《數(shù)值分析簡明教程》其次版（王能超 編著）課后習(xí)題答案 高等教

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0.1算法

1、（p.11，題1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]內(nèi)的近似根，要求誤差不

3超過10-3.

由二分法的誤差估計(jì)式|x*?xk|?2k?1?1000.兩端取自然對數(shù)得k?b?a1????10?3，得到k?1k?1223ln10?1?8.96，因此取k?9，即至少需ln2二分9次.求解過程見下表。k0123456789ak1bk2xk1.5f(xk)符號+x2、（p.11，題2）證明方程f(x)?e?10x?2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有唯一個實(shí)根；使用

1二分法求這一實(shí)根，要求誤差不超過?10?2。

2由于f(x)?ex?10x?2，則f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且

f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(x)在區(qū)間[0,1]上至少有一個零點(diǎn).

又f'(x)?ex?10?0，即f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)的，故f(x)在區(qū)間[0,1]內(nèi)有唯一實(shí)根.

b?a11由二分法的誤差估計(jì)式|x*?xk|?k?1?k?1????10?2，得到2k?100.

2222ln10?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分兩端取自然對數(shù)得k?ln27次.求解過程見下表。k0123ak0bk1xk0.5f(xk)符號.整理提供

45670.2誤差

1．（p.12，題8）已知e=2.71828…，試問其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限。

有效數(shù)字：

1?10?1，所以x1?2.7有兩位有效數(shù)字；21?1由于|e?x2|?0.00828??0.05??10，所以x2?2.71亦有兩位有效數(shù)字；

21?3由于|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效數(shù)字；

2由于|e?x1|?0.01828??0.05??r1??r2?|e?x1|0.05??1.85%；x12.7|e?x2|0.05??1.85%；x22.71|e?x3|0.0005??0.0184%。x32.718?r3?評（1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字；

（2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字.

2．（p.12，題9）設(shè)x1?2.72，x2?2.71828，x3?0.0718均為經(jīng)過四舍五入得出的近似值，試指明它們的絕對誤差(限)與相對誤差(限)。

?1?0.005，?r1??1x1?0.005?1.84?10?3；2.72?0.000005?1.84?10?6；

2.71828?2?0.000005，?r2??2x2??3?0.00005，?r3??3x30.00005?6.96?10?4；

0.0718評經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個單位.

3．（p.12，題10）已知x1?1.42，x2??0.0184，x3?184?10?4的絕對誤差限均為

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0.5?10?2，問它們各有幾位有效數(shù)字？

由絕對誤差限均為0.5?10?2知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起，故x1?1.42，有

三位；x2??0.0184有一位；而x3?184?10?4?0.0184，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、（p.54，習(xí)題1）求作f(x)?sinx在節(jié)點(diǎn)x0?0的5次泰勒插值多項(xiàng)式p5(x)，并計(jì)算

p5(0.3367)和估計(jì)插值誤差，最終將p5(0.5)有效數(shù)值與確切解進(jìn)行比較。

(x)?cosx；f(2)(x)??sinx；f(3)(x)??cosx；f(4)(x)?sinx；f(5)(x)?cosx；f(6)(x)??sinx，所以

f(2)(x0)f(5)(x0)(1)2?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)5p5(x)

2!5!f(2)(0)2f(5)(0)5(1)?f(0)?f(0)x?x???x

2!5!11?x?x3?x5

3!5!|f(6)(?)||sin(?)|1(x?x0)6?(x?x0)6?x6，若x?0.5，則插值誤差：R5(x)?6!6!6!0.336730.33675??0.3303742887，而p5(0.3367)?0.3367?3!5!0.33676R5(0.3367)??2.02?10?6?0.5?10?5，精度到小數(shù)點(diǎn)后5位，

6!)?sin(0.3367)?0.330374191?相比故取p5(0.3367)?0.33037，與確切值f(0.3367由f(x)?sinx，求得f較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！

2、（p.55，題12）給定節(jié)點(diǎn)x0??1,x1?1,x2?3,x3?4，試分別對以下函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項(xiàng)：

