江蘇省南京市重點(diǎn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題及答案解析

-2021學(xué)年南京市重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一.選擇題：本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知命題，X2-X+14≤A．，X2-X+14≤0C．，X2-X+14>02．（5分）已知1，，，，16這五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則的值為A．4 B． C． D．不確定3．（5分）某工廠為了對(duì)40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號(hào)為00，01，38，39．現(xiàn)要從中選出5個(gè)，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，則選出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A．36 B．16 C．11 D．144．（5分）已知，是平面，，是直線，且，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．36．（5分）設(shè)和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．7．（5分）若函數(shù)在區(qū)間，上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．8．（5分）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上，（點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），線段的中點(diǎn)為，若平面截該正方體所得的截面為四邊形，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為A．， B．， C．， D．，二.不定項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得3分.9．（5分）在中，已知，且，則A．，，成等差數(shù)列 B． C．若，則 D．，，成等差數(shù)列10．（5分）某顆人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球?yàn)橹行臑橐粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面千米，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，，，則A． B． C． D．11．（5分）已知各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列，，，其前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．若，則 C． D．記，則數(shù)列有最大值12．（5分）下列說(shuō)法正確的是A．過(guò)曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn) B．若曲線在點(diǎn)，處有切線，但不一定存在 C．“函數(shù)”是“函數(shù)在處取得極值”的既不充分也不必要條件 D．若曲線存在平行于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）某科研課題組通過(guò)一款手機(jī)軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡(jiǎn)稱“周跑量”，得到如下的頻數(shù)分布表：周跑量，，，，，，，，，人數(shù)100120130180220150603010周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價(jià)格（單位：元）250040004500根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以上三段，不同類別的跑者購(gòu)買的裝備價(jià)格不一樣．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購(gòu)買裝備，平均需要花費(fèi)元．14．（5分）過(guò)原點(diǎn)向曲線可作三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．（5分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則；若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．16．（5分）若關(guān)于的不等式在是恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四.解答題：本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知命題：“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，命題：“曲線表示雙曲線”．（1）若命題是真命題，求的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．18．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，前3項(xiàng)和為13，且，，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且____，若數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，求的最小值．在如下三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，填入上面橫線處，并根據(jù)題意解決問題．①；②；③．19．（12分）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓弧為此圓弧的中點(diǎn)）和線段構(gòu)成．已知圓的半徑為40米，點(diǎn)到的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求，均在線段上，，均在圓弧上．設(shè)與所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．20．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）（1）已知函數(shù)．若函數(shù)在時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知函數(shù)．試探求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．22．（12分）已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)．（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，分別是，的面積，求的最小值．答案解析一.選擇題：本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知命題，X2-X+14≤A．，X2-X+14≤0C．，X2-X+14>0【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定，即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為特稱命題，則命題的否定為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．2．（5分）已知1，，，，16這五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則的值為A．4 B． C． D．不確定【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得．【解答】解：，，，，16成等比數(shù)列，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）某工廠為了對(duì)40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號(hào)為00，01，……，38，39．現(xiàn)要從中選出5個(gè)，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，則選出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A．36 B．16 C．11 D．14【分析】利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的數(shù)表法定義進(jìn)行判斷即可，【解答】解：利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，即47開始讀取，在編號(hào)范圍內(nèi)的提取出來(lái)即可，則36，33，26，16，11，則選出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是11，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的數(shù)表法定義，比較基礎(chǔ)．4．（5分）已知，是平面，，是直線，且，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理以及推論，從充分性和必要性兩方面作出判斷即可．【解答】解：已知且，，兩平面互相垂直，其中一平面內(nèi)垂直于另一平面的直線，必垂直兩平面的交線，“”是“”的充分條件，兩平面互相垂直，其中一平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，必垂直于另一平面，“”是“”的必要條件，”是“”的充要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理，以及簡(jiǎn)易邏輯，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．