2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積等于______．【答案】【分析】根據(jù)圓錐軸截面的定義結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可得圓錐底面半徑長(zhǎng)和高的大小，由此結(jié)合圓錐的表面積公式，能求出結(jié)果．【詳解】∵圓錐的軸截面是正三角形，邊長(zhǎng)等于2∴圓錐的高，底面半徑.∴這個(gè)圓錐的表面積：.故答案為．【點(diǎn)睛】本題給出圓錐軸截面的形狀，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓錐的軸截面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則這個(gè)數(shù)列的公差_________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接計(jì)算.【詳解】由等差數(shù)列得，解得，故答案為：.3．設(shè)，則方程的解集為______.【答案】##【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得.所以方程的解集為.故答案為：4．的展開式中的系數(shù)為_______．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)定理展開通項(xiàng)，求得的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開式的通項(xiàng)式得所以，解得所以系數(shù)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除，某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為________人．【答案】12【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣原理即可求解．【詳解】采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為．故答案為：12．6．從個(gè)人中選人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人員不重復(fù)，則一共有___________種安排方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】【分析】分別確定第一天、第二天、第三天值班的人，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】從個(gè)人中選人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人員不重復(fù)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為.故答案為：.7．已知隨機(jī)事件和相互獨(dú)立，若，（表示事件的對(duì)立事件），則__________【答案】【分析】求出的值，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得的值.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可得，由獨(dú)立事件的概率乘法公式可得，因此，.故答案為：.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足對(duì)任意的，均有，則______.【答案】【分析】根據(jù)遞推公式得到，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，均有，則有，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，也即，因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，則，故答案為：.9．由0、1、2、3、4、5六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字且數(shù)字2、3相鄰的四位數(shù)共______個(gè)（結(jié)果用數(shù)字表示）．【答案】60【分析】分兩種情況：四位數(shù)有0和沒(méi)有0時(shí)，然后求出數(shù)字2,3相鄰的即可.【詳解】四位數(shù)沒(méi)有0時(shí)，數(shù)字2,3相鄰看作一個(gè)數(shù)字，2,3需要排列，所以有種，四位數(shù)有0時(shí)，求出數(shù)字2,3相鄰，看作一個(gè)數(shù)，2,3排列，0只能在后兩位置選一個(gè)，所以有種，故滿足題意的共有60個(gè)；故答案為：60.10．如圖所示，玩具計(jì)數(shù)算盤的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)無(wú)珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為，，.例如，圖中上檔的數(shù)字和.若，，成等差數(shù)列，則不同的分珠計(jì)數(shù)法有____種.【答案】32【分析】先確定每檔可取的整數(shù)，再根據(jù)公差分類討論，最后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得結(jié)果.【詳解】每檔可取7到14中的每個(gè)整數(shù)，若公差為0，共有8種；若公差為±1，則共有12種；若公差為±2，則共有8種；若公差為±3，則共有4種；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32種，故答案為32【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查基本分析求解能力，屬難題.11．已知矩形的周長(zhǎng)為6，則將其繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的體積最大值為______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及圓柱的體積公式，再利用導(dǎo)數(shù)法求解最值即可.【詳解】設(shè)，則，所以將周長(zhǎng)為6的矩形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的體積為.則，令，即，解得（舍）或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)，即，時(shí)，取得最大值為所以將其繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的體積最大值為.故答案為：.12．已知，則______________.【答案】10206【分析】對(duì)已知關(guān)系式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得，再根據(jù)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和與的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的絕對(duì)值相等求解即可.【詳解】對(duì)已知關(guān)系式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得，因?yàn)榈恼归_式的各項(xiàng)系數(shù)和與的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的絕對(duì)值相等，所以.故答案為：10206.二、單選題13．某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是.A．90 B．75 C．60 D．45【答案】A【詳解】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0.75＝90.【解析】頻率分布直方圖.14．函數(shù)可導(dǎo)，“函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)在點(diǎn)處取極值”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】舉特例說(shuō)明導(dǎo)數(shù)值為0，但不是極值點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).對(duì)于函數(shù)，，雖然，但是由于無(wú)論還是，恒有，即函數(shù)是增函數(shù)，所以0不是函數(shù)的極值點(diǎn).一般地，函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在該點(diǎn)處取極值的必要條件，而非充分條件.故選：B.15．的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)【答案】C【分析】由多項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)為，即，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，應(yīng)用組合數(shù)求項(xiàng)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，多項(xiàng)式展開式各項(xiàng)形式為且，故問(wèn)題等價(jià)于將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，即.故選：C16．為評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度與時(shí)間的關(guān)系為．甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①

