成信工統(tǒng)計(jì)天氣預(yù)報(bào)課件第9章-譜分析

第九章譜分析一·譜及譜分析的概念二·功率譜三·功率譜的估計(jì)四·利用功率譜做周期分析五·濾波六·譜分析應(yīng)用及發(fā)展一·譜及譜分析的概念1·譜分析

即時(shí)間序列在頻域上進(jìn)行分析，亦稱頻譜分析或波譜分析，可以針對時(shí)間序列或空間序列的波動進(jìn)行分析。（本章僅討論時(shí)間序列）2·離散譜或線譜3·連續(xù)譜2·離散譜或線譜對任一的周期變化的時(shí)間函數(shù)，在滿足狄氏條件下，可展成如下的級數(shù)

2·離散譜或者線譜

意義：可見，一般的時(shí)間函數(shù)可看成由無窮個不同頻率的振動波疊加而成，實(shí)際分析中對這些振動波的振幅及位相的了解十分重要。

2·離散譜或者線譜利用尤拉公式2·離散譜或者線譜2·離散譜或者線譜

稱為的復(fù)譜

用K為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)作圖，這種圖稱為振幅譜圖或位相譜圖又由于K是整數(shù)，譜圖上的期限是不連續(xù)的，稱這種譜為離散譜或線譜。3·連續(xù)譜

兩邊乘并在周期T上積分有考察無限時(shí)間序列中各種頻率結(jié)構(gòu)

3·連續(xù)譜代入有當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)為0第二項(xiàng)中或者3·連續(xù)譜3·連續(xù)譜則有又有利用Euler公式3·連續(xù)譜則再令則有3·連續(xù)譜

稱為時(shí)間函數(shù)的譜是復(fù)數(shù)，也可表示為稱為連續(xù)振幅譜，稱為相應(yīng)的位相譜而復(fù)譜可見，離散譜與連續(xù)譜具有相同的特點(diǎn)二·功率譜1·概念引出當(dāng)電阻為1個單位，瞬時(shí)電壓為則瞬時(shí)功率為總能量為此式也可表數(shù)學(xué)期望為0的的方差，按前述觀點(diǎn)總能量或總方差可以分解為各波動的部分能量或方差之和。功率譜分析即是如此。2·離散的功率譜表示3·連續(xù)的功率譜2·離散的功率譜表示

同周期T2·離散的功率譜表示由于負(fù)波數(shù)的復(fù)譜就等于正波數(shù)復(fù)譜的共軛即則有在某時(shí)間段T上取則有其中2·離散的功率譜表示又由于振幅譜與相同不妨集中表示在的譜圖上，故令稱為離散功率譜3·連續(xù)的功率譜為了解連續(xù)頻率對應(yīng)的振動波的方差貢獻(xiàn)，利用3·連續(xù)的功率譜稱為功率譜密度或證為三·功率譜的估計(jì)1·離散功率譜的估計(jì)對于實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列現(xiàn)實(shí)（1）計(jì)算不同波數(shù)K的傅氏系數(shù)估計(jì)其中K的取值為[]表示取整數(shù)部分1·離散功率譜的估計(jì)

（2）計(jì)算不同波數(shù)K的功率譜值（3）波數(shù)為橫軸，離散功率譜估計(jì)值為縱坐標(biāo)做譜圖。在橫坐標(biāo)上通常也標(biāo)上對應(yīng)的振動周期值或頻率值。2·連續(xù)功率譜的估計(jì)通過時(shí)間函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)作間接估計(jì)（1）自相關(guān)函數(shù)表示的連續(xù)功率譜為標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間函數(shù)即數(shù)學(xué)期望為0方差為1則自相關(guān)函數(shù)2·連續(xù)功率譜的估計(jì)利用傅里葉反變換展開有為奇函數(shù)，具有反對稱性為偶函數(shù),具有對稱性，加上平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，也是偶函數(shù)，也有對稱性。上式容易變成可見，連續(xù)功率譜函數(shù)在正負(fù)半軸上對稱，因而類似離散譜做法，只給出正半軸的連續(xù)功率譜即可。2·連續(xù)功率譜的估計(jì)（2）連續(xù)功率譜的估計(jì)步驟1）計(jì)算樣本落后自相關(guān)系數(shù)為最大步長，或最大落后時(shí)間長度。2）求粗譜估計(jì)利用近似積分中的梯形公式

