大學高數(shù)第一章

大學高數(shù)第一章2

第一章函數(shù)與極限1、理解一元函數(shù)、復合函數(shù)的定義；2、了解函數(shù)的表示和函數(shù)的簡單性態(tài)—有界性、單調性、奇偶性、周期性；3、熟悉基本初等函數(shù)與初等函數(shù)（包含其定義區(qū)間、簡單性態(tài)和圖形）；4、理解數(shù)列極限的概念；5、了解數(shù)列極限的存在準則—單調有界準則、夾逼準則；6、理解函數(shù)的極限的定義;7、熟練掌握極限的四則運算法則（包括數(shù)列極限與函數(shù)極限）

基本要求38、掌握兩個重要極限：9、熟悉無窮小量的概念及其運算性質、無窮小量的比較；10、了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系；11、理解函數(shù)的連續(xù)性的概念、了解函數(shù)的間斷點的分類；12、了解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質。

基本要求（續(xù)）4一、基本概念1.集合:具有某種特定性質的事物的全體.組成集合的事物稱為該集合的元素.有限集個體總體

第一節(jié)函數(shù)5數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.62.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,符號表示“對每(任）一個”。7稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.83.常量與變量:

在某過程中始終保持一個數(shù)值的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而不斷改變數(shù)值的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.

例如：人的身高,在研究少兒發(fā)育成長的過程中是變量；而在研究成人的健康狀況時通常是常量．94.絕對值:運算性質:絕對值不等式:10函數(shù)概念例圓內接正多邊形的周長圓內接正n

邊形Or)11

郵件的費用依賴與郵件的重量，郵局公布的費用表可根據(jù)郵件的重量W確定郵件的費用C。

自動紀錄儀畫出了一天中氣溫隨時間變化的曲線圖，由圖形可以找出在一天中的某個時刻t的溫度值T。tTo

真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時間t的關系為：

，設這一運動花費T秒鐘，則t[0,T]。12因變量自變量數(shù)集X叫做這個函數(shù)的定義域函數(shù)的表示法有:公式法、圖像法和表格法,這三種表述各有特點并可以相互轉化．例1在出生后1～6個月期間內,正常嬰兒的體重近似滿足以下關系:公式法注意

在實際問題中,定義域是由實際問題決定的.37例2監(jiān)護儀自動記錄了某患者一段時間內體溫T的變化曲線,如下圖示:例3某地區(qū)統(tǒng)計了某年1~12月中當?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率,見下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty15例1求y=arcsin的定義域和值域。解：函數(shù)的定義域為:

得定義域為x

<0且解：例2求的定義域.16自變量因變量對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.定義域和對應法則完全相同的兩個函數(shù)為相同函數(shù).17例3判斷下列幾對函數(shù)是否相等.(1)f(x)=2lnx,φ(x)=lnx2;(2)f(x)=x,φ(x)=|x|;(3)f(x)=sin2x+cos2x,φ(x)=1.解：f(x)的定義域為，φ(x)的定義域為所以它們不相等。解：f(x)與φ(x)的對應規(guī)律不同，所以是不同的函數(shù)。解：f(x)與φ(x)的對應規(guī)律相同，定義域也相同，所以f(x)=φ(x)。181．函數(shù)的單調性:xyo例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)內單調增加。xyo二、函數(shù)的特性192．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x20奇函數(shù)yxox-x例1判斷函數(shù)的奇偶性.解：∴f(x)是奇函數(shù).例2設f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。證明：設顯然g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而

故命題的證.

223．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.在(無窮)多個正周期中若存在一個最小數(shù)，此最小數(shù)稱為最小正周期。23一個周期函數(shù)有無窮多個周期，

如y=sinx，±2π,±4π…均為周期。一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.如:f(x)

=c例設c0,x(-,+),f(x+c)=-f(x),證明f(x)為周期函數(shù)。證明:∵f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)∴f(x)為周期為2c的函數(shù).事實上,對任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意24oyM-Mxy=f(x)D有界無界M-MyxoD4．函數(shù)的有界性:25注：1.有界函數(shù)一定有上、下界，反之，同時有上、下界的函數(shù)才是有界的！

2.有界不是絕對的，是相對于所給定的D而言的。

3.有界函數(shù)的界不唯一。例y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均為有界函數(shù),y=x,y=x2在(-∞,+∞)上無界.26基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)二初等函數(shù)272.指數(shù)函數(shù)283.對數(shù)函數(shù)294.三角函數(shù)正弦函數(shù)30余弦函數(shù)31正切函數(shù)32余切函數(shù)33正割函數(shù)34余割函數(shù)355.反三角函數(shù)365.反三角函數(shù)373839

常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).40復合函數(shù)定義:設函數(shù)y=f(u),uU，函數(shù)u=(x),xX,其值域為(X)={u|u=(x),xX

}U，則稱函數(shù)y=f[(x)]為x的復合函數(shù)。代入法例

設試求解42注:不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成.例

將下列復合函數(shù)“分解”為簡單函數(shù)解442.初等函數(shù)定義:由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合運算所構成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例：不是初等函數(shù)為初等函數(shù)不是初等函數(shù)為初等函數(shù)45在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).3.分段函數(shù)464.反函數(shù)DWDW習慣上,反函數(shù)x=(y)寫成y=(x)=f1(x).定義1設有函數(shù)y=f(x)(xX)，其值域Y=f(X).若對于Y中每一個y值,都可由方程f(x)=y確定唯一的x值:x=(y),稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),讀“f逆”

。47

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線對稱.48例1例2

證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)

x=f1(y),則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：的反函數(shù)是∴反函數(shù)是奇函數(shù)。例3解:當x0時,y1,當x<0時,y<1,x=y-1,49“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術：——劉徽1、概念的引入S=第二節(jié)極限一、極限的概念5051正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積52截丈問題：（戰(zhàn)國莊周）“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”自變量x的絕對值無限增大即趨于無窮大,記作(1).自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限2、函數(shù)的極限無限接近于記作：另兩種情形:定理:53停止54

自變量x任意地接近于有限值x0或說趨于有限值x0,記作:

.

