醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案

234量定類(lèi)變定序變量量進(jìn)行列聯(lián)表分(餅圖)(離散變量、連量，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析(一)常用統(tǒng)計(jì)量公式(原始數(shù)x=1nxnin公式(分x1kmfniin反映數(shù)據(jù)取5x數(shù)MeMo|(n+1)22Me=〈|((n)+x(n+1)),當(dāng)22數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)中位數(shù)所累積頻數(shù)的那個(gè)最眾數(shù)所在組:頻數(shù)最大值的平均水據(jù)分布集中趨勢(shì)的最主要測(cè)度值,受極端值的測(cè)度定性數(shù)對(duì)于定量數(shù)6R2R=最大值2=1N(xx)2Nii=1=2Nii=1公式(分R≈最高組Niii=1=21N(mx)2fNiii=1反映離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值，不能反映中間數(shù)反映每個(gè)總體數(shù)據(jù)偏離其總體均值的平均程度，是離散程度的最重要測(cè)度值,其中標(biāo)準(zhǔn)差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同S2=1n(xx)2n1ii=1S2=1k(mx)2fn1iii=1反映每個(gè)樣本數(shù)7=1n(xx)2n1ii=1=1k(mx)2fn1iii=1據(jù)偏離其樣本均值的平均程度，是離散程度的最重要測(cè)度值,其中標(biāo)準(zhǔn)差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同CV=SSxn反映數(shù)據(jù)偏離其差，是無(wú)量綱的反映樣本均值偏離總體均值的平均程度，在用樣本均值估計(jì)總體8稱(chēng)數(shù)據(jù))數(shù)據(jù))KuiiiS=innxx3[(xx)2]2(n1)K=iiS(原始數(shù)據(jù))性kk9k(mx)4k(mx)4fiiK=i=13Ku＞0時(shí)為尖Ku＜0時(shí)為扁三、綜合例題解析例1．證明：各數(shù)據(jù)觀察值與其均值之差的平方和(稱(chēng)為離差平方和)最小，即iii=1i=1證一：設(shè)f(C)=n(xC)2ii=1f(C)=2n(xC)=2nx+2nC,f(C)=2niii=1i=1令f(C)=0，得唯一駐點(diǎn)nini=1ii=1iiiiii=1i=1i=1i=1i=1ii=1=n(xC)20故有n(xx)2n(xC)2。iii=1i=1四、習(xí)題一解答1．在某藥合成過(guò)程中，測(cè)得的轉(zhuǎn)化率(%)如下：數(shù)分布表；(2)作頻數(shù)直方圖和頻率折線圖；(3)根據(jù)頻數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。分布表轉(zhuǎn)化率頻數(shù)頻率累積分組頻率5 91.0~00.000.02592.0~92.5~993.0~793.5~794.0~2(2)頻數(shù)直方圖：977231086420轉(zhuǎn)化率頻率折線圖頻率0.3轉(zhuǎn)化率0轉(zhuǎn)化率9090.59191.59292.59393.59494.595(3)由頻數(shù)分布表可得轉(zhuǎn)化率組中頻數(shù)ii 90.5~90.75191.0~91.25091.5~91.75392.0~92.2592.5~92.7593.0~93.2593.5~93.7594.0~94.259772nii4040i=1i=114222．測(cè)得10名接觸某種病毒的工人的白細(xì)胞(109/L)如下：(1)計(jì)算其樣本均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤和變異系數(shù)。(2)求出該組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值；(3)計(jì)算其偏度。ii=1ii=1樣本均值x=1nx=67.75=6.775ni10i=1標(biāo)準(zhǔn)誤S===0.193xn40S0.609(2)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值公式為xxx6.775u=i=i應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化值為 (3)S=i=0.204。