（1）f(x)?4x?3x?2；（2）f(x)?x?2x

433(1)f(4)(?)3依題意，n?3，拉格朗日余項(xiàng)公式為R3(x)??(x?xi)

4!i?0（1）f(4)(x)?0→R3(x)?0；

(4)（2）由于f(x)?4!，所以

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f(4)(?)R3(x)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)

4!)的近3、（p.55，題13）依據(jù)以下數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計(jì)算sin(0.3367似值并估計(jì)誤差。

ixisin(xi)

00.320.31456710.340.33348720.360.352274f(4)(?)3依題意，n?3，拉格朗日余項(xiàng)公式為R3(x)?(x?xi)?4!i?0（1）線性插值

由于x?0.3367在節(jié)點(diǎn)x0和x1之間，先估計(jì)誤差

R1(x)?max(x?x0)(x1?x)f''(?)sin(?)(x?x0)(x?x1)?(x?x0)(x1?x)?2!220.0121???104；須保存到小數(shù)點(diǎn)后4為，計(jì)算過程多余兩位。

22y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0P1(x)?P1(x)?

x0x1x

x?x0x?x11?(x?x0)sin(x1)?(x1?x)sin(x0)?sin(x0)?sin(x1)?x0?x1x1?x0x1?x01?(0.3367?0.32)sin(0.34)?(0.34?0.3367)sin(0.32)?0.021?0.0167?sin(0.34)?0.0033?sin(0.32)??0.02?0.3304

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（2）拋物線插值插值誤差：

?R2(x)

f'''(?)?cos(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2)?(x?x0)(x1?x)(x?x2)3!6max(x?x0)(x1?x)(x2?x)3?0.0131????10?6

662yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80拋物線插值公式為：

x0x1x2x

P2(x)

?(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x0)(x?x1)(x?x2)sin(x0)?sin(x1)?sin(x2)

(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x1)(x2?x0)?(x1?x)(x?x0)1?(x1?x)(x2?x)?sin(x)?(x?x)(x?x)sin(x)?sin(x)00212?220.022???P2(0.3367)

10?5?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)??0.02210?5?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)??0.33037439??20.02經(jīng)四舍五入后得：P2(0.3367，與sin(0.3367)?0.330374191?確切值相比)?0.330374較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！

1.3分段插值與樣條函數(shù)

?x3?x21、（p.56，習(xí)題33）設(shè)分段多項(xiàng)式S(x)??322x?bx?cx?1?是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.

依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)

0?x?1

1?x?2

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S?(1)?13?12?2?13?b?12?c?1?1?S?(1)，

即：b?c?1(1)

''一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S?(1)?3?12?2?1?6?12?2?b?1?c?S?(1)，

即：2b?c??1(2)解方程組（1）和（2），得b??2,c?3，即

函數(shù)值連續(xù)：

導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。

?x3?x20?x?1S(x)??321?x?2?2x?2x?3x?1''''由于S?所以S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)的二階(1)?3?2?1?2?6?2?1?2?2?S?(1)，

2、已知函數(shù)y?1的一組數(shù)據(jù)，x0?0,x1?1,x2?2和y0?1,y1?0.5,y2?0.2，21?x（1）求其分段線性插值函數(shù)；

（2）計(jì)算f(1.5)的近似值，并根據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差。

（1）依題意，將x分為[0,1]和[1,2]兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日線性插值公式，求得

S1(x)?x?x0x?x1x?1x?0y0?y1??1??0.5??0.5x?1；

x0?x1x1?x00?11?0x?x2x?x1x?2x?1y1?y2??0.5??0.2??0.3x?0.8

x1?x2x2?x11?22?11?0.30769230769?，而S2(1.5)??0.3?1.5?0.8?0.35，21?1.5

S2(x)?（2）f(1.5)?實(shí)際誤差為：|f(1.5)?S2(1.5)|?0.0423??0.05。

由f(1)?2x(x)?,22(1?x)f(2)?2(1?3x2)(x)?,23(1?x)f(3)24x(1?x2),可(x)?24(1?x)知M2?f(2)(1)?0.5，則余項(xiàng)表達(dá)式

