復(fù)變函數(shù)課件對數(shù)留數(shù)與輻角原理

復(fù)變函數(shù)課件對數(shù)留數(shù)與輻角原理1第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四一、對數(shù)留數(shù)1.定義具有下列形式的積分:說明:1)對數(shù)留數(shù)即函數(shù)f(z)的對數(shù)的導(dǎo)數(shù)在C內(nèi)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的代數(shù)和;2)函數(shù)f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)都可能是的奇點(diǎn).2第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四2.定理一內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù),P為

f(z)在C內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù).其中,N為

f(z)在C且C取正向.注意:m級的零點(diǎn)或極點(diǎn)算作m個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn).3第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四證4第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四5第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四[證畢]由以上所述和留數(shù)定理，得6第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四二、輻角原理.不一定為簡單閉曲線,其可按正向或負(fù)向繞原點(diǎn)若干圈.1.對數(shù)留數(shù)的幾何意義7第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四單值函數(shù)等于零8第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論:(k總為整數(shù))對數(shù)留數(shù)的幾何意義是繞原點(diǎn)的回轉(zhuǎn)次數(shù)k9第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四由定理一及對數(shù)留數(shù)的幾何意義得可計(jì)算f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)此結(jié)果稱為輻角原理10第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四2．定理二(輻角原理)如果

f(z)在簡單閉曲線C上與C內(nèi)解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于乘以當(dāng)z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.11第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四三、路西定理定理三(路西定理)說明:利用此定理可對兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行比較.12第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四證在C內(nèi)部解析13第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四14第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四[證畢]15第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例1試證方程證16第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四在圓內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)為n在圓內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)也為n17第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例2對數(shù)留數(shù).解所以這些零點(diǎn)是二級零點(diǎn),從而是f(z)的二級極點(diǎn).18第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四所以由對數(shù)留數(shù)公式得19第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四四、小結(jié)與思考通過本課的學(xué)習(xí),應(yīng)熟悉對數(shù)留數(shù)及其與函數(shù)的零點(diǎn)及極點(diǎn)的關(guān)系;了解輻角原理與路西定理.20第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四思考題21第21頁，共22頁，20