K最大可取令3）計(jì)算平滑功率譜2·連續(xù)功率譜的估計(jì)可用平滑公式設(shè)計(jì)一個窗函數(shù)則譜估計(jì)公式可寫為另外，為保持權(quán)重一致，端點(diǎn)也還要乘上0.5，在此，計(jì)算平滑功率譜密度估計(jì)公式式中2·連續(xù)功率譜的估計(jì)4）做譜圖以波數(shù)為橫軸，平滑功率譜密度估計(jì)值為縱坐標(biāo)作圖其中波數(shù)與周期關(guān)系四·利用功率譜做周期分析1·利用功率譜圖顯示的不同頻率振動的功率大小就可以確認(rèn)主要振動及其對應(yīng)的周期但是，由此確認(rèn)的周期是否有統(tǒng)計(jì)意義，還需要做顯著性檢驗(yàn)。四·利用功率譜做周期分析2·離散功率譜檢驗(yàn)∵的總方差可以分解為個波動方差之和∴可利用方差檢驗(yàn)的方法假設(shè)統(tǒng)計(jì)量其中為原序列方差顯著反之不顯著四·利用功率譜做周期分析3·連續(xù)功率譜檢驗(yàn)（1）連續(xù)功率譜檢驗(yàn)基本思路與非周期性隨機(jī)過程比較來進(jìn)行非周期性隨機(jī)過程：一般指兩種過程，白色噪音過程和紅色噪音過程。這里的比較過程可通過譜曲線進(jìn)行。四·利用功率譜做周期分析（2）紅色噪音過程的功率譜紅色噪音過程即是一階馬爾柯夫過程或一個自回歸模型。∴紅色噪音功率譜為四·利用功率譜做周期分析上面求和式展開可由三部分組成。當(dāng)有當(dāng)有當(dāng)有四·利用功率譜做周期分析將上三部分帶回原式四·利用功率譜做周期分析可見，紅噪音譜在有其最大值，即只有線性直線趨勢而無其他周期振蕩。（3）白色噪音過程功率譜白噪音：自協(xié)方差可見，白色噪音過程是另一種周期過程（4）顯著性檢驗(yàn)五濾波1·問題的提出2·濾波方法的基本思想3·低通過濾4·高通過濾5·帶通過濾1·問題的提出

