2023高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題

18．(本題滿分16分)如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個等分點(diǎn)A1，A2，A3。點(diǎn)C為上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時點(diǎn)C與點(diǎn)A1，A2，A3，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA1，CA2，CA3的長度相等。設(shè)細(xì)繩的總長為（1）設(shè)∠CA1O=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你設(shè)計(jì)，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時，細(xì)繩總長y最小，并指明此時BC應(yīng)為多長。BBA1A2COA318.（Ⅰ）解：在△COA1中，，，………2分=（）……7分（Ⅱ），令，則………………12分當(dāng)時，；時，，∵在上是增函數(shù)∴當(dāng)角滿足時，y最小，最小為；此時BCm…16分19．由一個小區(qū)歷年市場行情調(diào)查得知，某一種蔬菜在一年12個月內(nèi)每月銷售量（單位：噸）與上市時間（單位：月）的關(guān)系大致如圖（1）所示的折線表示，銷售價格（單位：元／千克）與上市時間（單位：月）的大致關(guān)系如圖（2）所示的拋物線段表示（為頂點(diǎn)）．（1）請分別寫出,關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？（2）圖（1）中由四條線段所在直線圍成的平面區(qū)域?yàn)?，動點(diǎn)在內(nèi)（包括邊界），求的最大值；（3）由（2），將動點(diǎn)所滿足的條件及所求的最大值由加法運(yùn)算類比到乘法運(yùn)算（如類比為），試列出所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值．（圖1）（圖2）19.解(Ⅰ)．（在恒成立，所以函數(shù)在上遞增當(dāng)t=6時，=34.5．∴6月份銷售額最大為34500元．(Ⅱ)，z=x—5y．令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，則，∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由,，∴,則(z)max=11．(Ⅲ)類比到乘法有已知,求的最大值．由=()A·()B．∴,∴，則(z)max=．18．（本題滿分15分）（圖乙）（圖甲）如圖甲，一個正方體魔方由27個單位（長度為1個單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層轉(zhuǎn)動，如圖乙，設(shè)的對邊長為．（圖乙）（圖甲）（1）試用表示；（2）求魔方增加的表面積的最大值．18．命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力．解：（1）由題意得，解得，（6分）（2）魔方增加的表面積為，由（1）得，（10分）令，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立），答：當(dāng)時，魔方增加的表面積最大為．（15分）17．（本題滿分15分）請你為某養(yǎng)路處設(shè)計(jì)一個用于儲藏食鹽的倉庫（供融化高速公路上的積雪之用）．它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m．經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價分別為400元/、100元/，問當(dāng)圓錐的高度為多少時，該倉庫的側(cè)面總造價（單位：元）最少？17．命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力．解：（法一）設(shè)圓錐母線與底面所成角為，且，（2分）則該倉庫的側(cè)面總造價，（8分）由得，即，（13分）經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時，側(cè)面總造價最小，此時圓錐的高度為m．（15分）（法二）設(shè)圓錐的高為m，且，（2分）則該倉庫的側(cè)面總造價，（8分）由得，（13分）經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時，側(cè)面總造價最小，此時圓錐的高度為m．（15分）3.在一個六角形體育館的一角MAN內(nèi)，用長為a的圍欄設(shè)置一個運(yùn)動器材儲存區(qū)域（如圖所示），已知，B是墻角線AM上的一點(diǎn)，C是墻角線AN上的一點(diǎn)．(1)若BC=a=20,求儲存區(qū)域面積的最大值；(2)若AB=AC=10,在折線內(nèi)選一點(diǎn)，使，求四邊形儲存區(qū)域DBAC的最大面積.解：(1)設(shè)由，得.即(2)由，知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，∵，∴要使四邊形DBAC面積最大，只需的面積最大，此時點(diǎn)到的距離最大,即必為橢圓短軸頂點(diǎn)．由，得短半軸長面積的最大值為.因此，四邊形ACDB面積的最大值為．3.某直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2m．(1)過點(diǎn)的一條直線與走廊的外側(cè)兩邊交于兩點(diǎn)，且與走廊的一邊的夾角為，將線段的長度表示為的函數(shù)；(2)一根長度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過該直角走廊？請說明理由（鐵棒的粗細(xì)忽略不計(jì)）．解：(1)根據(jù)圖得(2)鐵棒能水平通過該直角直廊，理由如下：令得，．當(dāng)時，為減函數(shù)；當(dāng)時，為增函數(shù)；所以當(dāng)時，有最小值，因?yàn)椋澡F棒能水平通過該直角走廊．19．（本小題滿分16分）如圖一塊長方形區(qū)域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在邊AD的中點(diǎn)O處，有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角∠EOF始終為，設(shè)∠AOE＝α，探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S． （1）當(dāng)0≤α＜時，寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)0≤α≤時，求S的最大值．GFEDCBAO（第19題）（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略O(shè)E在OAGFEDCBAO（第19題）HGFEHGFEDCBAO圖①①當(dāng)0≤α≤時，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖①），此時，AE＝，F(xiàn)H＝，…2分∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF＝．