26應(yīng)用一元二次方程（第一課時）教學(xué)設(shè)計

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6．應(yīng)用一元二次方程（一）

山東省青島市其次十一中學(xué)周雪皎

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程及其解法，對于方程的解及解方程并不陌生，對于實際問題的應(yīng)用，雖然在七、八年級學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行了有關(guān)的訓(xùn)練，但還是有一定的難度。

由于本節(jié)內(nèi)容針對的學(xué)習(xí)者是九年級上學(xué)期的學(xué)生，已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗和初步的解一元二次方程的經(jīng)驗，樂意并能夠與同伴進(jìn)行合作交流。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課的主題是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，這也是方程教學(xué)的重要任務(wù)。但學(xué)生應(yīng)用意識和能力的發(fā)展不是自發(fā)的，需要通過大量的應(yīng)用實例，在實際問題的解決中讓學(xué)生感受到其廣泛應(yīng)用，并在具體應(yīng)用中加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力。因此，本節(jié)教學(xué)中需要選用大量的實際問題，通過列方程解決問題，并且在問題解決過程中，促進(jìn)學(xué)生分析問題、解決問題意識和能力的提高以及方程觀的初步形成。顯然，這個任務(wù)并非某個教學(xué)活動所能達(dá)成的，而應(yīng)在教學(xué)活動中創(chuàng)設(shè)大量的問題解決的情境，在具體情境中發(fā)展學(xué)生的有關(guān)能力。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：知識目標(biāo)：

通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決問題，認(rèn)識方程模型的重要性，并總結(jié)運用方程解決實際問題的一般過程。

能力目標(biāo)：

1、經(jīng)歷分析和建模的過程，進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效的數(shù)學(xué)模型；

2、能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力；

1

情感態(tài)度價值觀：④在問題解決中，經(jīng)歷一定的合作交流活動，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力。

三、教學(xué)過程分析

本課時分為以下五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回憶穩(wěn)定，情境導(dǎo)入；其次環(huán)節(jié)：做一做，摸索新知；第三環(huán)節(jié)：練一練，穩(wěn)定新知；第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)；回憶穩(wěn)定，情境導(dǎo)入

活動內(nèi)容：提出問題：還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？

①在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？②假使梯子長度是13米，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？假使相等，那么這個距離是多少？

分組探討：

①怎么設(shè)未知數(shù)？在這個問題中存在怎樣的等量關(guān)系？如何利用勾股定理來列方程？

②涉及到解的取舍問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題進(jìn)行檢驗，決定解終究是多少。

活動目的：以學(xué)生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學(xué)的勾股定理中邊長的關(guān)系為切入點，用熟悉的情境激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，用學(xué)生已有的知識為支點，進(jìn)一步讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想。

活動的實際效果：大部分學(xué)生能夠聯(lián)系以前學(xué)過的勾股定理的三邊關(guān)系對上述問題進(jìn)行思考，能夠在老師的引導(dǎo)下主動地探究問題，取得了比較理想的效果，而且也調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱心，激發(fā)了學(xué)生的思維，為后面的摸索奠定了良好的

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基礎(chǔ)。

其次環(huán)節(jié)做一做，摸索新知

活動內(nèi)容：見課本P53頁例1：

如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點，島上有一補(bǔ)給碼頭。小島F位于BC中點。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。

已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B

到C的途中與補(bǔ)給船相遇，那么相遇時補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果確切到0.1海里）

該部分是學(xué)習(xí)中的難點，在教學(xué)中要給學(xué)生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關(guān)系，不能粗線條解決。在講解過程中可逐步分解難點：①審清題意；②找準(zhǔn)各條有關(guān)線段的長度關(guān)系；③建立方程模型，之后求解。

解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是審清題意，因此教學(xué)中老師要給學(xué)生充分的時間去審清題意，讓學(xué)生自己反復(fù)審題，弄清各量之間的關(guān)系，分析題目中的已知條件和要求解的問題，并在這個前提下抓住圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關(guān)系。

在學(xué)生分析題意遇到困難時，教學(xué)中可設(shè)置問題串分解難點：

（1）要求DE的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？（2）怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？

（4）選定Rt?DEF后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？學(xué)生在問題串的引導(dǎo)下，逐層分析，在分組探討后找出題目中的等量關(guān)系即：速度等量：V軍艦=2×V補(bǔ)給船

時間等量：t軍艦=t補(bǔ)給船

三邊數(shù)量關(guān)系：EF2?FD2?DE2

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弄清圖形中線段長表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補(bǔ)給船的路程，AB＋BE表示軍艦的路程。

學(xué)生在此基礎(chǔ)上選準(zhǔn)未知數(shù)，用未知數(shù)表示出線段：DE、EF的長，根據(jù)勾股定理列方程求解，并判斷解的合理性。

穩(wěn)定練習(xí)：

1、一個直角三角形的斜邊長為7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，那么這個直角三角的面積是多少？

