大學(xué)高數(shù)第一章

大學(xué)高數(shù)第一章2

第一章函數(shù)與極限1、理解一元函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義；2、了解函數(shù)的表示和函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)—有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性；3、熟悉基本初等函數(shù)與初等函數(shù)（包含其定義區(qū)間、簡(jiǎn)單性態(tài)和圖形）；4、理解數(shù)列極限的概念；5、了解數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則—單調(diào)有界準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)則；6、理解函數(shù)的極限的定義;7、熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則（包括數(shù)列極限與函數(shù)極限）

基本要求38、掌握兩個(gè)重要極限：9、熟悉無(wú)窮小量的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、無(wú)窮小量的比較；10、了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系；11、理解函數(shù)的連續(xù)性的概念、了解函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類；12、了解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。

基本要求（續(xù)）4一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.組成集合的事物稱為該集合的元素.有限集個(gè)體總體

第一節(jié)函數(shù)5數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.62.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開(kāi)區(qū)間,稱為閉區(qū)間,符號(hào)表示“對(duì)每(任）一個(gè)”。7稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間,有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.83.常量與變量:

在某過(guò)程中始終保持一個(gè)數(shù)值的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而不斷改變數(shù)值的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.

例如：人的身高,在研究少兒發(fā)育成長(zhǎng)的過(guò)程中是變量；而在研究成人的健康狀況時(shí)通常是常量．94.絕對(duì)值:運(yùn)算性質(zhì):絕對(duì)值不等式:10函數(shù)概念例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n

邊形Or)11

郵件的費(fèi)用依賴與郵件的重量，郵局公布的費(fèi)用表可根據(jù)郵件的重量W確定郵件的費(fèi)用C。

自動(dòng)紀(jì)錄儀畫出了一天中氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖，由圖形可以找出在一天中的某個(gè)時(shí)刻t的溫度值T。tTo

真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時(shí)間t的關(guān)系為：

，設(shè)這一運(yùn)動(dòng)花費(fèi)T秒鐘，則t[0,T]。12因變量自變量數(shù)集X叫做這個(gè)函數(shù)的定義域函數(shù)的表示法有:公式法、圖像法和表格法,這三種表述各有特點(diǎn)并可以相互轉(zhuǎn)化．例1在出生后1～6個(gè)月期間內(nèi),正常嬰兒的體重近似滿足以下關(guān)系:公式法注意

在實(shí)際問(wèn)題中,定義域是由實(shí)際問(wèn)題決定的.37例2監(jiān)護(hù)儀自動(dòng)記錄了某患者一段時(shí)間內(nèi)體溫T的變化曲線,如下圖示:例3某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了某年1~12月中當(dāng)?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率,見(jiàn)下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty15例1求y=arcsin的定義域和值域。解：函數(shù)的定義域?yàn)?

得定義域?yàn)閤

<0且解：例2求的定義域.16自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同的兩個(gè)函數(shù)為相同函數(shù).17例3判斷下列幾對(duì)函數(shù)是否相等.(1)f(x)=2lnx,φ(x)=lnx2;(2)f(x)=x,φ(x)=|x|;(3)f(x)=sin2x+cos2x,φ(x)=1.解：f(x)的定義域?yàn)?，?x)的定義域?yàn)樗运鼈儾幌嗟取＝猓篺(x)與φ(x)的對(duì)應(yīng)規(guī)律不同，所以是不同的函數(shù)。解：f(x)與φ(x)的對(duì)應(yīng)規(guī)律相同，定義域也相同，所以f(x)=φ(x)。181．函數(shù)的單調(diào)性:xyo例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。xyo二、函數(shù)的特性192．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x20奇函數(shù)yxox-x例1判斷函數(shù)的奇偶性.解：∴f(x)是奇函數(shù).例2設(shè)f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。證明：設(shè)顯然g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而

故命題的證.