M|f(2)(?)|R(x)?|(x?1)(x?2)|?2?0.52?0.54?0.0625?0.5

2!2!1.4曲線擬合

1、（p.57，習(xí)題35）用最小二乘法解以下超定方程組：

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?2x?4y?11?3x?5y?3???x?2y?6??2x?y?7Q(x,y)?(2x?4y?11)2?(3x?5y?3)2?(x?2y?6)2?(2x?y?7)2，

構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：

分別就Q對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

?Q(x,y)?0：6x?y?17?x?Q(x,y)?0：?3x?46y?48?y解方程組（1）和（2），得

(1)，(2)，

6?48?3?17?1.24176

273

x?46?17?48?3.04029,273y?2、（p.57，習(xí)題37）用最小二乘法求形如y?a?bx2的多項(xiàng)式，使之與以下數(shù)據(jù)相擬合。令X?x，則y?a?bX為線性擬合，根據(jù)公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得

555?25a?b?Xi?5a?b?xi??yi(1)??i?1i?1i?1?555555?a?Xi?b?Xi2?a?xi2?b?xi4??Xiyi??xi2yi?i?1i?1i?1i?1i?1?i?12；

(2)依據(jù)上式中的求和項(xiàng)，列出下表

xi1925313844yi1932.34973.397.8Xi(=xi2)36162596114441936Xi2(=xi4)13032139062592352120851363748096∑

157271.453277277699Xiyi(=xi2yi)685920237.547089105845.2189340.8369321.5將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2），得

5a0?5327b?271.4??b?369321.5?5327a0?7277699a?(1)(2)

271.4?7277699?369321.5?53277791878.1??0.97258；

5?7277699?5327?532780115665?369321.5?5327?271.4400859.7b???0.05004；

5?7277699?5327?53278011566即：y?0.97258?0.05004x。

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2.1機(jī)械求積和插值求積

1、（p.94，習(xí)題3）確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度：

(1)?f(x)dx?A0f(?h)?A1f(0)?A2f(h)；

?h1h113(2)?f(x)dx?A0f()?A1f()?A2f()；

042411(3)?f(x)dx?f(0)?A0f(x0)。

04（1）令f(x)?1,x,x2時等式確切成立，可列出如下方程組：

?(1)?A0?A1?A2?2h?(2)??A0?A2?0?2A?A?h(3)2?03?hh4h解得：A0?A2?,A1?h，即：?f(x)dx?[f(?h)?4f(0)?f(h)]，可以

?h333驗(yàn)證，對f(x)?x3公式亦成立，而對f(x)?x4不成立，故公式（1）具有3次代數(shù)精度。

（2）令f(x)?1,x,x2時等式確切成立，可列出如下方程組：

(1)?A0?A1?A2?1?(2)?A0?2A1?3A2?2?3A?12A?27A?16(3)12?01211113,A1??，即：?f(x)dx?[2f()?f()?2f()]，可以

0333424驗(yàn)證，對f(x)?x3公式亦成立，而對f(x)?x4不成立，故公式（2）具有3次代數(shù)精度。

解得：A0?A2?3?A??04（3）令f(x)?1,x時等式確切成立，可解得：?

2?x0?3?11322即：?f(x)dx?f(0)?f()，可以驗(yàn)證，對f(x)?x公式亦成立，而對

0443f(x)?x3不成立，故公式（3）具有2次代數(shù)精度。

1132、（p.95，習(xí)題6）給定求積節(jié)點(diǎn)x0?,x1?,試構(gòu)造計(jì)算積分I??f(x)dx的插值型

044求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度。

依題意，先求插值求積系數(shù)：

311x?x11314?dx??2?(x2?x)?1；A0???dx??0x?x013240201?44x?.整理提供

111x?x111204?dx?2?(x?x)?1；A1???dx??0x?x031240210?44x?插值求積公式：

1?

