1(極限的唯一性)有極限,若在自變量的某種變化趨勢(shì)下,則極限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有極限,則f(x)在上有界;f(x)有極限,且證明方法也類似.三、函數(shù)極限的性質(zhì)定理3(局部保號(hào)性)證(1)設(shè)A>0,取正數(shù)即有自己證只要取便可得更強(qiáng)的結(jié)論:定理3(1)的證明中,不論定理

證

假設(shè)上述論斷不成立,那末由(1)就有在該鄰域內(nèi)這與所以類似可證的情形.假設(shè)矛盾,若定理3(2)中的條件改為必有不能!如思考是否定理3定理4子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)如果極限存在,為函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列,那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列且滿足:必收斂,且證設(shè)則有故對(duì)有有即★注

以上定理也適用于其它極限過(guò)程等(包括單側(cè)極限),其結(jié)論只需根椐其極限過(guò)程,的自變量范圍.改動(dòng)使不等式成立和例如,已知函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.例證二者不相等,1.

函數(shù)極限的或定義;2.

函數(shù)極限的性質(zhì)局部保號(hào)性;四、小結(jié)唯一性;局部有界性;3.

函數(shù)的左右極限判定極限的存在性.函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見(jiàn)下表)過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后思考題(A)先給定后唯一確定;極限定義中與的關(guān)系是().(C)先確定后給定;(D)與無(wú)關(guān).

B(1)(B)先確定后確定,但的值不唯一;(2)

如果與存在,則().(B)存在但不一定有(C)不一定存在;(D)