數(shù)據(jù)如下表所示的的比例(%)組(元)200~500~800~試計(jì)算(1)該市平均每戶(hù)月人均支出的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)并指出其月人均支出的中位數(shù)與眾數(shù)所在組。 組中值比例(%(%)200~500~800~上fnii100i=11(2)由原分組數(shù)據(jù)表可得支出分比例累積比 組(元)(%)例(%) C00~S00~6I.8800~I00I000以上vxIxCxnyIyCyn關(guān)系：y=xaiibi=1,2,…,nxy解：y=1ny=1n(xia)=1(1nxna)=xaninbbninbSn(yy)2=1n(xaxa)2=1n(xx)2yn1in1bbn1bii=1i=1b2n1ib2xi=1五、思考與練習(xí)(一)填充題3.用于數(shù)據(jù)整理和統(tǒng)計(jì)分析的常用統(tǒng)計(jì)軟件有4.描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的常用測(cè)度值主要有、、和等，其中最重要的是；描述數(shù)據(jù)離散程度的常用測(cè)度值主(二)選擇題A．樣本均值不變，樣本標(biāo)準(zhǔn)差改變B．樣本均值改變，樣本標(biāo)準(zhǔn)差不變CD.兩者均改變2．關(guān)于樣本標(biāo)準(zhǔn)差，以下哪項(xiàng)是錯(cuò)誤的()。A．反映樣本觀察值的離散程度B．度量了數(shù)據(jù)偏離樣本均值D均值3．比較腰圍和體重兩組數(shù)據(jù)變異度大小宜采用()A．變異系數(shù)(CV)B．方差(S2)C．極差(R)D．標(biāo)準(zhǔn)差(S)(三)計(jì)算題1.在某次實(shí)驗(yàn)中，用洋地黃溶液分別注入10只家鴿內(nèi)，直至動(dòng)物死亡。將致死量折算至原來(lái)洋地黃葉粉的重量。其數(shù)據(jù)記錄為(單位：mg/kg)標(biāo)準(zhǔn)誤和變異系數(shù)。六、思考與練習(xí)參考答案(一)填充題4.均值、眾數(shù)、中位數(shù)，均值，極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(二)選擇題(三)計(jì)算題第二章隨機(jī)事件與概率驗(yàn)E(試驗(yàn)E(試一、學(xué)習(xí)目的和要求算。二、內(nèi)容提要(一)基本概念概念號(hào)具有以下特征的觀測(cè)結(jié)果事間件(樣本件A(事件現(xiàn)哪一試驗(yàn)所有可能結(jié)果組試驗(yàn)的每個(gè)不可再分試驗(yàn)中可能發(fā)生也可基本事件組成的樣本在試驗(yàn)中一定發(fā)生的在試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件，不含任何基本空集(二)事件間的關(guān)系關(guān)系差符號(hào)AB仁A=BA+B(AAB(AA－B事件A的發(fā)生必然事件A與B中至少有事件A與B同時(shí)發(fā)生事件A發(fā)生同時(shí)B不A是BA與BA與BA與BA與B容事件A與B不可能同A與B時(shí)發(fā)生不相交事件A不發(fā)生A的補(bǔ)A集(余(三)事件的運(yùn)算規(guī)律式律A+B=B+A，AB=BAA+B=AB，AB=A+B(四)概率的定義類(lèi)型義定義公式P(A)=mA所含的基本事件數(shù)=n本事件總數(shù)P(A)=p(≈f(A)=nA)nn事件A對(duì)應(yīng)則稱(chēng)P(A)為隨機(jī)事件A的概(五)概率的計(jì)算公式式若A、B互不相容(AB=)：AAP(B)式(P(B|A)=P(A)A、B相互獨(dú)立：A1,A2,…,An相互獨(dú)立：若A1,A2,…,An為完備事件iii=1若A1,A2,…,An為完備事件(貝葉*完備事{A1,A2,…,An}P(A)P(B|A)P(A|B)=jjjnP(A)P(B|A)iii=11.A1,A2,…,An互不相容且三、綜合例題解析A={從池中捉到有記號(hào)魚(yú)}到有記號(hào)魚(yú)的概率n由統(tǒng)計(jì)概率的定義知，它近似于捉到有記號(hào)魚(yú)的頻率fn(A)=，即取法作為每個(gè)基本事件，顯然本例屬于古典概型問(wèn)題，可利用組合數(shù)來(lái)P(A)=28235235==0.5。解二：本例也可以先計(jì)算其對(duì)立事件A={總值不超過(guò)一角}硬幣、貳分硬幣的不同個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算其有利情形的組合數(shù)。則CCCCCCCCC126P(A)=1P(A)=1555533253=1=C252或C5+C1(C4+C1C3)126或P(A)=1P(A)=182535=1=0.5例例3將n個(gè)人等可能地分配到N(nN)間房中去，試求下列(1)A={某指定的n間房中各有一人}；(2)B={恰有n間房，其中各有一人}；(3)C={某指定的房中恰有m(m≤n)個(gè)人}。