我的大一復(fù)變函數(shù)

一.如果函數(shù)f(z在z0不解析，但在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<δ內(nèi)處處解析，那么z0稱為f(z的孤立奇點(diǎn)例：1z1

e z=0都是孤立奇點(diǎn)(zi)(z z1,if(z)

z

z0,z1 (n1 )z=0二.設(shè)z0為f(z) ∑c(zz (zz)n

c(zz

0<|z-z|<δ ∑ ∑

如在(*)式中不含zz0的負(fù)冪項(xiàng),則稱z0為f(z)的可f(z) F(zlimf(z)limF(z)F(z0)c0z z

z0|<δz0為f(z)的可去奇點(diǎn) limf(z)c0.(其中c0是有限復(fù)常0

(z

1z3 )11z21z4 z=0是可去奇

ez

(z

z

1 z z z=0是可去奇點(diǎn)二. 如在(*)式中只含有限項(xiàng)zz0的負(fù)冪項(xiàng),f(z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1 (m1,則稱z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)f(z)

(zz0

其中g(shù)(z)=cm+cm+1(zz0)+cm+2(zz0)2+...在|zz0|<內(nèi)解析且g(z0)0.z0為f(z)的極點(diǎn)limf(z) f(z) z z=1是三級(jí)極點(diǎn)(z21)(zz＝i,z＝－i是一級(jí)極點(diǎn) 如在(*)式中含有無窮多項(xiàng)z-z0的負(fù)冪項(xiàng),稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)limf(z)不存在且非 1 f(z)e 2! n!znz=0１、定義：（m級(jí)零點(diǎn)mmf(z)(zz0

h(z)其中h(z)在z0解析，且h(z00m如果f(z)在z0

那么稱z0為f(z)的m級(jí)z0為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)f(n)(z0)0,(n ,mf(m)(z0)2、零點(diǎn)的性質(zhì)解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性設(shè)f(z)解析，且不恒為零，如f(z0)=0, 存在U(z0 使得當(dāng)zU(z0)時(shí) f(z)(解析函數(shù)的惟一性定理)設(shè)函數(shù)f(z與g(z)在區(qū)域Dzn是D內(nèi)互異的點(diǎn)列且limznz0D如果對(duì)一切n,f(zn)g(zn),則在 有f(z)g(z).1z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)f(z)g(z),g(zh(z)都在z解析,且zh(z) g(zh(z)的m和n級(jí)零點(diǎn)(m,n為正整數(shù)),當(dāng)mn時(shí),z0是f(z)的可去奇點(diǎn)當(dāng)m<n時(shí)z0是f(z)的n-m級(jí)極點(diǎn)展成Laurentlimf(z)m關(guān)于(zz)1的最高冪 (z z0且不為ezf(z)

f(z) z3z2z

f(z) f(z)e

f(z)

sinz2

ez1f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,f(z)的孤立奇點(diǎn)nf(z)∑cnnn

∑cn 0令t0

∑cnzn

t0|t|f(z)

f )1t1

(tn (t)∑ctn

c∑ctn

0|t|R

∑c定義:如果t=0是(t)的可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)則稱點(diǎn)z=是f(z)的可去奇點(diǎn)∑cnf(z)∑cnnn

∑cn

(t)∑ctnn

c∑ctn

0|t|R

不含正冪項(xiàng);則z=f(z)的可去奇點(diǎn)limf(z)含有限多的正冪項(xiàng),且zm為最高正冪;則z=是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)limf(z)含有無窮多的正冪項(xiàng);則z=f(z)的本性奇點(diǎn)limf(z)不存在且非例2、求下列函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)，并判別類型。1f(z)ef(z)

(z1)(zP(z)cczcz2 czn f(z)1cosz,(kZf(z)

(z21)(z2)3(sinz)3第二 留無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留設(shè)z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)RC使得f(z)在0zz0R內(nèi)解析RCf(z)在0

z

R內(nèi)Laurentf(z)

n

c(zz)n11

2

f(z)∫(zz∫

dz(n0,1,2, Cz0的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線即 f(z)dzRes[f(z),zC 2i C f(z)在z0點(diǎn)的留數(shù) f(z), f(z),

