第十章隨機過程4平穩(wěn)

平穩(wěn)隨機過程

引言一、嚴平穩(wěn)隨機過程

1．定義：設(shè){X(t),tT}是隨機過程,如果對于任意的常數(shù)h和任意正整數(shù)n,及任意的n維隨機向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))和(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))具有相同的分布,則稱隨機過程{X(t),tT}具有平穩(wěn)性,并同時稱此過程為嚴平穩(wěn)過程。

平穩(wěn)過程的參數(shù)集T,一般為(-,+),0,+,

{0,1,2,…},{0,1,2,…},以下如無特殊說明，均認為參數(shù)集T=(-,+).

當定義在離散參數(shù)集上時,也稱過程為嚴平穩(wěn)時間序列。例.設(shè){Xn,n0}是獨立同分布的隨機變量序列,且

XnU(0,1),n=1,2,…,

討論{Xn,n0}是否為嚴平穩(wěn)時間序列

并求E(Xn)與E(XnXm),n、m=0,1,2,….解：設(shè)U(0,1)的分布函數(shù)為F(x),則對任意的正整數(shù)k,任意0<n1

<n2<…<nk,及的分布函數(shù)均為可見，滿足定義條件，故{Xn,n0}是嚴平穩(wěn)時間序列。因為XnU(0,1)，且相互獨立，所以E(Xn)=1/2，2．嚴平穩(wěn)過程的數(shù)字特征定理

如果{X(t),tT}是嚴平穩(wěn)過程，且對任意的tT，E[X2(t)]<+,則有(1)E[X(t)]=常數(shù)，tT；(2)E[X(s)X(t)]只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關(guān)。證：(1)由Cauchy-Schwarze不等式

{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+,

所以E[X(t)]存在。在嚴平穩(wěn)過程的定義中，令h=-s,由定義X(s)與X(0)同分布，所以E[X(t)]=E[X(0)]為常數(shù)。一般記為X.

(2)由Cauchy-Schwarze不等式

{E[X(s)X(t)]}2E[X2(s)]E[X2(t)]<+,

所以E[X(s)X(t)]存在。在嚴平穩(wěn)過程的定義中，令h=-s,由定義(X(s),X(t))與(X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]=E[X(0)X(t-s)]

即Rx(t,t+)=E[X(0)X()]=Rx()

所以，Rx(s,t)只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關(guān)。進而，Cx()=E{[X(t)-x][X(t+)-x]}=Rx()-x2只與有關(guān)；

x2=Cx(0)=Rx(0)-x2為常數(shù).二、(弱)平穩(wěn)過程1．定義

設(shè){X(t),tT}是二階矩過程,如果

(1)E[X(t)]=x(常數(shù))，tT；

(2)對任意的t,t+T,Rx()=E[X(t)X(t+)]只依賴于。

則稱{X(t),tT}為寬平穩(wěn)過程,簡稱為平穩(wěn)過程.

特別地，當T為離散參數(shù)集時，若隨機序列{Xn(t)}滿足E(Xn2)<+,以及

(1)E[Xn]=x(常數(shù))，nT；

(2)Rx(m)=E[XnXn+m]只與m有關(guān)。稱{Xn}為寬平穩(wěn)隨機序列或?qū)捚椒€(wěn)時間序列。2．嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系(1)．嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程,因為嚴平穩(wěn)的過程不一定是二階矩過程,但當嚴平穩(wěn)過程是二階矩過程時,則它一定是寬平穩(wěn)過程。(2)．寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程,但對于正態(tài)過程,兩者是等價的

4．{X(t)}為正態(tài)過程，則{X(t)}是嚴平穩(wěn)過程{X(t)}是寬平穩(wěn)過程。證明：“”因高斯過程是二階矩過程，由嚴平穩(wěn)過程性質(zhì)，顯然成立。

“”由已知：μX(t)=μX，Rx(t,t+)只與有關(guān)。由嚴平穩(wěn)過程定義，對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tnT,t1+h,t2+h,…,tn+hT,要證：（X(t1),X(t2),…,X(tn)）與（X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h)）同分布（*）。而正態(tài)過程的分布由μX及Cx(s,t)決定，μX為常數(shù)。即(*)式成立。

例1:(白噪聲過程)設(shè){Xn,n=0,1,…}是互不相關(guān)的時間序列,且E[Xn]=0,D(Xn)=2>0,討論其平穩(wěn)性.

解:因為E[Xn]=0,

故其均值函數(shù)X(n)=0為常數(shù),其自相關(guān)函數(shù)RX(n,m)只與m-n有關(guān),所以它是平穩(wěn)時間序列。例2:隨機相位正弦波X(t)=acos(0t+Θ)，a,0為常數(shù)，Θ是在(0,2)上服從均勻分布的隨機變量,則{X(t)}是平穩(wěn)過程，并求其自相關(guān)函數(shù).