2、如圖：在Rt△ACB中，∠C=90°，點P、Q同時由A、

8cmAP

B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？

3、在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的

Q

C

6cm

B

三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570平方米，問道路應(yīng)為多寬？

說明：三個題目的設(shè)計從簡單問題入手，通過勾股定理解決直角三角形邊長問題；第2題構(gòu)造了一個可變的直角三角形，解決面積問題；第三題也是面積問題，在這個問題中常設(shè)道路寬為x米，其中兩條長為20米，一條長為32米，但要注意路的交織部分。

引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)變圖形進(jìn)行思考：若將圖中的三條路分別向上和向右平移到如下圖的位置，應(yīng)怎樣列方程求解？結(jié)果一樣嗎？哪種方法更簡單？

活動目的：一元二次方程的應(yīng)用問題的類型較多，像數(shù)字問題、面積問題、平均增長（或降低）率問題、利潤問題、數(shù)形結(jié)合問題等；本節(jié)課以教材上的引例作為出發(fā)點，作為素材來浮現(xiàn)，可以將應(yīng)用類型作適當(dāng)?shù)耐卣梗诰毩?xí)中將教材中的應(yīng)用問題歸類浮現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解和把握。本課由數(shù)形結(jié)合問題拓展到面積問題，后面可以在練習(xí)中增加數(shù)字問題，在其次課時在利潤問題上也可增加平均增長率問題等，為學(xué)生浮現(xiàn)更多的應(yīng)用類型，讓學(xué)生在不同的情境中體會

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建模的重要性。由于本節(jié)“一元二次方程的應(yīng)用〞與九年級下冊中的“二次函數(shù)〞的應(yīng)用聯(lián)系密切，所以學(xué)好本節(jié)課可以為后續(xù)知識打下堅實的基礎(chǔ)。

活動實際效果：應(yīng)用問題設(shè)置都經(jīng)過精心準(zhǔn)備。通過問題串的設(shè)立，將比較繁雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學(xué)生在不知不覺中戰(zhàn)勝困難，體會到列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)：整體系統(tǒng)的審清題意；尋覓等量關(guān)系；正確求解并檢驗解的合理性。采取的是一講一練，從穩(wěn)定練習(xí)的確鑿程度上來看，學(xué)生把握得比較好，能夠達(dá)到預(yù)期的效果。

第三環(huán)節(jié)：練一練，穩(wěn)定新知

活動內(nèi)容：1、在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20cm的一個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4800cm2。求原正方形鋼板的面積。

2、有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？

3、《九章算術(shù)》“勾股〞章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙行各幾何。〞大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？

活動目的：通過三道問題的解決，查缺補(bǔ)漏，了解學(xué)生的把握狀況和靈活運用所學(xué)知識的程度。在教學(xué)過程中要以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、合作交流。

活動實際效果：學(xué)生在前面活動中積累的經(jīng)驗，可以幫助學(xué)生比較順利地分析上述問題，遇有疑難可以讓學(xué)生在合作交流中解決，學(xué)生在訓(xùn)練過程中更加理解了建模的重要性．大部分學(xué)生能夠獨立解決問題。

第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟

活動內(nèi)容：問題：1、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵2、列方程解應(yīng)用題的步驟

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3、列方程應(yīng)注意的一些問題

讓學(xué)生在學(xué)習(xí)小組中進(jìn)行回想與反思后，進(jìn)行組間交流發(fā)言。

活動目的：勉勵學(xué)生回想本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，還有什么疑難問題希望得到解決，通過回想進(jìn)一步穩(wěn)定知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中；通過對三個問題的解決，加深學(xué)生利用方程解決實際問題的意識和提高解題的能力；并且通過學(xué)生間的合作學(xué)習(xí)幫助不同層次的孩子解決實際困難，加強(qiáng)孩子學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

活動實際效果：學(xué)生通過回想本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，體會利用列一元二次方程解決實際問題的方法和技巧，進(jìn)一步提高自己解決問題的能力。

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1、甲乙兩個小朋友的年齡相差4歲，兩個人的年齡相乘積等于45，你知道這兩個小朋友幾歲嗎？

2、一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環(huán)圍著寬度相等的小路，已知小路的面積為246㎡，求小路的寬度。

3、有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這兩位數(shù)。

選作題（供學(xué)有余力的學(xué)生選作）：

一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心2023海里的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風(fēng)區(qū).當(dāng)輪船到A處時，測得臺風(fēng)中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100海里.若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風(fēng)?若會，試求輪船最初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由.

BA東

北四、學(xué)法指導(dǎo)

本課是學(xué)生學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后的應(yīng)用課，學(xué)生在七八年級已經(jīng)進(jìn)行過方程應(yīng)用的訓(xùn)練，對于方程的實際應(yīng)用并不陌生，雖然學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行了一定

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的訓(xùn)練，但本課對學(xué)生而言還是有一定的難度。本課采用啟發(fā)式、問題探討式、合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方