…………4分②當(dāng)＜α＜時，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②），HOABCDEHOABCDEFG圖②∴EF＝．∴S＝S△OEF＝．綜上所述，…………8分（2）當(dāng)0≤α≤時，S＝，即S．………………10分∵0≤α≤，∴0≤≤1．即1≤1＋≤2．∴≥2．∴S≤2－．當(dāng)＝－1時，S取得最大值為2－．………………12分（3）在“一個來回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×＝．其中點(diǎn)G被照到時，共轉(zhuǎn)了2×＝． ………………14分則“一個來回”中，點(diǎn)G被照到的時間為（分鐘）．……16分17．（本小題滿分14分）第十八屆省運(yùn)會將于2023年9月在徐州市舉辦．為營造優(yōu)美的環(huán)境，舉辦方?jīng)Q定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉．如圖，該花壇的邊界是兩個半徑為10米的圓弧圍成，兩圓心、之間的距離為米．（1）如圖甲，在花壇中建矩形噴泉，四個頂點(diǎn)，，，均在圓弧上，于點(diǎn)．設(shè)，求矩形的寬為多少時，可使噴泉的面積最大；（2）如圖乙，在花壇中間鋪設(shè)一條寬為2米的觀賞長廊以作休閑之用，則矩形噴泉變?yōu)閮蓚€全等的等腰三角形，其中，米．若，求噴泉的面積的取值范圍．θOθO1O2MBACD觀賞長廊N（第17題圖乙）MBACDθO1（第17題圖甲）O2、17．（1）在直角中，，，則，所以矩形的面積，………4分令，，則，令，得．設(shè)，且，列表如下：0↗極大值↘所以當(dāng)，即時，矩形的面積最大．………………10分（2）由（1）易得，噴泉的面積，由知，，所以函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以．………………13分答：（1）矩形的寬（米）時，可使噴泉的面積最大；（2）噴泉的面積的取值范圍是（單位：平方米）．……14分（本小題滿分14分）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米．現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．（第17題）（1）若圍墻AP，AQ總長為200米，如何圍可使三角形地塊APQ的面積最大？（第17題）（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最??？17．解設(shè)米，米．（1）則，的面積．…………3分∴S．當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”．…………6分（注：不寫“＝”成立條件扣1分）（2）由題意得，即．…8分要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以（）………11分當(dāng)時，有最小值，此時．…………13分答：（1）當(dāng)米時，三角形地塊APQ的面積最大為平方米；（2）當(dāng)米米時，可使竹籬笆用料最省．………14分18．(本小題滿分14分)因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建議,現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達(dá)幾天?（2）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).18．解：（1）因?yàn)?所以…………………1分則當(dāng)時,由,解得,所以此時……3分當(dāng)時,由,解得,所以此時………5分綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達(dá)8天…………6分（2）當(dāng)時,……………9分==,因?yàn)?而,所以,故當(dāng)且僅當(dāng)時,y有最小值為………12分令,解得,所以的最小值為………………14分17．（本小題滿分14分）已知A、B兩地相距，以AB為直徑作一個半圓，在半圓上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，在三角形ABC內(nèi)種草坪（如圖），M、N分別為弧AC、弧BC的中點(diǎn)，在三角形AMC、三角形BNC上種花，其余是空地．設(shè)花壇的面積為，草坪的面積為，?。眉癛表示和；求的最小值．17．（1）因?yàn)?，則，則．………3分設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連MO、NO，則．易得三角形AMC的面積為，三角形BNC的面積為，∴+．（2）∵，令，則．∴．∴的最小值為．17.（本小題滿分14分）據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為．現(xiàn)已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(shè)（）．（1）試將表示為的函數(shù)；（2）若，且時，取得最小值，試求的值．17．解：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為，點(diǎn)C受B污染源污染程度為，其中為比例系數(shù)，且．……………………4分從而點(diǎn)C處受污染程度．…………6分（2）因?yàn)?，所以，，…………?分，令，得，……………12分又此時，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．所以，污染源B的污染強(qiáng)度的值為8．……………14分19.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁和外壁都是半徑為的四分之一圓弧，，分別與圓弧相切于，兩點(diǎn)，∥，∥，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是．（1）若水平放置的木棒的兩個端點(diǎn)分別在外壁和上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)．設(shè)，試用表示木棒的長度；NMNMABCDEFGHPQ1m1m19.(1)如圖，設(shè)圓弧所在的圓的圓心為，過點(diǎn)作垂線，垂足為點(diǎn)，且交或其延長線與于，并連接，再過點(diǎn)作的垂線，垂足為．在 中，因?yàn)椋?，NMABNMABCDEFGHPS1m1mTQW因?yàn)榕c圓弧切于點(diǎn)，所以，在，因?yàn)?，，所以，，①若在線段上，則在 中，，因此②若在線段的延長線上，則在 中，，因此．………8分（2）設(shè)，則，因此．因?yàn)椋?，所以恒成立，因此函?shù)在是減函數(shù)，所以，即．答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為．17．(本小題滿分14分)某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M、N，切曲線于點(diǎn)P，設(shè)．（1）將（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；（2）若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．17．解：（Ⅰ），直線的斜率為，直線的方程為令得令,得,的面積,（Ⅱ）,因?yàn)?