0f(x)dx??Akf(xk)?k?0n1113f()?f()2424①當(dāng)f(x)?1，左邊=

?10111f(x)dx?1；右邊=?1??1?1；左=右；

221f(x)dx?x221

②當(dāng)f(x)?x，左邊=

?0?0111131；右邊=????；左=右；224242

③當(dāng)f(x)?x2，左邊=

?101119511???；右邊=?左≠右；f(x)dx?x3?；

216216163031故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。

2.2梯形公式和Simpson公式

1、（p.95，習(xí)題9）設(shè)已給出f(x)?1?e?xsin4x的數(shù)據(jù)表，

xf(x)0.001.000000.251.6553410.501.551520.751.066661.000.72159分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分I?（1）用復(fù)化梯形法：

?0f(x)?dx的近似值。

b?a1??0.25n4n?1n?1hhT5??[f(xk)?f(xk?1)]?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]2k?02k?10.25T5??{f(0.00)?2?[f(0.25)?f(0.50)?f(0.75)]?f(1.00)}

2T5?0.125?[1.00000?2?(1.65534?1.55152?1.06666)?0.72159]a?0,b?1,n?5,h?T5?1.28358

（2）用復(fù)化辛普生法：

a?0,b?1,n?2,h?n?1b?a1??0.5n2n?1n?1hhS2??[f(xk)?4f(x1)?f(xk?1)]?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]k?k?6k?06k?0k?1220.5?{f(0.00)?4?[f(0.25)?f(0.75)]?2?f(0.50)?f(1.00)}61S2??[1.00000?10.888?3.10304?0.72159]?1.3093912S2?.整理提供

2、（p.95，習(xí)題10）設(shè)用復(fù)化梯形法計(jì)算積分I?1x?10?5，，為使截?cái)嗾`差不超過edx?021問應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間為多少等分？假使改用復(fù)化辛普生法呢？

（1）用復(fù)化梯形法，a?0,b?1,f(x)?f'(x)?f''(x)?ex，設(shè)需劃分n等分，則其截?cái)嗾`差表達(dá)式為：

(b?a)3(1?0)3|RT|?|I?Tn|?maxf''(?)?e；2312n12n依題意，要求|RT|?1?10?5，即2e1e?105?52??10?n??212.849，可取n?213。22612n（2）用復(fù)化辛普生法，a?0,b?1,f(x)?f'(x)?f''''(x)?ex，截?cái)嗾`差表達(dá)式為：

(b?a)5(1?0)5e；|RS|?|I?Sn|?maxf''''(?)?e?444180(2n)2880n2880n依題意，要求|RS|?1?10?5，即2e1e?105?54??10?n??3.70666，可取n?4，劃分8等分。

14402880n42

2.3數(shù)值微分

1、（p.96，習(xí)題24）導(dǎo)出三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)的余項(xiàng)表達(dá)式

1[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]2h1f'(x1)?[?f(x0)?f(x2)]2h1f'(x2)?[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]2hf'(x0)?(51)(52)(53)

假使只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項(xiàng)表達(dá)式為

f(n?1)(?k)nR(xk)?f'(xk)?p'(xk)???(xk?xj)

(n?1)!j?0j?k由三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)可知，n?2,h?x1?x0?x2?x1，則

f(2?1)(?0)2f'''(?0)f'''(?0)2R(x0)???(x0?xj)?(x0?x1)(x0?x2)?h

(2?1)!3!3j?1

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f'''(?0)2f(2?1)(?1)2f'''(?1)R(x1)???(x1?xj)?(x1?x0)(x1?x2)??h

(2?1)!3!6j?0j?1

f(2?1)(?2)2f'''(?2)f'''(?2)2R(x2)???(x2?xj)?(x2?x0)(x2?x1)??h

(2?1)!3!3j?0j?22、（p.96，習(xí)題25）設(shè)已給出f(x)?xf(x)1的數(shù)據(jù)表，2(1?x)1.10.22681.20.20661.00.2500試用三點(diǎn)公式計(jì)算f'(1.0),f'(1.1),f'(1.2)的值，并估計(jì)誤差。

已知x0?1.0,x1?1.1,x2?1.2,h?x1?x0?x2?x1?0.1，用三點(diǎn)公式計(jì)算微商：

11[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]?[?3?0.2500?4?0.2268?0.2066]??0.24702h2?0.111f'(1.1)?[?f(1.0)?f(1.2)]?[?0.2500?0.2066]??0.21702h2?0.111f'(1.2)?[f(1.0)?4f(1.1)?3f(1.2)]?[0.2500?4?0.2268?3?0.2066]??0.18702h2?0.11?26?24，f(x)?;?f'(x)?;?f''(x)?;?f'''(x)?2345(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)f'(1.0)?用余項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算誤差

