矩陣分析在通信領(lǐng)域的應(yīng)用

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重慶郵電大學(xué)矩陣分析小論文

學(xué)院名稱：學(xué)生姓名：專業(yè)：學(xué)號：教師：

通信與信息工程學(xué)院胡曉玲

信息與通信工程專業(yè)S160101047安世全

時間：2023年12月

矩陣在MIMO信道和保密通信上的應(yīng)用

矩陣廣泛應(yīng)用于通信的各個環(huán)節(jié)，例如：奇異矩陣，酉矩陣等MIMO上的應(yīng)用；可逆矩陣在保密通信上的應(yīng)用；生成矩陣，監(jiān)視矩陣在信道編碼上的應(yīng)用；Toeplitz和Hankel矩陣在通信信號處理中的應(yīng)用等。本文主要探討矩陣在MIMO信道和保密通信上的應(yīng)用。

一、矩陣應(yīng)用于MIMO信道

我們知道MIMO信道在不增加頻譜資源和天線發(fā)射功率的狀況下能顯著提升系統(tǒng)容量，同時提高信道的可靠性，降低誤碼率。是4G和未來5G中的一個十分重要的技術(shù)，因此對MIMO的信道進(jìn)行建模研究具有巨大的指導(dǎo)意義。本文首先建立了MIMO信道模型，利用矩陣?yán)碚摰贸鯩IMO信道簡化模型，再結(jié)合信息論計算出信道容量，并得出結(jié)論。

首先建立一個MIMO信道模型，發(fā)射端通過空時映射將要發(fā)送的信號映射到多根天線上發(fā)送出去，接收端將各根天線接收到的信號進(jìn)行空時譯碼從而恢復(fù)出發(fā)射端發(fā)送的數(shù)據(jù)信號。

信宿當(dāng)發(fā)送信號所占用的帶寬足夠小的時候，信道可以被認(rèn)為是平坦的，這樣，MIMO系統(tǒng)的信道用一個n*m?的復(fù)數(shù)矩陣H描述。H的子元素

aij表示從第

xi(i=1,2,…n)根發(fā)射天線到第yj(j=1,2,.m)根接收天線之間的空間信道衰落系數(shù)。

??11?21??n1????????22n2?H??12???????????1m?2m??nm?發(fā)送信號可以用一個n*1的列向量X=(x1,x2….xn)表示，其中xi表示在第i個

天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。用一個m*1的列向量Y=(y1,y2…ym)表示，其中yi表示在第i個天線上接收的數(shù)據(jù)。信道中的噪聲為高斯白噪聲n。通過這樣一個模型，在t時刻接收信號可以表示為：

yt?Hxt?ntH

發(fā)送信號的協(xié)方差：Rxx=E[XX]

發(fā)送信號的功率：P=tr(Rxx)噪聲的協(xié)方差：Rnn=E[nn]接收信號的協(xié)方差：

H

由于x與噪聲n不相關(guān)，所以

MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)

下面根據(jù)信息論知識，我們對MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)。在下面的推導(dǎo)過程中我們假設(shè)信道矩陣H在接收端已經(jīng)完全已知，但是它是隨機(jī)的，因此我們可以得到瞬時信道容量為：

Ixy是在已知信道H的狀況下輸入x與輸出y之間的互信息量有：

Hy是y的信息熵（微分熵），由于發(fā)送信號與噪聲之間是獨立的，因此有

所以上式可以重新寫為：

由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以Hn為定值，當(dāng)信道為加性高斯信道時，信源x聽從高斯分布時此時接收信號y也聽從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時(,)Ixy取最大，即為信道容量。此時y和n的信息熵分別為：

所以我們可以得到信道瞬時交互信Ixy，也即信息容量為：

工程中一般定義信道容量為單位時間內(nèi)的平均互信息，故定義MIMO的信道容量：

其中T為一個符號周期，根據(jù)采樣定理，(1/T)>=2B?，其中B為信號帶寬，取(1/T)=2B?，代入得：

這即是MIMO的信道容量一般公式。

信道是極其繁雜的。因此原始的信道矩陣也就顯得繁雜，不便于分析，而且一般矩陣不經(jīng)過處理計算行列式很困難。這就自然想到在信源端對發(fā)射信號做某種預(yù)處理，使得經(jīng)過預(yù)處理的信號經(jīng)過的信道變得簡單易分析，而且具體實現(xiàn)也變得簡單。對于信道矩陣來說，對角矩陣是最簡單的，所以自然就想到把信道矩陣分解，利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸饪梢赃_(dá)到這種目的。下面就矩陣的奇異值分解來計算MIMO的信道容量。奇異值分解信道矩陣為：H=UDV

D是n*m的對角陣，其對角非零元素模值為H的正奇異值，U、V分別為n*n和m*m的酉矩陣，則接收信號可表示為：

H

yt=UDVHxt+nt

兩邊同時左乘酉矩陣UH,則

yt??Dxt??nt?

若矩陣H的非零特征值的個數(shù)為r個，每個子信道的增益等于矩陣H的一個奇異值。用λi表示矩陣H的奇異值，將????代入公式可得：

接收元素yi(i=r+1…m)并不依靠于發(fā)射信號，即信道增益為零。另一方面,接收元素yi(i=1,2...,r)?僅僅取決于發(fā)射元素xi。因此得到的等效MIMO信道是由個去

耦平行子信道組成的,信道可等價為r個不相交的并行子信道，因此MIMO信道模型可簡化為：

利用此簡化模型結(jié)合信息論中信道容量的計算方法得到MIMO信道容量為：

CH令

?r???iP??iP???W?log2?1??Wlog1???2?2?????n?2?n?i?1i?1?????rm*?min?m,n?

???HH,m?nQ?????HH,m?n

在信道衰落為平坦衰落，且接收端可確鑿估計信道衰落的條件下

由該公式可知，MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩r。矩陣的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無線信道的多徑效應(yīng)使相距超過半個波長的天線盡量不相關(guān)，從而使信道矩陣秩越大，進(jìn)而在不增加帶寬和發(fā)射功率的狀況下增加系統(tǒng)容量。

二、矩陣在保密通信中的應(yīng)用

保密通信是信息時代的一個十分重要的課題,基于加密技術(shù)的保密通信模型是最基本的。基于加密技術(shù)的保密通信模型如下：加密模型:

密鑰明文串加密盒密文串解密模型：密文串

密鑰明文串解密盒逆矩陣所傳遞的明文消息進(jìn)行加密(即密文消息)，然后再發(fā)給接收方,而接收方則可以采用相對應(yīng)的某種逆運算將密文消息編譯成明文。若A代表可逆的加密密鑰矩陣，B代說明文，C代表密文，則采用C=BA對信息進(jìn)行加密，在接收端利用B=CA-1對密文進(jìn)行解密。

對于加密密鑰的選擇，可以通過對單位矩陣連續(xù)實施一系列所選擇的初等變換得到加密矩陣。對于解密秘鑰的生成，只需要再次利用生成加密秘鑰時的變換矩陣對初等矩陣作一系列的初等逆變換即可。

通過這次小論文，我發(fā)現(xiàn)矩陣分析在通信的好多方面都有重要應(yīng)用。應(yīng)用矩陣的相關(guān)知識，將