由,得,當(dāng)時,,當(dāng)時,.已知在處,,故有，故當(dāng)時,17．（本小題滿分14分）在綜合實(shí)踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設(shè)計(jì)了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長為6分米的材料彎折而成，BC邊的長為分米（）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式為），此時記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為；曲線是一段拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，此時記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為（1）試分別求函數(shù)、的表達(dá)式（2）要使得點(diǎn)O到BC邊的距離最大，應(yīng)選用哪一種曲線？此時最大值是多少？解：（1）……………6分（2）由于恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，………10分而，………12分所以選用………14分17．（本小題滿分15分）某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個水平放置的直四棱柱形儲水窖（如圖），其中直四棱柱的高，兩底面是高為，面積為的等腰梯形，且。若儲水窖頂蓋每平方米的造價為元，側(cè)面每平方米的造價為元，底部每平方米的造價為元。（1）試將儲水窖的造價表示為的函數(shù)；（2）該農(nóng)戶如何設(shè)計(jì)儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低，最低造價是多少元（?。?7．【解析】（1）過作，垂足為，則，，令，從而，故，解得，，4分所以7分（2）因?yàn)椋?0分令，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增。所以當(dāng)時，。答：當(dāng)時，等價最低，最低造價為51840元。15分18.如圖，矩形ABCD是一個觀光區(qū)的平面示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)O，B，D分別在x軸，y軸上，AD＝3百米，AB＝a百米（3≤a≤4）觀光區(qū)中間葉形陰影部分MN是一個人工湖，它的左下方邊緣曲線是函數(shù)≤2）的圖象的一段．為了便于游客觀光，擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路（寬度不計(jì)），要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切（切點(diǎn)記為P），并把該觀光區(qū)分為兩部分，且直線左下部分建設(shè)為花圃．設(shè)點(diǎn)P到AD的距離為t，f（t）表示花圃的面積． （1）求花圃面積f（t）的表達(dá)式； （2）求f（t）的最小值．第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F18．某地擬模仿圖甲建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案側(cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分，其中（，單位：米）；曲線是拋物線第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F（1）若要求米，米，求與的值；（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；（3）若，求的最大值.（參考公式：若，則）解：（1）因?yàn)?，解?……………2分此時圓，令，得，所以，將點(diǎn)代入中，解得.…………4分（2）因?yàn)閳A的半徑為，所以，在中令，得，則由題意知對恒成立，…………8分所以恒成立，而當(dāng)，即時，取最小值10，故，解得.…………10分（3）當(dāng)時，，又圓的方程為，令，得，所以，從而，…………12分又因?yàn)?，令，得，………?4分當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，取最大值為25.答：當(dāng)米時，的最大值為25米.…………16分（說明：本題還可以運(yùn)用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分）方法二：令，則，其中是銳角，且，從而當(dāng)時，取得最大值為25米.方法三：令，則題意相當(dāng)于：已知，求的最大值.根據(jù)線性規(guī)劃知識，當(dāng)直線與圓弧相切時，取得最大值為25米.19.某園林公司計(jì)劃在一塊為圓心,(為常數(shù))為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.(1)設(shè),,分別用,表示弓形的面積;(2)園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大?(參考公式:扇形面積公式)觀賞樣板地觀賞樣板地花木地花木地草皮地草皮地草皮地草皮地19.（1），,.又，,.(2)設(shè)總利潤為元，草皮利潤為元，花木地利潤為，觀賞樣板地成本為，，,..設(shè).,…………12分上為減函數(shù)；上為增函數(shù).當(dāng)時，取到最小值,此時總利潤最大.所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時，總利潤最大.18．（本小題滿分16分）如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動場地．（1）如圖甲，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積；（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積．（第（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙）解：（1）如右圖，過S作SH⊥RT于H，S△RST=．由題意，△RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離；RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，則有RT≤4，SH≤2，當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立．此時，場地面積的最大值為S△RST==4（km2）．（2）同（1）的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設(shè)∠BPA=，則有．令，則．若，，又時，，時，，函數(shù)在處取到極大值也是最大值，故時，場地面積取得最大值為（km2）．19．（本小題滿分16分）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)打印店，生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品．已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出元．