nAnn任n!P(A)=出n間房(共有Cn種選法)，然后對(duì)于選出的某n間房，按照上面的分N析，可知B共含有Cn·n！個(gè)基本事件，從而N(3)對(duì)于事件C，由于m個(gè)人可從n個(gè)人中任意選出，故有Cm種nNN－1)n-m種分配法，故C中共含有Cm·(N－1)n-m個(gè)基本事件，因此nCm(N1)nm11P(C)=n=Cm()m(1)nmNnnNN注意：可歸入上述“分房問(wèn)題”來(lái)處理的古典概型的實(shí)際問(wèn)題非常(1)生日問(wèn)題：n個(gè)人的生日的可能情形，這時(shí)N=365天(n≤(2)乘客下車(chē)問(wèn)題：一客車(chē)上有n名乘客，它在N個(gè)站上都停，P(AB)=P(A+B)=1P(A+B)=1[P(A)+P(B)P(AB)],例5設(shè)某地區(qū)位于河流甲、乙的交匯處，而任一何流泛濫時(shí)，該(2)該時(shí)期內(nèi)該地區(qū)被淹沒(méi)的概率。解：令A(yù)={河流甲泛濫}，B={河流乙泛濫}則(1)所求概率為P(A|B)=P(AB)(2)所求概率為因?yàn)锳和B相互獨(dú)立，則9P(AB)=P(AB)P(AB)=P(AB)，PBAP(A)P(AB)=P(B)P(AB)P(A)=P(B)9P(A)=3即P(A)=1P(A)=。3無(wú)殘次品，則買(mǎi)下該箱玻璃杯，否則退回。試求(1)顧客買(mǎi)下該箱的概率α；(2)在顧客買(mǎi)下的一箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率β。員取的那一箱可以是這三類(lèi)中的任一箱，顧客是在售貨員取的一箱中檢這類(lèi)問(wèn)題的概率計(jì)算一般可用全概率公式解決，第二問(wèn)是貝葉斯公式也首先令A(yù)={顧客買(mǎi)下所查看一箱}；P(B)=0.8,P(B)=0.1,P(B)=0.1,012P(AB)=1,P(AB)=19=20(1)由全概率公式，有ii519i=0(2)由逆概率公式，得=P(BA)=P(B0)P(AB0)0.810.850P(A)0.94證：令A(yù)i={第i次試驗(yàn)中事件A發(fā)生},i=1,2,3,…AAnP(A+A+…+A)=1－P(AA…A)12n12n12n12nn+四、習(xí)題二解答事件A={1，3，5}；B={4，5，6}。(3)三個(gè)都出現(xiàn)；(4)三個(gè)中至少有一個(gè)出現(xiàn)；(5)三個(gè)中至少有兩個(gè)出現(xiàn)；(6)三個(gè)都不出現(xiàn)；(7)只有一個(gè)出現(xiàn)；(8)不多于一個(gè)出現(xiàn)；(9)不多于兩個(gè)出現(xiàn)。解：(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC(5)ABC+ABC+ABC+ABC(6)ABC或－(A+B+C)或A+B+C(7)ABCABCABC32(8)ABCABCABCABC(9)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC或－ABC或ABC現(xiàn)從26個(gè)英文字母中任取兩個(gè)字母排成一個(gè)字母對(duì)，求它恰是上述字解：現(xiàn)將從26個(gè)英文字母中任取兩個(gè)字母件的每種取法作為每個(gè)古典概型問(wèn)題。m5555P====0.0846?；騊(B)=m==0.5088；nC3(3)P(C)=m=C=0.0035；(4)P(D)=m=C=0.4912。AB大號(hào)碼為5}(1)對(duì)事件A，所選的三人只能從5~10中選取，而且5號(hào)必定被選中。P(A)=m==1=0.0833；(2)對(duì)事件B，所選的三人只能從1~5中選取，而且5號(hào)必定被選中。P(B)==14==0.05。7．某大學(xué)學(xué)生中近視眼學(xué)生占22%，色盲學(xué)生占2%，其中既是近視眼又是色解：設(shè)A={被抽查者是近視眼}，B={被抽查者是色盲}；(1)利用加法公式，所求概率為(2)所求概率為注意：上述計(jì)算利用了德·摩根對(duì)偶律、對(duì)立事件公式和(1)的結(jié)果。式、差積轉(zhuǎn)換律、對(duì)立事件公式和事件之差公式。則即故P(A)則即故P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(BA)P(B)P(AB)9．假設(shè)接受一批藥品時(shí)，檢驗(yàn)其中一半，若不合格品不超過(guò)2％，則接收，否解：設(shè)A={50件抽檢藥品中不合格品不超過(guò)1件}，據(jù)題意，僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，該批藥品才被接收，故所求概率為PA595=0.1811。