在前述的譜和功率譜的討論中，我們可以概括功率譜圖上現(xiàn)實(shí)的不同頻率振動的功率大小,（也即方差貢獻(xiàn)的大小）即譜值最大來確認(rèn)主要振動及其相應(yīng)的主要周期；并通過顯著性檢驗(yàn)來確認(rèn)顯著性主要周期的存在，從而獲得時(shí)間序列中的主要周期信息。然而，在氣象要素的譜分析過程中，一些規(guī)則周期占有很大的分量，例如月均序列分析中，年變化的周期一定是主要周期，當(dāng)這種周期確實(shí)眾所周知的，它的存在，壓低了其他周期的表示，一旦把它去掉，則可突出的表現(xiàn)其他周期的成分，這在實(shí)際的氣象分析和研究工作中都是很有意義的需求。1·問題的提出那么如何突出提取和某些需要的周期成分？解決辦法:濾波（1）含義：去掉某些周期成分，突出所需的周期成分（2）方法：實(shí)際上是將原來序列經(jīng)過一定的變換轉(zhuǎn)化為另一序列（的過程）這個過程通常稱為濾波過程。2·濾波方法的基本思想要求:過濾器系統(tǒng)具有時(shí)間不變性和穩(wěn)定性，如果用一脈沖函數(shù)作為輸入，其輸出記為稱為脈沖響應(yīng)。對任意輸入函數(shù)，可表示成無窮脈沖的積分形式根據(jù)線性和時(shí)間不變性的要求，輸出亦可表示成無窮脈沖響應(yīng)的積分形式據(jù)前述復(fù)譜的概念稱脈沖函數(shù)的譜為頻率響應(yīng)，記為輸入的譜記為輸出的譜記為2·濾波方法的基本思想由功率譜公式故輸出的功率譜為可見通常對某一頻率的振動，通過過濾后，其方差有所削弱，其削減量是輸入與輸出的功率譜比值即3·低通過濾（1）含義：使過濾后的序列主要含低頻振動分量的過濾稱為低通濾波。（2）方法一：滑動平均方法令則輸出函數(shù)為取截?cái)嗷瑒娱L度為k,有其中稱為滑動權(quán)重系數(shù)，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，要求例如間隔時(shí)間取3點(diǎn)，5點(diǎn)……滑動平均（并取等權(quán)重，如）2.56.70.39.81.23.56.04.37.13·低通過濾頻率響應(yīng)對過濾后的序列

不同頻率方差削弱的考慮，利用

的譜的表示，寫成離散形式對一般的等權(quán)重過程，若取間隔時(shí)間

則（對以年為時(shí)間間隔的氣象序列，這種過程稱為m年滑動平均）3·低通過濾

下面考察這種過程對原序列所含的各種周期振動的影響其中當(dāng)

足夠小時(shí)，近似有

故3·低通過濾討論：在通常的滑動平均中對于無窮大周期即低頻，頻率響應(yīng)為表示過濾后無任何削弱低頻無影響對于周期等于滑動間隔為m的周期振動，即則表示這種周期振動全部削弱，而周期振動也全部削弱。對于大于m的周期其總是小于1，這類周期有不同程度的方差或振幅削弱，周期越大，削弱程度越小。3·低通過濾（3）方法二：二項(xiàng)系數(shù)滑動方法：在滑動間隔m內(nèi)，滑動步長與

的關(guān)系當(dāng)m=3時(shí)，k=1,二項(xiàng)系數(shù)

為1,2,1.故權(quán)重系數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)

之間當(dāng)時(shí)，有極大值低頻保留大當(dāng)時(shí)，有極小值高頻削弱大4·高通過濾（1）含義：使過濾后的序列主要含高頻振動的分量（2）一階差分過濾（3）q階差分過濾利用后移算子B的形式有一階q階設(shè)B的多項(xiàng)式為則4·高通過濾（4）q階差分過濾的頻率響應(yīng)由于關(guān)于y落后k的自相關(guān)函數(shù)可表示為則功率譜4·高通過濾4·高通過濾即頻率響應(yīng)取其實(shí)部有可見，對于高頻振動，無削弱對于低頻振動，完全削弱階數(shù)愈高，削弱速度愈快，過濾效果愈好。5·帶通過濾（1）含義：使過濾后的序列主要含某一感興趣的頻帶的振動。（2）方法一：用兩個簡單的低通（或高通）濾波器來構(gòu)成一個帶通濾波器例子：5年滑動平均濾掉5年一下的波

9年滑動平均濾掉9年一下的波兩個過濾后的序列相減，可得到5~9年周期波動的序列。5·帶通過濾方法：第一次第二次則頻率響應(yīng)函數(shù)缺陷：效果不理想，對感興趣頻帶有較大削弱5·帶通過濾（3）方法二：理想帶通濾波器設(shè)計(jì)思想：過濾出中心頻率頻率帶范圍內(nèi)的序列，希望頻率振動無任何削弱，不在頻帶內(nèi)的振動削弱為0.方法：相應(yīng)的頻率響應(yīng)分段設(shè)計(jì)5·帶通過濾例如設(shè)計(jì)11年周期，即的