∫f(z)dz2i2if(z)在孤立奇點(diǎn)z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)-1次冪項(xiàng)的系數(shù)∫f(z)dz2iRes[f(z),z0C定理(留數(shù)基本定理1)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域∫f(z)dznf(z),∫f(z)dznf(z),C.k根據(jù)留數(shù)基本定理 函數(shù)f(z)在閉曲線C上CzC11.z2C2D CzC11.z2C2D中心,C1,C2

,都在其余的外部,而都在C的內(nèi)部,復(fù)合,復(fù)合閉路定理∫f(z)dz∫f(z)dz∫f(z)dz ∫f 再由留數(shù)的定義,n∫f(z)dz2n

f(z), k二.留數(shù)的計(jì)算z0為f(z)的可去奇點(diǎn)則Res[f(z),z0]z0為f(z)的本性奇點(diǎn),則需將f(z展開成Laurent級(jí)數(shù),求c1.z0為f(z)的極點(diǎn)除將f(zz0成Laurent級(jí)數(shù)求c1

z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)Res[f(z),z0]lim[(zz0)f規(guī)則

z0f(z)的m級(jí)極點(diǎn)nm,1

dn1nRes[f(z),n

] z

[(zz0

f(z)].(n 0證明由于z0f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，所以在z0某個(gè)去心鄰域內(nèi)的Laurentmf(z)cm(zz0 c2(zz0m (zz)1cc(zz) ff(z)cm(zz0)mc2(zz0)2(zz)1cc(zz)0010,(zz)nf(z) (zz)nm (zz)n1 c(zz)nc(zz)n1 對(duì)上式求n1階導(dǎo)數(shù) dzn1[(zz0)fdn1

n1)!c1+(

zz0正冪的項(xiàng)所以zz0

n1

[(zz0n1n

f(z)](ndn1

,Res[f(z),

]

[(zz

f

(n

0

規(guī)則

設(shè)f(z)P(z),P(z及Q(z)在z都解析0Q(z)0如果P(z0)0,Q(z0)0,Q(z0)0, 那么z0為f的一級(jí)極點(diǎn)Res[f(z),z0]

P(z0)Q(z0證 由條 z0是f(z)的一級(jí)極點(diǎn).于Res[f(z),z]lim(zz)f(z)

P(z Q(z0

z例1.f(z)

ez(z1)(zz2n

f(z)

sinzz21cosf(z)

(z

,(n

f(z) 解 z=1和z=2都是f(z)的1級(jí)極點(diǎn)，ezRes[f(z),1]lim[(z1)f(z)]

z1zezRes[f(z),2]lim[(z2)f(z)] e2 z2zz=0f(z)的1Res[f(z),0]lim[zf(z)]limsinz 顯然z1是f(z)的nResf(z),1 lim(n1)!

lim2n(2n (2nn2)z2nn1 (n(1)n12n(2n (2nn(n

(2n)! (n1)!(nz=0是f(z)的3級(jí)極點(diǎn),在規(guī)則2中取n=5,Res[f(z),0]1lim(1cosz)(4)14! 如果在規(guī)則2中取n=3,那么計(jì)算就要麻煩得多例3.計(jì)算積分是z2的正向.

zz∫C3(z1)(zz∫C

dz,

解記f(z) z 解記z3(z1)(z

分別是f(z)的3級(jí)和1級(jí)極點(diǎn)都在極點(diǎn)z=3在z2的外部.

z2的內(nèi)部Res[f(z),0]

12!z0

z (z1)(zzC zC

∫4

dz,其中C是z解zz11,z2i,z31,z4i解zz4f(z)z 的1級(jí)極點(diǎn)，并且都在C的內(nèi)部所以z44∫f(z)dz2i∑Res[f(z),zk4 k42i∑4k

z(z4z(z4

2i∑4k4

24zk2

1

4 z z12z0

(z

(z

14Res[f(z),1]lim[(z1)f(z)]1 ∫ z dz2i 14 z

z3(z1)(z

1例3.f(z)z2e

∫f(z)dz,其中CC

z1的正向解易見z=0是函數(shù)f(z)f(z)z2

z

1

z Resf(z01.3!∫f(z)dz 例

求f(z)

zz在z=0處的留數(shù)

z f(z) zeze∑ zn∑n!

z∑n!∑

0z n0 n0Res[f(z),0]c1 1!2!