假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量（件）與銷售價格（元/件）（）之間滿足如下關(guān)系：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．設(shè)該店月利潤為（元），月利潤=月銷售總額－月總成本．（1）求關(guān)于銷售價格的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該打印店月利潤的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格．19．解：（1）當(dāng)時，，代入，解得．………………2分∴即……………4分（注：寫到上一步，不扣分．）（2）設(shè)，，，則．令，解得（舍去），．……………7分當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．…………………10分∵，，，∴的最大值為．………12分當(dāng)時，單調(diào)遞減，故此時的最大值為．…………………14分綜上所述，當(dāng)時，月利潤有最大值元．……15分答：該打印店店月利潤最大為元，此時產(chǎn)品的銷售價格為元/件．……16分19．（本小題滿分16分）如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點(diǎn)H。設(shè)弧AD的長為，（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時，招貼畫最優(yōu)美。證明：當(dāng)角滿足：時，招貼畫最優(yōu)美18.（本小題滿分16分）一位幼兒園老師給班上個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友;…,以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第個小朋友．如果設(shè)分給第個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為.當(dāng),時,分別求;請用表示;令,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（3）是否存在正整數(shù)和非負(fù)整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,如果存在,請求出所有的和,如果不存在,請說明理由.解：（1）當(dāng),時,,,.……3分由題意知：,……6分即,,……7分累加得,……9分又,.……10分由，得,……12分若存在正整數(shù)和非負(fù)整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,則,……14分即,……15分當(dāng)時，，對任意正整數(shù),有成等差數(shù)列.……16分[注:如果驗(yàn)證不能成等差數(shù)列,不扣分]【說明】本題主要考查數(shù)列的定義、通項(xiàng)求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力．本題還可以設(shè)計(jì)：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求的最小值.17（本題滿分16分，第1小題8分，第2小題8分）θ（第17題）DABClTx如圖，某機(jī)場建在一個海灣的半島上，飛機(jī)跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點(diǎn)B到海岸線的距離BC＝4eq\r(3)km．D為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn)，設(shè)CD＝x(km)，點(diǎn)Dθ（第17題）DABClTx（1）將tan表示為x的函數(shù)；（2）求點(diǎn)D的位置，使取得最大值．17、（本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分）解：（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．DBCEFADBCEFA圖1圖2由題知，AB＝4.5，BC＝4eq\r(3)，∠ABFDBCEFADBCEFA圖1圖2所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝eq\f(9,4)，BF＝4.5×cos30o＝eq\f(9,4)eq\r(3)，AE＝CF＝BC＋BF＝eq\f(25,4)eq\r(3)．因?yàn)镃D＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(4eq\r(3),x)．當(dāng)x＞eq\f(9,4)時，ED＝x－eq\f(9,4)，tan∠ADC＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(eq\f(25,4)eq\r(3),x－eq\f(9,4))＝eq\f(25eq\r(3),4x－9)（如圖1）；當(dāng)0＜x＜eq\f(9,4)時，ED＝eq\f(9,4)－x，tan∠ADC＝－eq\f(AE,ED)＝eq\f(25eq\r(3),4x－9)（如圖2）．…4分所以tan＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝eq\f(tan∠ADC－tan∠BDC,1＋tan∠ADC·tan∠BDC)＝eq\f(eq\f(25eq\r(3),4x－9)－eq\f(4eq\r(3),x),1＋eq\f(25eq\r(3),4x－9)·eq\f(4eq\r(3),x))＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)，其中x＞0且x≠eq\f(9,4)．當(dāng)x＝eq\f(9,4)時tan＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(9eq\r(3),48)，符合上式．所以tan＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)(x＞0)………8分（2）（方法一）tan＝＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9eq\r(3),4(x＋4)＋\f(400,x＋4)－41)，x＞0．……………11分因?yàn)?(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41≥2eq\r(4(x＋4)·eq\f(400,x＋4))－41＝39，當(dāng)且僅當(dāng)4(x＋4)＝eq\f(400,x＋4)，即x＝6時取等號．所以當(dāng)x＝6時，4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41取最小值39．所以當(dāng)x＝6時，tan取最大值eq\f(3eq\r(3),13)．…………………13分由于y＝tanx在區(qū)間(0，eq\f(π,2)）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時，取最大值．答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大．