3【分析】由題意知，可得，根據(jù)基本不等式即可求出．【解答】解：由題意知，且，是兩個(gè)不同的正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵掌握應(yīng)用基本不等式的基本條件，一正二定三相等，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．【分析】由題意可知：焦點(diǎn)在軸上，由、、是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，整理出：，即可求得雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由題意可知：雙曲線焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)，，由、、是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，，，則雙曲線的漸近線方程是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于中檔題．7．（5分）若函數(shù)在區(qū)間，上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究其最小值取到位置，由于函數(shù)在區(qū)間，上有最小值，故最小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是集合，的元素，由此可以得到關(guān)于參數(shù)的等式，解之求得實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：由題，令解得；令解得或由此得函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)故函數(shù)在處取到極小值，判斷知此極小值必是區(qū)間，上的最小值，解得又當(dāng)時(shí)，（2），故有綜上知，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)中工具的一個(gè)重要運(yùn)用，要注意把握其作題步驟，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，得出最值．8．（5分）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上，（點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），線段的中點(diǎn)為，若平面截該正方體所得的截面為四邊形，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，然后根據(jù)正方體的特征得出，再利用三角形相似得出，求出的范圍即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，則，所以，所以，要使平面截該正方體所得的截面為四邊形，則需要點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，恰好在線段的中點(diǎn)處，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，所以，則，即，所以，即的范圍為，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱柱的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．二.不定項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得3分.9．（5分）在中，已知，且，則A．，，成等差數(shù)列 B． C．若，則 D．，，成等差數(shù)列【分析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理變形即可得到，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，由正弦定理可得，可求，進(jìn)而逐項(xiàng)分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解答】解：將，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，即，，，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，又，即，，由正弦定理可得，，，故錯(cuò)誤，由正弦定理可得，故正確；若，可得，，可得，可得，可得，故正確；若、、成等差數(shù)列，且，，可得，由于，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．10．（5分）某顆人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球?yàn)橹行臑橐粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面千米，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可知：，，從而求出，的值，進(jìn)而求出的值，推出結(jié)果．【解答】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，則由題意可知：，，可得，所以正確；，所以正確；可得，即，故不正確；又．則．則，所以正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的幾何量之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．11．（5分）已知各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列，，，其前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．若，則 C． D．記，則數(shù)列有最大值【分析】直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式判定正確，進(jìn)一步利用數(shù)列的前項(xiàng)和公式的轉(zhuǎn)換的應(yīng)用和函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列，則，對(duì)于選項(xiàng)，故正確．對(duì)于選項(xiàng)，所以，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：若數(shù)列為等比數(shù)列，所以，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)，，由于，所以有最小值，且，所以由最大值，故有最大值，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．12．（5分）下列說(shuō)法正確的是A．過(guò)曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn) B．若曲線在點(diǎn)，處有切線，但不一定存在 C．“函數(shù)”是“函數(shù)在處取得極值”的既不充分也不必要條件 D．若曲線存在平行于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【分析】舉反例，比如與相切于點(diǎn)，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)另外一點(diǎn)，可判斷；考慮切線垂直于軸，可判斷；舉反例，比如在處，但在處無(wú)極值，可判斷；由參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，計(jì)算可判斷．【解答】解：對(duì)于，過(guò)曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，如經(jīng)過(guò)曲線上一點(diǎn)但是不是在該點(diǎn)與曲線相切而是在其他地方相切，比如與相切于點(diǎn)，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)另外一點(diǎn)，我們就可以說(shuō)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，但切點(diǎn)是而不是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，如曲線在某點(diǎn)處的切線垂直于軸，此時(shí)不存在，但曲線在點(diǎn)，處有切線，故正確；對(duì)于，“函數(shù)”不能得到“函數(shù)在處取得極值”，比如在處，但在處無(wú)極值，但由極值的定義可得“函數(shù)在處取得極值”可以得到“函數(shù)”，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若曲線存在平行于軸的切線，由，可得有正數(shù)解，即有，由，可得，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）某科研課題組通過(guò)一款手機(jī)軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡(jiǎn)稱“周跑量”，得到如下的頻數(shù)分布表：周跑量，，，，，，，，，人數(shù)100120130180220150603010周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價(jià)格（單位：元）250040004500根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以上三段，不同類別的跑者購(gòu)買的裝備價(jià)格不一樣．