(1)若A與B互不相容，則A和B不獨(dú)立；AAB(2)由已知P(B|A)=P(B|A)，又P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)==(2)又證：由已知P(AB)P(BA)P(B)P(AB)P(AB)P(BA)P(B)P(AB)(3)P(B|A)=P(AB)概率P(AB)P(B)0.4P(B|A)====0.5。P(A)P(A)0.8解：設(shè)A={甲譯出該密碼}，B={乙譯出該密碼}，C={丙譯出該密碼}.的概率為534或或=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P(A)12112112112145345354345345解：設(shè)A={甲種籽能發(fā)芽},B={乙種籽能發(fā)芽}(1)所求概率為=1－P(A)P(A)…P(A)=1－(P(A))n=1－(1－p)n；12n1(2)設(shè)甲、乙兩城間至多只能設(shè)n個(gè)中繼站，由題意，應(yīng)滿足2n有若干門(mén)這樣的炮獨(dú)立地同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈，問(wèn)欲以99%的把握擊中飛Ak={第k門(mén)炮擊中飛機(jī)},k=1,2,…,n，AAAn有1AAA3分別表示從甲袋中任取一球?yàn)榘浊?、紅球、黑球；兩球顏色相同的概率為31076159207252525252525625解：由題中已知條件可得示患甲種疾病。則由題意知P(A1)=9，P(A2)=7，P(A3甲種疾病的發(fā)病概率為4202020B(1)該地成年人患高血壓的概率為(2)若已知某人患高血壓病，他屬于肥胖者(A1)、中等者(A2)、瘦小者(A3)概率分別為P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)=0.820.1=0.7736P(B)0.106P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B)機(jī)是三人擊中的概機(jī)被擊落。則A1、A2、A3相互獨(dú)立，且由題意可得23123P(B1)=P(AAA+AAA+A23123P(B1)=P(AAA+AAA+AAA)=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123123123123123123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)23123123123123123123P(B2)=P(AAA+AAA+AAA)=123123123123123123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)23123123(1)敵機(jī)被擊落的概率為(2)所求概率為五、思考與練習(xí)(一)填充題(3)若A仁B，則P(A+B)=，P(B－A)=。P(AB)=。在每次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率是。(二)選擇題1.下列說(shuō)法正確的是()A.任一事件的概率總在(0,1)之內(nèi)B.不可能事件的概率不A.甲，乙兩種藥品均暢銷(xiāo)B.甲種藥品滯銷(xiāo)，乙種藥品暢銷(xiāo)CD.甲種藥品滯銷(xiāo)或乙種藥品暢銷(xiāo)倍數(shù)的概率為()77A.B.5010015C.D.1004.設(shè)A和B互不相容,且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是()A.P(B|A)>0B.P(A)=P(A|B)C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)(三)計(jì)算題件:(1)AB；(2)A+B。(1)數(shù)字各不相同的電話號(hào)碼(事件A)；(2)不含2和7的電話號(hào)碼(事件B)；(3)5恰好出現(xiàn)兩次的電話號(hào)碼(事件C)。(1)第一卷出現(xiàn)在兩邊；(2)第一卷及第五卷出現(xiàn)在兩邊；(3)第一卷或第五卷出現(xiàn)在兩邊；(4)第三卷正好在正中。求(1)該藥品是次品的概率；(2)若已知任取的藥品是次品，求該次品是由三廠生產(chǎn)的概率。是新球，求第一次取到的都是新球的概六、思考與練習(xí)參考答案(一)填充題(二)選擇題 1 3(三)計(jì)算題(1)AB={1,6,7}；(2)A+B={1，3，4，5，6，7}PBAPA|B3PBAPA|B3P(B3)(2)P(B)=88=0.1678C1A42A2A313.(1)P=24==0.4；(2)P=23==0.1；A55A5105AA51055P23323==0.7P23323==0.7A105A41 (4)P=4==0.2A555(2)()PABP(B)+P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)1122330.400.40===B={第二次取出的球都是新球}。