…14分（方法二）tan＝f(x)＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),4x2－9x＋300)．f(x)＝eq\f(9eq\r(3)[(4x2－9x＋300)－(x＋4)(8x－9)],(4x2－9x＋300)2)＝－eq\f(36eq\r(3)(x＋14)(x－6),(4x2－9x＋300)2)，x＞0．由f(x)＝0得x＝6．……………………11分當(dāng)x∈（0，6）時，f(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（6，＋∞）時，f(x)＜0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．所以函數(shù)f(x)在x＝6時取得極大值，也是最大值f(6)＝eq\f(3eq\r(3),13)．…13分由于y＝tanx在區(qū)間(0，eq\f(π,2)）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時，取最大值．答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大．…14分17．（本小題滿分14分）提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時．研究表明：當(dāng)50＜x≤200時，車流速度v與車流密度x滿足．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．（1）當(dāng)0<x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到個位，參考數(shù)據(jù)）17．解：(1)由題意：當(dāng)0＜x≤50時，v(x)＝30；當(dāng)50≤x≤200時，由于，再由已知可知，當(dāng)x＝200時，v(0)＝0，代入解得k＝2000.故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為．(2)依題意并由(1)可得，當(dāng)0≤x≤50時，f(x)＝30x，當(dāng)x＝50時取最大值1500.當(dāng)50<x≤200時，取等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時，f(x)取最大值．綜上，當(dāng)車流密度為138輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3056輛/小時．17．（本小題滿分14分）FEbaBDCA第八屆中國花博會將于2023年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，，．a(chǎn)，b為常數(shù)且滿足.組委會決定從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊建游客休息區(qū)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為（），如圖．設(shè)，△的面積為．FEbaBDCA（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值．17．解：（1）設(shè)，則，整理，得．………3分，．…………………4分（2）當(dāng)時，，在遞增，故當(dāng)時，；當(dāng)時，在上，，遞增，在上，，遞減，故當(dāng)時，.17.（本小題滿分15分）如圖,有一塊邊長為(百米)的正方形區(qū)域。在點(diǎn)處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角始終為(其中點(diǎn)，分別在邊，上),設(shè).（1）用表示出的長度,并探求的周長是否為定值；ABPQDC第19題圖（2）問探照燈照射在正方形ABPQDC第19題圖解(1)(2)(當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立)答:探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為平方百米.某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2023年度將進(jìn)行系列促銷活動．經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀(jì)念品的年銷售量萬件與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足與成反比例．若不搞促銷活動，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2023年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元．當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價定為：“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費(fèi)一半”之和時，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等．(利潤=收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)用)（1）求出與所滿足的關(guān)系式；（2）請把該工廠2023年的年利潤萬元表示成促銷費(fèi)萬元的函數(shù)；（3）試問：當(dāng)2023年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？17.解：（1）設(shè)比例系數(shù)為．由題知，有．又時，，所以，．所以與的關(guān)系是．…………4分（2）依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn)萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為萬元，促銷費(fèi)用為萬元，則每件紀(jì)念品的定價為：元／件．于是，，進(jìn)一步化簡，得．因此，工廠2023年的年利潤萬元．…8分（3）由（2）知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以，當(dāng)2023年的促銷費(fèi)用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．18．(本小題滿分16分)某廣告公司為2023年上海世博會設(shè)計(jì)了一種霓虹燈，樣式如圖中實(shí)線部分所示.其上部分是以為直徑的半圓，點(diǎn)為圓心，下部分是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，.現(xiàn)在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節(jié)能燈.若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為，節(jié)能燈的比例系數(shù)為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果”是所有燈“心悅效果”的和.DOABEF第18題2DOABEF第18題2x（2）試確定當(dāng)取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳？18．解：（1）因?yàn)?所以弧EF、AE、BF的長分別為連接OD，則由OD=OE=OF=1，，所以…………6分所以…………………9分（2）因?yàn)橛伞?1分解得，即………………13分又當(dāng)時，，所以此時y在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以此時y在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳…16分17．（本小題滿分14分）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝EQ\F(a,x－3)＋10(x－6)EQ\s\up4(2)，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．（1）求a的值； （2）若該商品的成品為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．17.解：（1）由題設(shè)知x＝5時y＝11，則11＝EQ\F(a,5－3)＋10(5－6)EQ\s\up4(2)，解得a＝2.（2）由（1）知該商品每日的銷售量y＝EQ\F(2,x－3)＋10(x－6)EQ\s\up4(2)，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)＝(x－3)[EQ\F(2,x－3)＋10(x－6)EQ\s\up4(2)]＝2＋10(x－3)(x－6)EQ\s\up4(2)，3＜x＜6.………………6分對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝10[(x－6)EQ\s\up4(2)＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．………………10分當(dāng)3＜x＜4時，f′(x)＞0，當(dāng)4＜x＜6時，f′(x)＜0，于是有函數(shù)f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當(dāng)x＝4時函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42.………………13分答：當(dāng)銷售價格x＝4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.15.（本小題滿分14分）如圖，摩天輪的半徑為50m，點(diǎn)O距地面的高度為60m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.（1）試確定在時刻t（min）時點(diǎn)P距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點(diǎn)P距離地面超過85m?15.（1）解：設(shè)點(diǎn)P離地面的距離為y，則可令y＝Asin(ωt＋φ)＋b.由題設(shè)可知A＝50，b＝60.………………2分又T＝EQ\F(2π,ω)＝3，所以ω＝EQ\F(2π,3)，從而y＝50sin(EQ\F(2π,3)t＋φ)＋60.………………4分再由題設(shè)知t＝0時y＝10，代入y＝50sin(EQ\F(2π,3)t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，從而φ＝－EQ\F(π,2).因此，y＝60－50cosEQ\F(2π,3)t(t≥0).………………8分（2）要使點(diǎn)P距離地面超過85m，則有y＝60－50cosEQ\F(2π,3)t＞85，即cosEQ\F(2π,3)t＜－EQ\F(1,2).于是由三角函數(shù)基本性質(zhì)推得EQ\F(2π,3)＜EQ\F(2π,3)t＜EQ\F(4π,3)，即1＜t＜2.………………12分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面超過85m的時間有1分鐘.18．（本小題滿分15分）輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場地上滑行的運(yùn)動．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)），D為這段拋物線的最高點(diǎn)．現(xiàn)在運(yùn)動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A(0，4)，另一端點(diǎn)C(3，1)，點(diǎn)B(2，0)，單位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的拋物線方程；（Ⅱ）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線，為使運(yùn)動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運(yùn)動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？（注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對值．）18．（本小題滿分15分）解：（1）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為，依題意：…3分解得，，，，∴助跑道所在的拋物線方程為．…7分（2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線為（），依題意：得解得…9分∴，令得，，∵，∴，…11分當(dāng)時，有最大值為，則運(yùn)動員的飛行距離，………………13分飛行過程中距離平臺最大高度，依題意，，得，即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在2米到3米之間．………………15分17．(本小題滿分14分)某公司有價值萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品的附加值．改造需要投入，假設(shè)附加值（萬元）與技術(shù)改造投入（萬元）之間的關(guān)系滿足：①與和的乘積成正比；②當(dāng)時，；③其中常數(shù)．（1）設(shè)，求函數(shù)的解析式與定義域；（2）求出附加值的最大值，并求此時的技術(shù)改造投入．解析：（1）＝，由＝時，＝得＝，＝8，∴＝，又0≤≤，∴0≤≤＝其定義域?yàn)閇0，]．（2）＝＝，令＝0，則＝0或＝當(dāng)∈（0，）時，＞0，當(dāng)∈（，＋∞）時，＜0，在（0，）上單調(diào)增，在（，＋∞）上單調(diào)減，當(dāng)≥，即0＜≤1時，在（0，）上單調(diào)增，故當(dāng)＝時，取極大值＝②當(dāng)＜即1＜≤2時，在（0，）上單調(diào)增，在（，）上單調(diào)減故當(dāng)＝時，取極大值＝由于在給定區(qū)間上只有一個極大點(diǎn)，故此極大值即為所求的最大值．17.（本小題滿分14分）如圖，兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.求的長度；在線段上取一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合），從點(diǎn)看這兩座建筑物的視角分別為問點(diǎn)在何處時，最小？第17題圖第17題圖17．⑴作，垂足為，則，，設(shè)，則…2分，化簡得，解之得，或（舍）答：的長度為．