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購(gòu)買裝備，平均需要花費(fèi)3720元．【分析】分別求出休閑跑者、核心跑者、精英跑者的人數(shù)，然后利用平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可．【解答】解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，休閑跑者共有人，核心跑者共有人，精英跑者共有人，所以估計(jì)該市每位跑步愛好者購(gòu)買裝備，平均需要花費(fèi)為：元．故答案為：3720．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)的計(jì)算公式，考查了化簡(jiǎn)運(yùn)算能力與數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）過(guò)原點(diǎn)向曲線可作三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把設(shè)出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出切線方程的斜率，由切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線方程，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入得到一個(gè)方程，設(shè)方程左邊的函數(shù)為，求出導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的值，利用的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到的極大值和極小值，令極大值大于0，極小值小于0列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的的取值范圍．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，而切線的斜率，所以切線方程為：，把原點(diǎn)代入得：，所以過(guò)原點(diǎn)向曲線可作三條切線，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，所以令，解得或，則，，的變化如下圖：，000極大值極小值根據(jù)圖形可知：，，根據(jù)題意，即，解得：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．15．（5分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，；若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【分析】由數(shù)列的遞推式：時(shí)，，時(shí)，，可得所求通項(xiàng)公式；由，結(jié)合數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【解答】解：的前項(xiàng)和為，可得時(shí)，，時(shí)，，上式對(duì)也成立，所以，；，則．故答案為：，；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（5分）若關(guān)于的不等式在是恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【分析】令，，求導(dǎo)得，分，兩種情況討論的取值范圍．【解答】解：令，，，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞增，所以，若不等式在是恒成立，則，令，則，即，所以，設(shè)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)的取值范圍，解題中注意分類討論，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．四.解答題：本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知命題：“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，命題：“曲線表示雙曲線”．（1）若命題是真命題，求的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．【分析】（1）利用圓錐曲線的性質(zhì)求出的范圍；（2）若為真，則，即，由是的必要不充分條件，得到，或即可求出的取值范圍．【解答】解：（1）若為真：則，解得，或；（2）若為真，則，即，是的必要不充分條件，則，或即或解得或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假及充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，前3項(xiàng)和為13，且，，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且____，若數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，求的最小值．在如下三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，填入上面橫線處，并根據(jù)題意解決問題．①；②；③．【分析】（1）由題意列式求解及公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（2）選①，運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，再由等比數(shù)列的求和公式，可得所求最小值；選②，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得，再由數(shù)列的單調(diào)性可得所求最小值；選③，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，結(jié)合為奇數(shù)和偶數(shù)，可得所求最小值．【解答】解：由題意得，可得，，設(shè)遞增的等比數(shù)列數(shù)列的公比為，得，解得或（舍，則；（2）選①，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減可得，則，可得為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則；，可得，由為遞增數(shù)列，可得時(shí)，取得最小值1；選②，可得為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，，則，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得，由為遞增數(shù)列，可得時(shí)，取得最小值1；選③，可得為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則；，可得，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可得時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（12分）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓弧為此圓弧的中點(diǎn)）和線段構(gòu)成．已知圓的半徑為40米，點(diǎn)到的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求，均在線段上，，均在圓弧上．設(shè)與所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．【分析】（1）根據(jù)圖形計(jì)算矩形和的面積，求出的取值范圍；（2）根據(jù)題意求出年總產(chǎn)值的解析式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可得出為何值時(shí)年總產(chǎn)值最大．【解答】解：（1），，當(dāng)、重合時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)、重合時(shí)，最大，此時(shí)，的取值范圍是，；（2）設(shè)年總產(chǎn)值為，甲種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為，乙種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為，則，其中，；設(shè)，則；令，解得，此時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，取得最大值，即總產(chǎn)值最大．，，，；答：時(shí)總產(chǎn)值最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，是中檔題．20．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量的數(shù)量積等于0，即可證明；（Ⅱ）先平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式，求出二面角的正弦值；（Ⅱ）求出，值，即可求出直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，（Ⅰ）證明：依題意，，1，，，，，，；（Ⅱ）依題意，，0，是平面的一個(gè)法向量，，2，，，0，，設(shè)，，為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，則，，，，，，，二面角的正弦值；（Ⅲ）依題意，，2，，由（Ⅱ）知，，，為平面的一個(gè)法向量，，，直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量在幾何中的應(yīng)用，線線平行和二面角和線面角的求法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．21．（12分）（1）已知