2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 解析版_第1頁
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2022年鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)高中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線:是一條漸近線與軸正半軸所成夾角為,則的離心率為()A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先表示出雙曲線的漸近線,依題意可得,再根據(jù)離心率公式計(jì)算可得;【詳解】解:雙曲線:的漸近線為,依題意,所以雙曲線的離心率;故選:A2.已知,那么函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為()A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算規(guī)則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再代入計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,所以,所以函?shù)在處的瞬時(shí)變化率為,故選:C3.用數(shù)字0,1,2,3,4組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這樣的三位數(shù)個(gè)數(shù)為()A.125種 B.100種 C.64種 D.60種【答案】B【解析】【分析】首先確定百位數(shù)字,再根據(jù)允許有重復(fù)數(shù)字,即可確定十位與個(gè)位的數(shù)字,按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得;【詳解】解:首先排百位數(shù)字,只能是1,2,3,4中的一個(gè),故有4種排法,因?yàn)樵试S有重復(fù)數(shù)字,故十位與個(gè)位均有5種排法,故一共有種;故選:B4.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性即可選出答案.【詳解】由可得,所以由可得,由可得且,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故選:D5.滿足條件的自然數(shù)有()A.7個(gè) B.6個(gè) C.5個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式化簡(jiǎn)可得,再根據(jù),且可得答案.【詳解】由得,即,又,且,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式,屬于基礎(chǔ)題.6.過點(diǎn)作圓的切線,則切線的方程為()A.x=3或3x+4y-29=0 B.y=3或3x+4y-29=0C.x=3或3x-4y+11=0 D.y=3或3x-4y+11=0【答案】C【解析】【分析】設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為,由圓心到切線的距離等于半徑求得值得切線方程,同時(shí)檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否為切線即可得.【詳解】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)為,半徑為1,當(dāng)過點(diǎn)的切線斜率存在時(shí),設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,解得,所以切線方程為,當(dāng)過點(diǎn)切線斜率不存在時(shí),切線方程為,所以過點(diǎn)的圓的切線方程為或,故選:C.7.若點(diǎn),分別是函數(shù)與圖象上的動(dòng)點(diǎn)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則的最小值為()A. B. C. D.17【答案】A【解析】【分析】設(shè),,設(shè)與平行且與相切的直線與切于,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo),則的最小值為點(diǎn)到直線的距離【詳解】設(shè),,令且當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,設(shè)與平行且與相切的直線與切于.則到直線的距離為,即,故選:A.8.已知,,(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),則,,,然后利用的單調(diào)性可比較出答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則,,,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以,故選:B二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)得5分,部分選對(duì)得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則符合條件的實(shí)數(shù)的取值可以是()A.1 B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由條件可得在區(qū)間上恒成立,然后可得,然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最小值即可.【詳解】因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上恒成立,由可得,令,則,由可得,由可得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以所以故選:CD10.3個(gè)人坐在一排5個(gè)座位上,則下列說法正確的是()A.共有60種不同的坐法B.空位不相鄰的坐法有72種C.空位相鄰的坐法有24種D.兩端不是空位的坐法有18種【答案】ACD【解析】【分析】按照題目給定的條件排列即可.【詳解】對(duì)于A,,故A正確;對(duì)于B,相當(dāng)于先排好這3個(gè)人有種排法,然后把2個(gè)空位插在3個(gè)人中間,故有種插法,,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,相當(dāng)于把2個(gè)空位先捆綁好,再插到3人中,,故C正確;對(duì)于D,相當(dāng)于先從3人中抽取2人排好后放在兩端,第三個(gè)人在中間的3個(gè)空位中任取一個(gè),故有種,故D正確;故選:ACD.11.弦經(jīng)過拋物線:的焦點(diǎn),設(shè),,下列說法正確的是()A. B.的最小值為C. D.以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切【答案】BCD【解析】【分析】首先得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,然后由拋物線的定義可判斷A,設(shè)弦所在的直線方程為,然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元,然后韋達(dá)定理可得,,然后可判斷BCD.【詳解】焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,故A錯(cuò)誤,設(shè)弦所在的直線方程為,由可得,所以,,故C正確,所以,所以當(dāng)時(shí)最小,最小值為,故B正確,的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以以弦為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離為,所以以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,故D正確,故選:BCD12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是()x024513132A.函數(shù)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時(shí),若的最小值為1,則t的最大值為2D.若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)圖象得原函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB;由單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值表可判斷CD.【詳解】由圖知函數(shù)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞減,所以在處有極大值,故A正確;單調(diào)區(qū)間不能寫成并集,故B錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù),且在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,所以存在使得,易知,當(dāng)時(shí),在區(qū)間的最小值為1,故C不正確;由函數(shù)值表結(jié)合單調(diào)性作出函數(shù)草圖可知D正確.故選:AD