………………6分⑵設(shè)，則，．………8分設(shè)，，令，因?yàn)?，得，?dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值，………12分因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時，取得最小值．答：當(dāng)為時，取得最小值．……………14分17．(本小題滿分14分)圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過測量得知，，當(dāng)為中點(diǎn)時，.（1）求的長；（2）試問在線段的何處時，達(dá)到最大.圖2圖2圖1圖117．(1)設(shè)，，，則，，由題意得，，解得.……6分（2）設(shè)，則，，，…………8分，，即為銳角，令，則，，，………12分當(dāng)且僅當(dāng)即，時，最大.…………14分17．（本小題滿分15分）某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造為億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加；②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少億元，至多億元；③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%，但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%。（1）若，，請你分析能否采用函數(shù)模型y＝作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；（2）若、取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y＝作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請你求出、的取值．17．解：（1）∵，∴函數(shù)y＝是增函數(shù)，滿足條件①。 3分設(shè)，則，令，得。當(dāng)時，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，又，，即，在上是增函數(shù)，∴當(dāng)時，有最小值0.16=16%>15%，當(dāng)時，有最大值0.1665=16.65%<22%,∴能采用函數(shù)模型y＝作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。 9分（2）由(1)知，依題意，當(dāng)，、時，恒成立；下面求的正整數(shù)解。令， 12分由(1)知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又由（1）知，在時，，且=16%∈[15%，22%]，合條件，經(jīng)枚舉，∈[15%，22%]，而[15%，22%]，可得或或，由單調(diào)性知或或均合題意。 15分17.如圖一塊長方形區(qū)域，，，在邊的中點(diǎn)處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角始終為，設(shè)，探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為（1）當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，求的最大值；（3）若探照燈每分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（自轉(zhuǎn)到，再回到，稱“一個來回”，忽略在及處所用的時間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定。設(shè)邊上有一點(diǎn)，且，求點(diǎn)在“一個來回”中被照到的時間。17.（1）當(dāng)時，在上，在上，當(dāng)時，、都在上，……5分（2）當(dāng)時，,當(dāng)時，…………10分（3）在“一個來回”中，共轉(zhuǎn)動了，其中點(diǎn)被照到時，共轉(zhuǎn)動了點(diǎn)被照到的時間為分鐘……14分17.（本小題滿分14分）在一個半徑為1的半球材料中截取三個高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設(shè)三個圓柱體積之和為.（1）求的表達(dá)式，并寫出的取值范圍是；（2）求三個圓柱體積之和V的最大值；17．(1)自下而上三個圓柱的底面半徑分別為：．………………3分它們的高均為，所以體積和6分因?yàn)?，所以的取值范圍是；……?分⑵由得，………………9分又，所以時，；時，．11分所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以時，取最大值，的最大值為．………13分答：三個圓柱體積和的最大值為．…………14分17．（本小題滿分14分）根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量(件)之間近似地滿足關(guān)系式(日產(chǎn)品廢品率eq\f(日廢品量,日產(chǎn)量)×100％)．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額）（1）將該車間日利潤(千元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù)；（2）當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？17．（1）由題意可知，…………4分（2）考慮函數(shù)當(dāng)時，，令，得．當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)減．所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，又是整數(shù)，，，所以當(dāng)時，有最大值．……10分當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)減，所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值．由于，所以當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時，日利潤最大．答：當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時，日利潤最大，最大日利潤是千元．……14分17．已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點(diǎn)的豎直線的右側(cè)．現(xiàn)要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設(shè)計(jì)方案：如圖甲，以為斜邊；如圖乙，直角頂點(diǎn)在線段上，且另一個頂點(diǎn)在上．要使截出的直角三角形的面積最大，應(yīng)該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．17．如圖甲，設(shè)，則，，………………2分所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，………………6分此時點(diǎn)到的距離為，可以保證點(diǎn)在半圓形材料內(nèi)部，因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為．