12kk212PAPBAP(B)iii=0第三章隨機(jī)變量及其分布離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)；布等的性質(zhì)及概率計(jì)算；二、內(nèi)容提要(一)隨機(jī)變量及常用分布1.離散型隨機(jī)變量及常用分布名稱(chēng)律定義x1x2…xkxp1p2…Ppk…0X1qPpP{X=k}=性質(zhì)或背景備注1.pk≥0，k=1,2,…p=1k二項(xiàng)分布X為n重貝努EX=npBn,p)，nk=0,1,…,ne入e，,,里試驗(yàn)中Ank!EX=入D(X)=入p較小)何MNMNk=1,2,…,min(M,n)MpNCkCnklimNNM=CkpkqnkN+CnnNEX=nMNnM(Nn)(NM)D(X)=N2(N1)2.連續(xù)型隨機(jī)變量及常用分布名稱(chēng)定義性質(zhì)或背備注數(shù)f(x)布有P{a<X≤af(x)=(景1.f(x)≥0P{a<X≤b}=ba()ba2.(x)可等價(jià)定XF(x)=xf(t)dt,EXD(X)=1布E()布)f(x)ex其它,f(x)ba,f(x)=數(shù)常用作“壽命”分布若X服從分布LN則lnX~EXD(X)=1/2E(X)=22r,a2r,a2f(x)=m=1且分布函數(shù)為F(x)=定義性﹣∞＜x＜2.F(﹣F(a)+∞∞)=0,F(+型X型XF(x)=xp,iiixjxftdt,3.F(x)對(duì)x4.F(x)為右pP{X=x}kkkkf(x)=F,(x)P{a<X≤a(二)隨機(jī)變量的數(shù)字特征類(lèi)定義性質(zhì)備注型離散型1.E(C)＝C(C描述隨E(X)kk連續(xù)型E(X)±E(Y)水平獨(dú)立,則E(X)·E(Y)方差D(X)=E[(X1.D(C)＝0(CD(X)差(X)(X)=D(X)=E[(XEX)2]獨(dú)立,則XEX差pXY=E[(X－E(X))(Y－E(Y))]E(X)·E(Y)Cov(X,Y)pXY=D(X)D(Y)b使得與Y的度與Y間pXY=0，3.X與Y獨(dú)立稱(chēng)X與X與Y不相Y不相(三)隨機(jī)變量函數(shù)的分布X的分布離散型X連續(xù)型XX的分P{X=xk…X的密fX(x)yjf(x)dx{x:g(x)y}XY=g(X)的密度：fY(y)=F′Y(y)若y=g(x)在fX(x)非零區(qū)調(diào)，h(y)是E(Y)=E[g(X)]=g(x)pkkE(Y)=E[g(X)](四)二維隨機(jī)向量及分布1.二維離散型隨機(jī)向量名稱(chēng)律X的ijijiijij=1jijji=1ij注(概率分布加”加”性一iji..j分布完全確定其聯(lián)合分2.二維連續(xù)型隨機(jī)向量度f(wàn)(x,y)X的邊Df(x)=j+wf(x,y)dyX_wf(x)=j+wf(x,y)dxY_w1.f(x,y)≥01注1212xy_w_w隨機(jī)變量XfX(x)=FX,(x)隨機(jī)變量YfY(y)=FY,(y)獨(dú)立一f(x,y)=f(x)f(y)XY布(X,Y)~12分布完全確定其聯(lián)合分X~N(,2)2實(shí)用中由試p是X與Y的名稱(chēng)3.二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)定義性質(zhì)或試驗(yàn)背景F(x,y)＝P{XF(x,y)=pijijxxyyij注f(x,y)=?x?y型型X的F(x)=limF(x,y)Xy+F(x)=limF(x,y)Yx+FYyY的分布確定FX(x)(五)大數(shù)定律和中心極限定理名稱(chēng)條件結(jié)論備注xnxn夫夫律X的E(X)、D(X)均限設(shè){Xk}為分布的又222(1nnlim(1nnn)+wlnk=1xX即xXkkkJP)山均值和方差時(shí)，估計(jì)XE(X)的偏差大(小)于c的X1nXkk依概率收斂nn)律勒維-林D(Xk)=a2)均存在設(shè)rn~Bnp); (或rn為n重貝件A發(fā)生設(shè){Xk}為對(duì)任意ε＞0，有n)的(n)即A發(fā)生的頻率rnP)pn令xnX-nr，則YkYkn以嚴(yán)格數(shù)學(xué)“頻率的穩(wěn)在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，用率作為其概k從N(nr,na德莫佛-理分布的又E(Xk)=,D(Xk)=2)均存在設(shè)n~Bnp); (或n為n重貝Yn~N(0,1)(近YnYnlimPYx(x)nnY~N(0,1)(近n似),或n~N(np,npq)(近當(dāng)n很大n()().()().