解:由假設(shè),Θ的概率密度為

于是,X(t)的均值函數(shù)為

與t無關(guān)，可見{X(t)}為平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)為

一般地，設(shè)s(t)是一周期函數(shù)，ΘU(0,T)稱

{X(t)=s(t+Θ)}為隨機相位周期過程，則其為平穩(wěn)過程。

//例3:考慮隨機電報信號,信號X(t)由只取I或-I的電流給出(圖8-1畫出了的一條樣本曲線).這里

而正負號在區(qū)間(t,t+ρ)內(nèi)變化的次數(shù)N(t,t+ρ)

是隨機的，且假設(shè)N(t,t+ρ)服從泊松分布,亦

即事件的概率為

其中λ>0是單位時間內(nèi)變號次數(shù)的數(shù)學期望,試討論X(t)的平穩(wěn)性Ix(t)0t-I圖8-1解:顯然,E[X(t)]=0現(xiàn)在來計算E[X(t)X(t+τ)],先設(shè)τ>0我們注意,如果電流在(t,t+τ)內(nèi)變號偶數(shù)次,則X(t)和X(t+τ)必同號且乘積為I2,因為事件的概率為P(A0)+P(A2)+P(A4)+…,而事件的概率為注意,上述結(jié)果與t無關(guān),故若τ<0時,只需令t'=t+τ則有故這一過程的自相關(guān)函數(shù)為

它只與τ有關(guān),因此隨機電報信號X(t)是一平穩(wěn)過程.

其圖形如圖8-2所示.//3．自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.Rx(0)0；證:Rx(0)=E[X2(t)]0性質(zhì)2.Rx()為偶函數(shù)，即Rx(-)=Rx()

證：Rx(-)=E[X(t)X(t-)]=E[X(t-)X(t)]=Rx()性質(zhì)3.|Rx()|Rx(0)

證：由柯西-施瓦茲不等式R(τ)0τ性質(zhì)4.非負定性.即對任意n,任意實數(shù)a1,a2,…,an,任意t1,t2,…,tn∈T有

4．平穩(wěn)相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)

（1）定義:設(shè){X(t)},{Y(t)},tT為兩個平穩(wěn)過程，如果它們的互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+)只是的函數(shù),即RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]=RXY(),則稱{X(t)},{Y(t)}是平穩(wěn)相關(guān)的，或稱{X(t)}與{Y(t)}是聯(lián)合平穩(wěn)過程.并稱

RXY()=E[X(t)Y(t+)]

為{X(t)}與{Y(t)}的互相關(guān)函數(shù)。(2)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

例1:如圖所示，將兩個平穩(wěn)過程X(t)，Y(t)同時輸入加法器中,加法器輸出隨機過程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)與Y(t)平穩(wěn)相關(guān)，則W(t)為平穩(wěn)過程

x(t)w(t)y(t)

E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]}

=E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)]

=Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()

可見W(t)的自相關(guān)函數(shù)Rw(t,t+)只依賴于,所以

w(t)為平穩(wěn)過程.例2:設(shè)X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B,,為常數(shù)，Θ在(0,2)上服從均勻分布，求RXY()。解:X(t),Y(t)均為平穩(wěn)過程.

所以，X(t),Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)的。同樣的方法可算得

隨機分析引言

一、均方收斂及均方連續(xù)

1.均方收斂的定義：設(shè)有二階矩隨機序列｛Xn,n=1,2,…｝和隨機變量X,E(X2)<+,若有

則稱｛Xn｝均方收斂于X,記作

2．均方極限的性質(zhì)

證明：(1)由柯西-施瓦茲不等式

(2)由柯西-施瓦茲不等式

(3)由柯西-施瓦茲不等式

2．均方連續(xù)

設(shè){X(t),tT}是隨機過程,若對某t0T,有

稱{X(t),tT}在t0均方連續(xù)，若對任意tT，{X(t),tT}均方連續(xù)，稱{X(t),tT}在T上均方連續(xù)。記為

(2)平穩(wěn)過程均方連續(xù)性與其自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系定理

設(shè)平穩(wěn)過程{X(t),tT}的自相關(guān)函數(shù)為Rx(),

則下列條件等價：①{X(t),tT}在T上均方連續(xù)；②{X(t),tT}在T=0均方連續(xù)；③Rx()在=0連續(xù)；④Rx()在T上連續(xù)。

證明：①②，由定義顯然成立；

②③：當h0時，

③④：當h0時，

④①：當h0時

(3)隨機過程的均方連續(xù)性與它的均值函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系定理設(shè)過程{X(t)}均方連續(xù),則證：由柯西-施瓦茲不等式，當h0時，

3．隨機過程的均方積分

定義

設(shè)隨機過程{X(t),t∈T},[a,bT],f(t)是[a,b]上的普通實值函數(shù)。對[a,b]的任一組分點

?:a=t0<t1<t2<…<tn=b,記：?tj=tj-tj-1,tj1<uj<tj,

j=1,2,…,n,|?|=max{?tj,1≤j≤n}

若存在與?及{uj}的取法無關(guān)的隨機變量Y，使得

則稱f(t)X(t)在[a,b]上均方可積，并稱Y為f(t)X(t)在[a,b]上的均方積分，記作：

關(guān)于均方積分的定義可推廣到如下的情況：（1）f(t)是[a,b]上普通的復值函數(shù)，(6.3.1)