在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；②

在時(shí)刻，甲、乙血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同；③

在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；④

在兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①③【答案】D【分析】理解瞬時(shí)變化率和平均變化率的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，瞬時(shí)變化率是在此點(diǎn)處切線的斜率，平均變化率是，再結(jié)合圖象，逐一判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：對(duì)于①，在時(shí)刻，兩圖象相交，說(shuō)明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即①正確；對(duì)于②，在時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說(shuō)明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在，內(nèi)，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即③正確；對(duì)于④，在，和，兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即④錯(cuò)誤．故正確的只有①③；故選：D．三、解答題17．2022年，第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，某國(guó)家隊(duì)26名球員的年齡分布莖葉圖如圖所示：(1)該國(guó)家隊(duì)25歲的球員共有幾位？求該國(guó)家隊(duì)球員年齡的第75百分位數(shù)；(2)從這26名球員中隨機(jī)選取11名球員參加某項(xiàng)活動(dòng)，求這11名球員中至少有一位年齡不小于30歲的概率．【答案】(1)3位；第75百分位數(shù)是30(2)【分析】（1）根據(jù)莖葉圖和百分位數(shù)公式，即可計(jì)算結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)立事件和組合數(shù)公式求概率.【詳解】（1）由莖葉圖可知，25歲的球員共有3位球員；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是第20位，由莖葉圖可知，年齡從小到大排列，第20位球員的年齡是30；（2）11名球員沒(méi)有年齡不小于30的概率,所以這11名球員中至少有一位年齡不小于30歲的概率.18．在直三棱柱中，，，，D是AB的中點(diǎn)．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：∥平面；(3)求三棱柱的外接球的表面積．【答案】(1)5；(2)詳見解析；(3).【分析】（1）由題可得，然后結(jié)合條件利用棱錐體積公式即得；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，可得，根據(jù)線面平行的判定定理，即得；（3）由題可得三棱柱的外接球即為以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，然后利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)即得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，即，又D是AB的中點(diǎn)，所以；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）由題可知在直三棱柱中，兩兩垂直，所以直三棱柱的外接球即為以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)直三棱柱的外接球的半徑為，則，即，所以三棱柱的外接球的表面積為.19．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)寫出的具體展開式，并求其值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用構(gòu)造法，得到，可證明是等比數(shù)列；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，進(jìn)而可求的通項(xiàng)公式；（3）直接寫出的具體展開式，根據(jù)，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，直接計(jì)算可得答案.【詳解】（1），等式兩邊同時(shí)加上2，得，又，則為首項(xiàng)是3，公比的等比數(shù)列（2）由（1）得，為首項(xiàng)是3，公比的等比數(shù)列，，故.（3）20．已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．【答案】(1)0.21；(2)0.44；(3)0.94.【分析】（1）根據(jù)概率乘法得三人都命中概率為；（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三種情況討論，結(jié)合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正難則反的原則，求出其對(duì)立事件即三人全未命中的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)事件：甲投籃命中;事件：乙投籃命中;事件：丙投籃命中.甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.（2）設(shè)事件:恰有兩人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.（3）設(shè)事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.21．已知，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)，分類討論求單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)題意整理可得在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合分析運(yùn)算.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，可得，故，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由題意可知：函數(shù)定義域?yàn)?，且，注意到，令，解得或，①?dāng)，即時(shí)，與在上的變化情況如下1+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單