情形中件A發(fā)生似)三、綜合例題解析，Aii口首次遇到紅燈}，i=1，2，3,則事件A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P(Ai)=P(Ai)=(i=1，2，3)，P{X=0}=P(A1)=121P{X=1}=P(A)P(A)=12221P{X=2}=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=123123231P{X=3}=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=123123230X231P12111注意：利用性質(zhì)：xp=1，可檢查離散型概率分布律的正確與否。iiP{X=x}=1-xp。0i23求：(1)常數(shù)A、B；(2)概率密度函數(shù)f(x)。x)+wx)0+0x0x0(2)所求密度函數(shù)為f(x)F(x)2e2,x0x0布，故所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知~U[1，6]，求P{||≥2}?，F(xiàn)因在[1，6]上服從均勻分布，則的概率密度為221555解：由于X~N(2,2)，故P{2X4}(42)(22)(2)(0)0.3σσσ2注意：在正態(tài)分布的概率計(jì)算中，首先要將它標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化為利用由題設(shè)知，X~N(1，2)，Y~N(0，1)。則由期望和方差的性質(zhì)得Z也為正態(tài)隨機(jī)變量，即Z~N(,2)，且f(z)e29,z。Z32注意：本題主要考察的性質(zhì)是：一是獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合仍為試求Ysin(X)的概率分布律。2 X123456602-1…P12122123124125126127…則Y=sin(X)只以﹣1，0，1為其取值，其取值概率為2111112=+++…==；2327211222426413422529218 (或P{Y=1}=1－P{X=﹣1}－P{X=0}=1一一=)15 Y1P2183例7設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布律為 X-10 21/6a31312222求：(1)常數(shù)a；(2)聯(lián)合分布函數(shù)在點(diǎn)(,)處的值2222ijp=1ijij知1ij4461=p=1+1+ij446ij (2)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)(,)處的值應(yīng)為223131111FPXYPXY一1}+P{X=1,Y=0}=+=。2222442的點(diǎn)(xi，yj)的概率pij找出來(lái)，然后求和就可以了。12121122度分別為11f11f(x)=1,X1f(y)=f(y)=2,Y2=e=e2(2.e2(221(必要性)若已知X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意x，y，有f(x,y)=fX(x).fY(y),1212布函數(shù))。Xi的第i箱的重量(千克)，n為最多可以裝的箱ii1i=D(Xii2n(1)設(shè)X表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，用中心極限解(1)因X~B(1000，0.7)，由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理得P{650X750}P650npXnp750npnpqnpqnpqnn方法三：當(dāng)n方法三：當(dāng)n較大，而p不太小時(shí)，用中心極限定理作正態(tài)近似計(jì)算的可靠性(即部件正常工作的概率)為0.9，且必須至少有80%的部件 0.21n) 0.21n)，i(2)二項(xiàng)分布概率的計(jì)算，可總結(jié)為下述三種方法；方法一：X~B(n,p)，且不太大(n≤20)時(shí)，直接計(jì)算。n方法二：當(dāng)n較大，且p較小(n≥20，p＜0.1)時(shí)，由泊松定理，X12P靠性不低于0.95？(2)若該系統(tǒng)由85個(gè)部件組成，則該系統(tǒng)的可靠性Xn件數(shù)}，則X~B(n,0.9)。(1)由題意應(yīng)求出n，使得nnn能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。3(2)所求可靠性為四、習(xí)題三解答X2﹣0.50.9P0.6kk=1PX=5=0.1，5X5X5X0125(2)求X取偶數(shù)的概率。133P{X=k}=()k一1=133444k(2)X取偶數(shù)的概率3 424442k142-11542 X0123 k3故p3=1－0.7=0.3。