223．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.在(無(wú)窮)多個(gè)正周期中若存在一個(gè)最小數(shù)，此最小數(shù)稱為最小正周期。23一個(gè)周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，

如y=sinx，±2π,±4π…均為周期。一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.如:f(x)

=c例設(shè)c0,x(-,+),f(x+c)=-f(x),證明f(x)為周期函數(shù)。證明:∵f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)∴f(x)為周期為2c的函數(shù).事實(shí)上,對(duì)任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意24oyM-Mxy=f(x)D有界無(wú)界M-MyxoD4．函數(shù)的有界性:25注：1.有界函數(shù)一定有上、下界，反之，同時(shí)有上、下界的函數(shù)才是有界的！

2.有界不是絕對(duì)的，是相對(duì)于所給定的D而言的。

3.有界函數(shù)的界不唯一。例y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均為有界函數(shù),y=x,y=x2在(-∞,+∞)上無(wú)界.26基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)二初等函數(shù)272.指數(shù)函數(shù)283.對(duì)數(shù)函數(shù)294.三角函數(shù)正弦函數(shù)30余弦函數(shù)31正切函數(shù)32余切函數(shù)33正割函數(shù)34余割函數(shù)355.反三角函數(shù)365.反三角函數(shù)373839

常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).40復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)y=f(u),uU，函數(shù)u=(x),xX,其值域?yàn)?X)={u|u=(x),xX

}U，則稱函數(shù)y=f[(x)]為x的復(fù)合函數(shù)。代入法例

設(shè)試求解42注:不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.例

將下列復(fù)合函數(shù)“分解”為簡(jiǎn)單函數(shù)解442.初等函數(shù)定義:由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例：不是初等函數(shù)為初等函數(shù)不是初等函數(shù)為初等函數(shù)45在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).3.分段函數(shù)464.反函數(shù)DWDW習(xí)慣上,反函數(shù)x=(y)寫成y=(x)=f1(x).定義1設(shè)有函數(shù)y=f(x)(xX)，其值域Y=f(X).若對(duì)于Y中每一個(gè)y值,都可由方程f(x)=y確定唯一的x值:x=(y),稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),讀“f逆”

。47

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.48例1例2

證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)

x=f1(y),則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：的反函數(shù)是∴反函數(shù)是奇函數(shù)。例3解:當(dāng)x0時(shí),y1,當(dāng)x<0時(shí),y<1,x=y-1,49“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?、概念的引入S=第二節(jié)極限一、極限的概念5051正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積52截丈問(wèn)題：（戰(zhàn)國(guó)莊周）“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大即趨于無(wú)窮大,記作(1).自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2、函數(shù)的極限無(wú)限接近于記作：另兩種情形:定理:53停止54

自變量x任意地接近于有限值x0或說(shuō)趨于有限值x0,記作:

.

（2）.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就稱當(dāng)時(shí)，以A為極限。記為另兩種情形:1.左極限2.右極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.55

定理函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等,即56例1函數(shù)57而右極限因?yàn)樽髽O限和右極限存在但不相等，所以不存在.58例2討論函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.解左右極限相等,所以60例如2、數(shù)列的極限61n=19n=32n=42n=5062如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.記作：且此時(shí)稱該數(shù)列是收斂的63發(fā)散數(shù)列判別法:1.無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.2.一子列發(fā)散,則數(shù)列發(fā)散.3.兩子列收斂到不同的極限,則數(shù)列發(fā)散.例:證64