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.2022年北京冬奧會(huì)期間,小明收藏了4個(gè)冰墩墩和5個(gè)雪容融且造型不一的吉祥物,現(xiàn)抽取3個(gè)吉祥物贈(zèng)送友人,其中至少有冰墩墩雪容融各1個(gè),則不同的送法有__________種.【答案】【解析】【分析】分選1個(gè)冰墩墩和2個(gè)雪容融與選2個(gè)冰墩墩和1個(gè)雪容融兩種情況討論,按照分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得;【詳解】解:若選1個(gè)冰墩墩和2個(gè)雪容融,則有種;若選2個(gè)冰墩墩和1個(gè)雪容融,則有種;綜上可得一共有種;故答案為:14.做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶,其體積是,則當(dāng)圓柱底面圓半徑__________時(shí),用料最?。敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)圓柱的高為,半徑為則由圓柱的體積公式可得,要使用料最省即求全面積的最小值,而,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求函數(shù)取得最小值時(shí)的半徑【詳解】解:設(shè)圓柱的高為,半徑為,則由圓柱的體積公式可得所以所以令,,則,令解得,令可得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在時(shí)取得極小值即最小值,即當(dāng)時(shí),圓柱的表面積(不包含上底面)最小,即用料最省;故答案為:15.若函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),根據(jù)圖像求解臨界情況,得出結(jié)果.【詳解】解:函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的解,等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),當(dāng)直線與曲線相切時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)為臨界情況,設(shè)切點(diǎn)為,則可得,解得,根據(jù)圖像可以得到,當(dāng)時(shí),直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),故答案是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,函數(shù)的零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題,然后通過對(duì)臨界情況的分析,得出參數(shù)的取值范圍.16.如圖,過原點(diǎn)的直線與圓有一個(gè)交點(diǎn),已知,為圓上相異兩點(diǎn)且滿足,則直線的方程為__________.【答案】【解析】【分析】由條件可得,圓的半徑為5,然后求出圓心到直線的距離,然后可求出答案.【詳解】因?yàn)?,所以,即圓的半徑為5,因?yàn)?,所以,設(shè)直線的方程為,即,因?yàn)?,圓的半徑為5,所以圓心到直線的距離為,所以,解得,即直線的方程為,故答案為:四、解答題(本大題共6小題,共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知,且在處取得極值.(1)求的解析式;(2)求在上的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用求得,由此求得的解析式.(2)利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最小值.【小問1詳解】,,此時(shí),所以在區(qū)間遞減;在區(qū)間遞增,所以在處取得極值符合題意.所以.【小問2詳解】由(1)知在區(qū)間遞減;在區(qū)間遞增,,所以在區(qū)間上的最小值為.18.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l,使l被圓C截得的弦AB,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),若存在,寫出直線l的方程;若不存在,說明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】【詳解】試題分析:假設(shè)存在,并設(shè)出直線方程y=x+b,然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理得到根的關(guān)系,最后利用OA⊥OB即x1x2+y1y2=0,得到參數(shù)b的方程求解即可.試題解析:設(shè)直線l的方程為y=x+b①圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.②聯(lián)立①②消去y,得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),所以O(shè)A⊥OB,即x1x2+y1y2=0,而y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2,所以2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,把③代入:b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,即b2+3b-4=0,解得b=1或b=-4,故直線l存在,方程是x-y+1=0,或x-y-4=0.考點(diǎn):存在性問題.【方法點(diǎn)睛】存在性問題,首先應(yīng)假設(shè)存在,然后去求解.對(duì)本題來說具體是:設(shè)出直線方程y=x+b,然后分析幾何性質(zhì)得到OA⊥OB即得到關(guān)于參數(shù)b的方程求解即可.解該類問題最容易出錯(cuò)的的地方是,忽視對(duì)參數(shù)范圍的考慮,即直線方程與圓的方程聯(lián)立求解后應(yīng)得到,即求出的b值必須滿足b的范圍,否則無解.19.在①第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是,②第2項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為55,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題的橫線上,并解答.問題:已知在的展開式中,__________.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)求展開式中含的項(xiàng).【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)不管選哪個(gè)條件,都可以求出,然后可求出答案;(2)寫出展開式的通項(xiàng),然后可得答案.【小問1詳解】若選①,第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是,則,求得,當(dāng)二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí),,即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,此項(xiàng)為.若選②,第2項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為55,則,,當(dāng)二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí),,即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,此項(xiàng)為.若選③,,,當(dāng)二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí),,即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,此項(xiàng)為.小問2詳解】該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,令,求得,故展開式中含的項(xiàng)為.20.如圖,在幾何體中,平面,平面,,,又,.(1)求與平面所成角的正弦值;(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【詳解】試題分析:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用公式即可;(2)利用坐標(biāo),求兩個(gè)半平面所在平面的法向量,根據(jù)公式求解即可.試題解析:(1)如圖,過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵,∴,又,則點(diǎn)到軸的距離為1,到軸的距離為則有,,,,.(1)設(shè)平面的法向量為,∵,則有,取,得,又,設(shè)與平面所成角為,則,故與平面所成角正弦值為.(2)設(shè)平面的法向量為,∵,,則有,取,得,∴,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.點(diǎn)睛:本題考查線面角的求法,以及二面角的余弦的求法,屬于中檔題.對(duì)于能夠建立空間直角坐標(biāo)系的問題,要優(yōu)先考慮坐標(biāo)法來處理,對(duì)于第一問,要先求面的一個(gè)法向量,然后利用兩個(gè)向量的夾角公式處理,利用求得的法向量來求二面角的余弦值后,要注意角是銳角還是鈍角.21已知,函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.【答案】().()見解析.【解析】【詳解】試題分析:(1)求出f'(x),得切線的斜率,又曲線的切點(diǎn)為(2,f(2)),由點(diǎn)斜式可寫出切線方程;(2)借助于導(dǎo)數(shù),將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行研究.分,,三種情況討論函數(shù)的最值情況.試題解析:()當(dāng)時(shí),,,∴,,∴,即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.又∵,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.()∵,∴.令,得.①若,則,在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)無最小值.②若,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值.③當(dāng),則當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上無最小值.當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

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