當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；當(dāng)2≤x<3時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+xFxPXxPX0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} X-202kkkk 百分比(%) 5kkkkkkkkP(X=k)=a,k=1,2,…,NNkNNNNk=1kkNNN22NNNNkkNNN66DXEXEX=N2112又則又則xpkpqkpkqkpqqqkkE(X)－qE(X)=p(1+q+q2+…)=plim1qn=p1=1;故E(X)=1=1。故1qpEXkpqk1pkqk1對(duì)此級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得dqdq從而E(從而E(X)p(1q)2pp2p。Cx,0x1f(x)0,其他E(X)。0202(2)|,|0.30.30.3x-w-w-w-w00-w-w010|||-w0303試求：(1)P{X＜4}，P{X＞1}；(2)概率密度函數(shù)f(x)。其他試求(1)分布函數(shù)F(x);(2)數(shù)學(xué)期望E(X)。-w-w-w-w02-的-的0120212222-的-的0122021||,|-()(-的01303112．設(shè)隨機(jī)變量X在(0，5)上服從均勻分布，求方程4t2+4Xt+|,|,X－X－2≥0=P{X≥2}+P{X≤﹣1}=j51dx+0=3=0.6。255若供給車(chē)間9單位電力，則因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率等于多少？(3)供給車(chē)間(1)因?yàn)?2)所求概率為(查附表2)(3)設(shè)供給車(chē)間m單位電力,則電力不足的概率為kmk=m+1pYBpP{X≥1}=1－P{X=0}=1－(1－p)2=99333P{Y≥1}=1－P{Y=0}=1－(1－p)3=1－(2)3=19。15．某地胃癌的發(fā)病率為0.01％，現(xiàn)普查5萬(wàn)人，試求(1)沒(méi)有胃癌患者的概(1)所求概率為(1)所求概率為k!P{X=k}=4ke4，k=1，2，…；k! k!22222解：(1)因X~N(90,0.52),則X (2)依題意應(yīng)有即則故d≥80+0.5×2.33=81.165。產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cm)服從參數(shù)=10.05,=0.06的正態(tài)分布，如果規(guī)解：螺栓為合格品的概率的概率則故則故CC則即故又31415p，p2==P{X<x1}=(x1一60)=p=1=0.25,314334x一605731212-w00(2)2-w00303X－04P1/81/41/81/61/32﹣X0.54X22P40一200 20(1)則2X+1的分布律為 (2)則X2的分布律為X00.25416 (3)則sin(X)的分布律為2一一2f(y)=F(y)=(jf(x)dx)=f(y)(y)=1f(y)=1y；Y0XX222X22Y|0其它解二：考察Y=2X的對(duì)應(yīng)函數(shù)y=2x，在fX(x)的非零區(qū)間(0，1)f(x則則則f(y)=F(y)=0；Yf(y)=F(y)=0。Yy'=2>0，則y=2x為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其取值范圍是(0，2)，故可利用定理公式法。x=h(y)=y,h'(y)=1，22Y0,|0,|y,|0,0y2其它25．已知球體直徑X在(a，b)內(nèi)服從均勻分布，其中0<a<b，試"求：(1)球體積Y的概率密度；(2)P{0<Y<C}的值(0<C<b3)。(1)球體積為326顯然對(duì)應(yīng)函數(shù)y=1"x3在(a，b)上為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其對(duì)應(yīng)取值范圍是6 66由y=1"x3得其反函數(shù)為6"3"，"3"，Yl0,|l0,|l0,其它|6"6"取2支，若X、Y分別表示抽出的蘭筆數(shù)和紅筆數(shù)，試求(X，Y)的聯(lián)P{X=i,Y=j}=p=CiCjC2ij323,i,j=0,1,2;0i+j2ijC28 X203 16 9 1 6 02 3 0027．已知(X，Y)的聯(lián)合概率分布為YX12311613191a21 1 btjij69183abp969189a92lXY解：(1)因j+wj+wf(x,y)dxdy=j1j1Axydxdy一w一w0000224(2)X的邊緣密度為X一wl0|l0l0,其它Y一wl0|l0l0,其它(3)由(2)解得的邊緣密度可得29．設(shè)隨機(jī)向量(X，Y)服從正態(tài)分布，并且已知求(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)。