（2）.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限無限趨近于一個常數(shù)A，就稱當時，以A為極限。記為另兩種情形:1.左極限2.右極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側極限.55

定理函數(shù)當時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等,即56例1函數(shù)57而右極限因為左極限和右極限存在但不相等，所以不存在.58例2討論函數(shù)當時的極限.解左右極限相等,所以60例如2、數(shù)列的極限61n=19n=32n=42n=5062如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.記作：且此時稱該數(shù)列是收斂的63發(fā)散數(shù)列判別法:1.無界數(shù)列必定發(fā)散.2.一子列發(fā)散,則數(shù)列發(fā)散.3.兩子列收斂到不同的極限,則數(shù)列發(fā)散.例:證64

單調有界準則單調增加單調減少單調數(shù)列幾何解釋:3、數(shù)列極限存在判別準則65例1：設(n=1,2,…)，證由及知設對某正整數(shù)k有則有故由歸納法，對一切正整數(shù)n，都有即為單調減少數(shù)列，且試證數(shù)列極限存在，并求此極限。解得所以66數(shù)列由遞推關系給出時，求極限或證明極限存在，往往用單調有界準則。1)有界性的證明一般有如下幾種方法：根據(jù)已知條件推斷出界；通過觀察找出界，并用歸納法證明；先求出極限，根據(jù)極限求出界，并用歸納法證明2)單調性的證明一般有如下幾種方法：用觀察法.如：單增情況）。根據(jù)第一、第二項的大小關系，確定單調性，并用歸納法證明.注意67夾逼準則68例1解由夾逼定理69例2：求解：由夾擠定理70＞＜夾擠定理例如,注:無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.注:無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.在同一自變量變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.意義關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.二、無窮小量及其性質2.無窮小的運算性質性質1在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質2在同一過程中,有限個無窮小的乘積是無窮小.性質3無窮小除以不為0的變量，其商是無窮小.性質4有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.推論1在同一過程,有極限的變量與無窮小乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.都是無窮小72例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限3.無窮小的比較73定義:記作=O()或=O()74所以：與為同階無窮小解因為

例1當時,與都是無窮小,試對它們進行階的比較.751、函數(shù)極限運算法則定理

若均存在，則1)2)（k為常數(shù)）3)當時，三、極限運算法則注1.以上結論均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;2.極限的加、減、乘運算法則可推廣到有限個函數(shù)情形.76例1解2、求極限方法舉例77解商的法則不能用例2（無窮大與無窮小的關系）78小結:79解例3(消去零因子法)80解：原式

例4求解:原式又例:求（分子分母有理化）（通分法）例5（a0≠0，b0≠0，m,n>0).解：1）m=n,原式2）m>n,原式3）m<n，原式=∞.82例解(無窮小因子分出法)8384練習85(1)四、兩個重要極限8687先利用單調有界數(shù)列必有極限證明(2)88又因為89復合函數(shù)極限運算法則定理設函數(shù)y=f(u)及u=(x)構成復合函數(shù)y=f[(x)],在x0某個去心鄰域,若且(x)

l,

則復合函數(shù)y=f[(x)]在xx0時的極限為說明:又稱變量代換法90例6解913)設u=arcsinxx→0時u→0,92例7解例8解例9

求解：原式93其他幾個重要極限:94常用等價無窮小95定理(等價無窮小替換定理)證等價無窮小代換求極限的又一種方法,注意適用條件.96例1解不能濫用等價無窮小代換，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換。對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意97例2解解錯98例3解例499例5已知當x→0時，是等價無窮小，求a.100思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？101思考題解答不能．例當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時102一、連續(xù)函數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)變化的曲線對應的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)

如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的．函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映．0xy1.概念一、函數(shù)的連續(xù)性曲線不斷曲線斷開函數(shù)f(x)隨x的改變而逐漸改變有突變現(xiàn)象1052.連續(xù)的定義106注：1)函數(shù)f(x)在x0連續(xù)的等價寫法(滿足定義1的條件):2)若y=f(x)在x0處不連續(xù)，則稱y=f(x)在x0處間斷。3)極限與連續(xù)的關系:極限連續(xù)連續(xù)函數(shù)必有極限,有極限不一定是連續(xù)函數(shù).例如107例1證1083.單側連續(xù)定理109例2解右連續(xù)但不左連續(xù),110解

例3設在點處連續(xù),問、應滿足什么關系?1114.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,基本初等函數(shù)在其定義域上連續(xù),初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).112二、四則運算的連續(xù)性定理1例如,113極限符號可以與函數(shù)符號互換;意義定理2例如,三、復合函數(shù)的連續(xù)性114初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù),在其定義域內不一定連續(xù);例如,這些孤立點的鄰域內沒有定義.在0點的鄰域內沒有定義.注:

定理3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.115四、函數(shù)的間斷點116可去間斷點例5解117跳躍間斷點例6解118如例5中,注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第