∑n!(n1)!. 設(shè)z=是f(z)的孤立奇點(diǎn),即f(z)z=Rz內(nèi)解析,1∫f(C為f(z)在z=Res[f(z其中CResf(Resf(z),f(z)在Rz內(nèi)Laurent定理(留數(shù)基本定理2)設(shè)函數(shù)f(z)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2, ,zn,zn1,則f(z)在所有孤∑∑Res[f(z),zk]k證 設(shè)曲線C是繞原點(diǎn)且包含奇點(diǎn)z1,z2 ,n∫f(z)dz2i∑Res[f(z),zkn k1n1∑Res[f(z),zk]n1k1

2i

Cf(z)dzCRes[f(z),]1∫f(zC∑∑Res[f(z,zk)]k規(guī)則4. 設(shè)f(z)在Rz內(nèi)解析，Res[f(z),]Res 11,0 z2n證 設(shè)f(z)在R<|z|<內(nèi)的Laurent展開式nnf(z)nn

czn,于是

1 z2

∑n

czn2 Res

1, Res[f(z),]. z2 4’. 設(shè)f(z)P(z)是有理分式,且多項(xiàng)Q(z)Res[f(z),]例5.1f(z)ezzf(z)z

z(zzC zC

∫4

dz,其中C是z例 計(jì)算積

zI∫(z21)2(z42)3dz.z 記f(z) .則由規(guī)則4(z21)2(z42)3Res[f(z),]Res 11,0 z2Res

z(z21)2(12z4

, z

f(z)dz2iRes[f(z),]2∫(z 1)(z5∫(z 1)(z5CC是z2的正向

dz, 設(shè)f(z)

(z51)(z

f(z)有7個(gè)孤立奇點(diǎn):5個(gè)1級(jí)極點(diǎn)在C內(nèi)部, 極點(diǎn)z=3和可去奇點(diǎn)z=在C外部.由留數(shù)基本定理2可知，只需要計(jì)算f(z)在z=3和z=的留數(shù).根據(jù)規(guī)則4,Res[f(z),] Res[f(z),3] z3

I2iRes[f(z),3]Res[f(z),]i注本題采用這種方法要比直接應(yīng)用留數(shù)基本定第三節(jié)留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積一.三角有理式的積分2πz

R(cos,sin)ddziei ddz sin

1

iei

z2,

z21. 當(dāng)在[02π變化時(shí)z沿單位圓周z1的正向繞行一周.于是2πR(cos,sin∫∫zz21,z21n ∫f(z)dz2πi∑Resf(z),zknz

kf(z)是有理函數(shù).如果在

單位圓周內(nèi)部f例１. 計(jì)算積

2π d(ab∫ a∫解∫2π ∫ a

d

z1a

z21

∫bz∫bz2az2z

dz.bz22azb在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)z1

aa2a2

，z2

a a2a2由于a 因此

1.f(z)

bz22az

z11級(jí)極點(diǎn)z1.a2 b dz f(za2 bbz2aza2a2a22i

2bz2bzb

設(shè)m數(shù) I∫cos d. 5π 因?yàn)閏os,cosm都是以2為周期的偶函πI2

5

d2

∫ 5∫

d∫ I zm dz ∫

zm dz.2iz15z

z1(2z1)(zzm被積函數(shù)f(z)(2z1)(z

z1, 只有1z1

1內(nèi),I

1i2iRe

zm , (2z1)(z 2 3

32m二.有理函數(shù)的無窮積分

R(x)dx其中(1R(x)是x(2)子的次數(shù)高2次，(3R(z)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)CCR R(x)dx2πi∑Res[R(z),zk 其中zk(k=1,2,…)是R(z)在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)如果R(x)是偶函數(shù) R(x)d

R(x)dxπi∑Res[R(z),z 2 例 計(jì)算積

∫ ∫

dx

a I2

∫ ∫

dx 3 5 7z0ae ,z1ae ,z2ae ,z3ae是f(z)

的4個(gè)1級(jí)極點(diǎn),其中z和zz4 平面，z2和z3在下半平面.I2

∫∫

dxx4a4iRes

, iRes ,z4

1

014z 4z01

4a43

ae

ae22

i 222 222 三.有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分I

Rx)eiaxdx(a0,∫∫R(z)P(z)是有理函數(shù)Q(z)

I

R(x)e dx2i∑Res[f(z)e ,zkk其中zk(k=1,2,…,n)是R(z)在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)eiaxcosaxisinax,I

R(x)eiax