R(1.1)??f'''(?0)2?24?0.12R(1.0)?h???0.002533(1?1.0)5f'''(?1)224?0.123!h?3!(1?1.0)5?0.00125f'''(?2)2?24?0.12R(1.2)?h???0.04967533(1?1.1)3、（p.96，習(xí)題26）設(shè)f(x)?sinx，分別取步長h?0.1,0.01,0.001，用中點(diǎn)公式（52）計(jì)算f'(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)保存小數(shù)點(diǎn)后第6位。中心差商公式：f'(a)?f(a?h)?f(a?h)f'''(a)2h。可，截?cái)嗾`差：R(h)?2h3!見步長h越小，截?cái)嗾`差亦越小。

(1)h?0.1,x0?0.8?h?0.7,x2?0.8?h?0.9,則

11[sin(0.9)?sin(0.7)]?[0.783327?0.644218]?0.695545；2h2?0.1(2)h?0.01,x0?0.8?h?0.79,x2?0.8?h?0.81,則

11f'(0.8)?[sin(0.81)?sin(0.79)]?[0.724287?0.710353]?0.6967

2h2?0.01(3)h?0.001,x0?0.8?h?0.799,x2?0.8?h?0.801,則

f'(0.8)?.整理提供

f'(0.8)?11[sin(0.801)?sin(0.799)]?[0.718052?0.716659]?0.69652h2?0.01?，可見當(dāng)h?0.01時得到的誤差最小。在而確切值f'(0.8)?cos(0.8)?0.6967067h?0.001時反而誤差增大的原因是f(0.8?h)與f(0.8?h)很接近，直接相減會造成有效

數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看，步長不宜太小。

3.1Euler格式

1、（p.124，題1）列出求解以下初值問題的歐拉格式

(1)y'?x2?y2(0?x?0.4)，y(0)?1，取h?0.2；

y?y?(2)y'????x?x?

2(1?x?1.2)，y(0)?1，取h?0.2；

2222（1）yn?1?yn?hy'n?yn?h(xn?yn)?yn?0.2?(xn?yn)；

（2）yn?122ynynyny?yn?h(2?)?yn?0.2?(2?n)。

xnxnxnxn2、（p.124，題2）取h?0.2，用歐拉方法求解初值問題y'??y?xy2(0?x?0.6)，

y(0)?1。

22歐拉格式：yn?1?yn?hy'n?yn?h(?yn?xnyn)?yn?0.2?(?yn?xnyn)；化2簡后，yn?1?0.8yn?0.2xnyn，計(jì)算結(jié)果見下表。

nxnyn00.01.010.20.820.40.614430.60.46133、（p.124，題3）取h?0.1，用歐拉方法求解初值問題y'?1?2y2(0?x?4)，21?xy(0)?0。并與確切解y?2x1比較計(jì)算結(jié)果。

1?x2歐拉格式：yn?1?yn?hy'n?yn?h(1122?2y)?y?0.2?(?2yn)；nn221?xn1?xn化簡后，yn?1?yn?0.4yn?20.2，計(jì)算結(jié)果見下表。21?xn1、（p.124，題7）用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計(jì)算結(jié)果。

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由于y'?f(x,y)??y?xy2(0?x?0.6)，h?0.2，且y(0)?1，則改進(jìn)的歐拉公式：

?22?yp?yn?hf(xn,yn)?yn?h(?yn?xnyn)?0.8yn?0.2xnyn?22?yc?yn?hf(xn,yp)?yn?h(?yp?xnyp)?yn?0.2?(yp?xnyp)。?(yp?yc)?yn?1?2?計(jì)算結(jié)果見下表。

nxnypycyn與原結(jié)果比較見下表00.01.00.760.8800.01.00.8810.20.67300.70920.69191120.40.51470.55640.535620.40.6