單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:3、數(shù)列極限存在判別準(zhǔn)則65例1：設(shè)(n=1,2,…)，證由及知設(shè)對(duì)某正整數(shù)k有則有故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)n，都有即為單調(diào)減少數(shù)列，且試證數(shù)列極限存在，并求此極限。解得所以66數(shù)列由遞推關(guān)系給出時(shí)，求極限或證明極限存在，往往用單調(diào)有界準(zhǔn)則。1)有界性的證明一般有如下幾種方法：根據(jù)已知條件推斷出界；通過(guò)觀察找出界，并用歸納法證明；先求出極限，根據(jù)極限求出界，并用歸納法證明2)單調(diào)性的證明一般有如下幾種方法：用觀察法.如：?jiǎn)卧銮闆r）。根據(jù)第一、第二項(xiàng)的大小關(guān)系，確定單調(diào)性，并用歸納法證明.注意67夾逼準(zhǔn)則68例1解由夾逼定理69例2：求解：由夾擠定理70＞＜夾擠定理例如,注:無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).極限為零的變量稱為無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.注:無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.在同一自變量變化過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.意義關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.二、無(wú)窮小量及其性質(zhì)2.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)2在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)3無(wú)窮小除以不為0的變量，其商是無(wú)窮小.性質(zhì)4有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.推論1在同一過(guò)程,有極限的變量與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小72例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限3.無(wú)窮小的比較73定義:記作=O()或=O()74所以：與為同階無(wú)窮小解因?yàn)?/p>

例1當(dāng)時(shí),與都是無(wú)窮小,試對(duì)它們進(jìn)行階的比較.751、函數(shù)極限運(yùn)算法則定理

若均存在，則1)2)（k為常數(shù)）3)當(dāng)時(shí)，三、極限運(yùn)算法則注1.以上結(jié)論均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;2.極限的加、減、乘運(yùn)算法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)情形.76例1解2、求極限方法舉例77解商的法則不能用例2（無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系）78小結(jié):79解例3(消去零因子法)80解：原式

例4求解:原式又例:求（分子分母有理化）（通分法）例5（a0≠0，b0≠0，m,n>0).解：1）m=n,原式2）m>n,原式3）m<n，原式=∞.82例解(無(wú)窮小因子分出法)8384練習(xí)85(1)四、兩個(gè)重要極限8687先利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明(2)88又因?yàn)?9復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則定理設(shè)函數(shù)y=f(u)及u=(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=f[(x)],在x0某個(gè)去心鄰域,若且(x)

l,

則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在xx0時(shí)的極限為說(shuō)明:又稱變量代換法90例6解913)設(shè)u=arcsinxx→0時(shí)u→0,92例7解例8解例9

求解：原式93其他幾個(gè)重要極限:94常用等價(jià)無(wú)窮小95定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的又一種方法,注意適用條件.96例1解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換。對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意97例2解解錯(cuò)98例3解例499例5已知當(dāng)x→0時(shí)，是等價(jià)無(wú)窮小，求a.100思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？101思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)窮大故當(dāng)時(shí)102一、連續(xù)函數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)變化的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)

如同體溫的升降、血液的流動(dòng)、機(jī)體的成長(zhǎng)等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的．函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映．0xy1.概念一、函數(shù)的連續(xù)性曲線不斷曲線斷開(kāi)函數(shù)f(x)隨x的改變而逐漸改變有突變現(xiàn)象1052.連續(xù)的定義106注：1)函數(shù)f(x)在x0連續(xù)的等價(jià)寫法(滿足定義1的條件):2)若y=f(x)在x0處不連續(xù)，則稱y=f(x)在x0處間斷。3)極限與連續(xù)的關(guān)系:極限連續(xù)連續(xù)函數(shù)必有極限,有極限不一定是連續(xù)函數(shù).例如107例1證1083.單側(cè)連續(xù)定理109例2解右連續(xù)但不左連續(xù),110解

例3設(shè)在點(diǎn)處連續(xù),問(wèn)、應(yīng)滿足什么關(guān)系?1114.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,基本初等函數(shù)在其定義域上連續(xù),初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).112二、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,113極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;意義定理2例如,三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性114初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注:

定理3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.115四、函數(shù)的間斷點(diǎn)116可去間斷點(diǎn)例5解117跳躍間斷點(diǎn)例6解118如例5中,注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第