…………………7分AABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E如圖乙，設(shè)，則，，所以，．…………………10分設(shè)，則，當(dāng)時，，所以時，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的面積最大值為．………13分因?yàn)?，所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為．…………14分17．如圖，在海岸線一側(cè)C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設(shè)立了A、B兩個報名點(diǎn)，滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米。公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處（點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)），然后乘同一艘游輪前往C島。據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)2元，游輪每千米耗費(fèi)12元。設(shè)∠，每批游客從各自報名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元。（1）寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時，S最小？17．解:(1)由題在中，．由正弦定理知，得…(2)，令，得當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時取得最小值此時，中轉(zhuǎn)站距處千米時，運(yùn)輸成本最小17．（本小題滿分14分）第17題圖如圖，在城周邊已有兩條公路在點(diǎn)處交匯．已知，,．現(xiàn)規(guī)劃在公路上第17題圖分別選擇兩處為交匯點(diǎn)（異于點(diǎn)）直接修建一條公路通過城，設(shè)，．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；(2)試確定點(diǎn)的位置，使的面積最?。?7．⑴因?yàn)榈拿娣e與的面積之和等于的面積，所以，……………4分即，所以．………………………6分⑵的面積=………8分=．……………12分當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．故當(dāng)，時，的面積最?。?4分18.（本小題滿分16分）如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km，AD為4km.，地塊的一角是濕地(圖中陰影部分)，其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點(diǎn)的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點(diǎn)P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計(jì)).設(shè)點(diǎn)P到邊AD的距離為t(單位:km)，△BEF的面積為S(單位:).（1）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;（2）是否存在點(diǎn)P，使隔離出的△BEF面積S超過3?并說明理由.18．(1)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)邊緣線所在拋物線的方程為，把代入，解得，所以拋物線的方程為．…………3分因?yàn)椋?分所以過的切線方程為．………5分令，得；令，得，…………………7分所以，…………8分所以，定義域?yàn)椋?分(2)，……………12分由，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，…………14分所以在上有最大值．又因?yàn)?，EF（第18題）PO(A)BCDxEF（第18題）PO(A)BCDxy18．(本小題滿分16分)在長為20m，寬為16m米的長方形展廳正中央有一圓盤形展臺（圓心為點(diǎn)C），展廳入口位于長方形的長邊的中間．在展廳一角B點(diǎn)處安裝監(jiān)控攝像頭，使點(diǎn)B與圓C在同一水平面上，且展臺與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(nèi)(如圖陰影所示)．（1）若圓盤半徑為m，求監(jiān)控攝像頭最小水平攝像視角的正切值；（2）若監(jiān)控攝像頭最大水平攝像視角為60°，求圓盤半徑的最大值．16m（第18題）16m（第18題）CB20m入口AE【解】（1）解法一：如圖，過B作圓C的切線BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連結(jié)CA，CE，CB，則，，則攝像水平視角為∠ABE時，水平攝像視角最?。凇髦?，，，，…………2分在△中，，，，…4分所以，所以最小攝像視角的正切值為．……8分解法二：過B作圓C的切線BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連結(jié)CA，CE，CB，則，，16m（第18題）C16m（第18題）CB20m入口E在平面ABC內(nèi)，以B為原點(diǎn)，BA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)直線BE的方程為，由圓C與直線BE相切得，，………4分解得，（其中不合題意，舍去）．答：所以最小攝像視角的正切值為．………………8分（2）解法一：當(dāng)=時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．.在平面ABC內(nèi)，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以直線BE方程為：，……………12分所以，則圓C的最大半徑為m．………16分解法二：設(shè)圓盤的最大半徑為r，當(dāng)=時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．在△中，，，，在△中，，，，………10分由得，，……………12分即，所以，即所以，．……………15分答：圓C的最大半徑為m．…………16分17．（本小題滿分14分）某飛機(jī)失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小島附近．現(xiàn)派出四艘搜救船,，為方便聯(lián)絡(luò)，船始終在以小島O為圓心，100海里為半徑的圓周上，船,構(gòu)成正方形編隊(duì)展開搜索，小島在正方形編隊(duì)外（如圖）．設(shè)小島O到的距離為，，D船到小島O的距離為.（1）請分別求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)兩艘船之間的距離是多少時？搜救范圍最大（即最大）．（第17題圖）（第17題圖）18．（本小題滿分15分）如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30°方向的兩條街道．某公園P位于商業(yè)中心北偏東角（，），且與