XX電子科技大學(xué)電磁場(chǎng)大作業(yè)

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電磁場(chǎng)與電磁波大作業(yè)

學(xué)院：電子工程學(xué)院班級(jí)：021231指導(dǎo)老師：侯建強(qiáng)組長(zhǎng)：

組員：

基于MATLAB的電磁場(chǎng)數(shù)值分析

摘要使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電磁場(chǎng)數(shù)值分析已成為電磁場(chǎng)的工程開發(fā)、科研和教學(xué)的重要手段。本文介紹了電磁場(chǎng)數(shù)值分析的基本理論，并且基于MATLABPDE工具箱實(shí)現(xiàn)了的靜態(tài)場(chǎng)的邊值型問題的求解。試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，MATLAB使電磁場(chǎng)問題的求解迅速、簡(jiǎn)單、便利。在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為

?2?2?2?2?2?0（式1.3.1）2?x?y?z設(shè)?可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，即

?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)（式1.3.2）

其中，X只是x的函數(shù)，同時(shí)Y只是y的函數(shù)，Z只是z的函數(shù)。將（式1.3.2）帶入（式1.3.1），得

d2Xd2Yd2ZYZ?XZ2?XY2?0（式1.3.3）

dx2dydz然后（式1.3.3）各項(xiàng)除以XYZ，得

X??Y??Z?????0（式1.3.4）XYZ以上方程的第一項(xiàng)只是x的函數(shù)，其次項(xiàng)只是y的函數(shù)，第三項(xiàng)只是z的函數(shù)，要這一方程對(duì)任一組（x,y,z）成立，這三項(xiàng)必需分別為常數(shù)，即

X??X??2（式1.3.5a）Y??Y??2（式1.3.5b）Z??Z??2（式1.3.5c）

這樣，就將偏微分方程化為三個(gè)常微分方程，?,?,?是分開常量，都是待定常數(shù)，與邊界條件有關(guān)。它們可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)，且由（式1.3.4）應(yīng)有

?2??2??2?0（式1.3.6）

以上三個(gè)常微分方程（式1.3.5a）、（式1.3.5b）和（式1.3.5c）解的形式，與邊界條件有關(guān)（即與常數(shù)?,?,?有關(guān)），以（式1.3.5a）為例說(shuō)明X的形式與?的關(guān)系。

當(dāng)??0時(shí)，則

2X(x)?a0x?b0

2當(dāng)??0時(shí)，另??jkx,(kx為正實(shí)數(shù)），則

X(x)?a1sinkxx?a2coskxx

或

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X(x)?b1e?jkxx?b2ejkxx

2當(dāng)??0時(shí)，另??kx，則

X(x)?c1shkxx?c2chkxx

或

X(x)?d1e?kxx?d2ekxx

以上的a,b,c,d稱為積分常數(shù)，也由邊界條件決定。Y(y)和Z（z）的解和X（x）類似。

在用分開變量法求解靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題時(shí)，常需要根據(jù)邊界條件來(lái)確定分開常數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或是零。若在某一個(gè)方向（如x方向）的邊界條件是周期的，則該坐標(biāo)的分開常數(shù)

kx必是實(shí)數(shù)，其解要選三角函數(shù)；若在某一個(gè)方向的邊界條件是非周期的，則該方向的解

要選雙曲函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)，在有限區(qū)域選雙曲函數(shù)，無(wú)限區(qū)域選取指數(shù)衰減函數(shù)；若位函數(shù)與某一坐標(biāo)無(wú)關(guān)，則沿該方向的分開常數(shù)為零，其解為常數(shù)。

2例題分析

設(shè)一橫截面為矩形的無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域的電位邊值如下圖2.1所示，求空間的電位分布。

y??0b???0?n??V(y)

0??0ax

圖2.1矩形截面導(dǎo)體槽

解：

此題的電位與z無(wú)關(guān)，只是x,y的函數(shù)，即???(x,y)。在區(qū)域0<x?2??0

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邊界條件為①x?0,???0;?x②x?a,?(a,y)?V(y);③y?0,?(x,0)?0;④y?b,?(x,b)?0.設(shè)方程的解為

?(x,y)?X(x)Y(y)

由邊界條件可得，Y（y）的表達(dá)式為

Y(y)?sinX（x）的表達(dá)式為

n?ybn?xbX(x)?ch區(qū)域內(nèi)部任意一點(diǎn)的電位表達(dá)式為

?(x,y)??CnXn(x)Yn(y)??Cnsinn?1?n?yn?xchbb以上的電位滿足拉普拉斯方程及條件①③④，待定系數(shù)由條件②決定。使用三角函數(shù)的正交歸一性，即

?a?,n?msinn?xasinm?xadx??2?0??0,n?ma用條件②可以得出

2n?yCn?V(y)sindy

n?a?b0bchb

b3MATLAB實(shí)現(xiàn)

在上題中，令V（y）=2y，設(shè)定邊界，x坐標(biāo)范圍為[0,16]，y坐標(biāo)范圍為[0,11]。利用PDETOOL，畫出圖像。

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圖3.1二維圖像

圖3.2三維圖像

4結(jié)論

靜態(tài)場(chǎng)求解問題，也稱為邊值型問題，滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。數(shù)值分析法的重要的方法為有限差分法和有限單元法，將求場(chǎng)域的空間離散化，

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把拉普拉斯方程化為各節(jié)點(diǎn)上的有限差分方程，并使用迭代法或者超松弛法求解方程，從而求解各節(jié)點(diǎn)上的位函數(shù)值。精讀越高，求解出的各節(jié)點(diǎn)的