解：因隨機(jī)向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合分布密度為則1 2則故則故pXY=D(X)D(Y)，XE(X)=12，D(X)=9，用切比雪夫不等式估計(jì)解：由切比雪夫不等式得3632．某炮群對(duì)空中目標(biāo)進(jìn)行80次射擊中，每次炮彈命中顆數(shù)的目擊中命中目標(biāo)的炮彈總顆數(shù)X=80X~N(n,n2)(近似)k值為44npqnpq75(一)填充題|0.3|0.3X-113P5．設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)取下列數(shù)組(0，0)，(－1，1)，(－1，2)，2cc4c4cccXnn的時(shí)，Yn=xnX于。(二)選擇題A.b是大于零的任意實(shí)數(shù)B.b=a+1C.C1人，則患病人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差分別為()正確的有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)A.μ越大B.越大C.μ越小D.越小C.必有E(XY)=E(X)E(Y)D.必有D(X+Y)=D(X)+D(Y)A.有相同的數(shù)學(xué)期望B.有相同的方差C.服從同一指數(shù)分布D.服從同一離散型分布(三)計(jì)算題(1)pkP{X=4}。3276P{X=x}=,P{X=x}=,E(X)=，D(X)32761525525001。設(shè)各元件是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，且只要有一元件發(fā)生故障，儀器就(1)在一次射擊中X絕對(duì)值不超過(guò)15m的概率；(2)在兩次射擊中至少有一次X絕對(duì)值不超過(guò)15m的概率。,又1,x為奇數(shù)時(shí),,又1,x為奇數(shù)時(shí),yyYP{X=y1y3Xxi}=py1y3Xx1181xP{Y=yj}(1)寫(xiě)出X的概率分布；(2)利用德莫佛-拉普拉斯定理，求被盜的索賠戶(hù)數(shù)不少于14戶(hù)且(一)填充題故 1 P0.24.65.322242(二)選擇題2.D4.B5.A(三)計(jì)算題 33.E(X3.E(X2)=D(X)+E(X)2=+=，由題中條件得方程組327E(X)=x+x=152553211E(X2)=x2+x2=15255X12P200k! (2)P{X≥2}≈x2000.2ke-0.2=0.0175。(查表得)k!k=2000裝裝裝0000裝0則-w0101011105yxyx X-11Pq1p=p,p=p，p=p=1i.ij.jiji..jjiijp=p.piji..j116824111而p68241111.6241.4YP{X=Xy3x1111134814P{Y=1613121利用德莫佛-拉普拉斯定理知利用德莫佛-拉普拉斯定理知所求概率為第四章抽樣分布一、學(xué)習(xí)目的和要求二、內(nèi)容提要(一)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念名稱(chēng)定義特性意義總體X研究對(duì)象的將總體理解利用隨機(jī)n(X1,X滿足X滿足：n樣本X1,為服從某一分布的隨機(jī)變量X樣本具有二量(理論分(2)觀察值 泛指時(shí)為隨機(jī)變量，特變量X的性質(zhì)來(lái)研樣本是從機(jī)抽取部分個(gè)體組推斷總體有關(guān)統(tǒng)計(jì)對(duì)樣本所含信息進(jìn)Xn)知參數(shù)的函數(shù)指時(shí)為相應(yīng)行加工提估計(jì)推斷(二)常用統(tǒng)計(jì)量Xnii=11=1n(XX)21ii=1ii=1應(yīng)用用于分析總體均值有E(X)=E(X),D(X)D(X)=n用于分析總體方差D(X)，且有義察值的平均水樣本觀察值偏離樣本均值的差S誤SxSCV=100%|X|SxnxD(X)度量單位反映樣本的相對(duì)離散程度的無(wú)量綱統(tǒng)反映樣本均值的變刻畫(huà)樣本觀察值偏離樣本均且與取值數(shù)據(jù)刻畫(huà)樣本觀察值偏離樣本均可用于比較不同均值樣本相用來(lái)衡量以樣本均值來(lái)推斷估計(jì)總體均值布)t分布t(n)義TTN(0,1)，則X2=nX2~ii=1設(shè)X~N(0,1)，Y~X~t(n)=1.X~X2(n)，則E(X)2.X~X2(n1)，Y~X2則X+Y~X2(n1+n2)F分布F(n1設(shè)X1~X2(n1)，X2~X2(n2)，且X1F=X1/n1~F(n1,n2)X/n22F(1，n)1/F~F(n2,n1)1F(n,n)=112F(n,n)21(四)正態(tài)總體的抽樣分布總體類(lèi)型抽樣分布X作為正態(tài)變量值X2X~N(,)2nX/n