2021-2022學(xué)年福建省泉州高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】_第1頁(yè)
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2021-2022學(xué)年福建省泉州高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(

)A.28 B.56 C.70 D.112【答案】A【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,再令的冪指數(shù)等于1,求得的值,即可求得展開(kāi)式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).【詳解】∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,故選:A.2.已知隨機(jī)變量的分布列如表,若,則(

)3A. B.4 C.6 D.12【答案】C【分析】結(jié)合分布列的性質(zhì),以及期望公式,即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得:,解得,∵,解得.故選:C.3.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)排成一排,甲乙相鄰,且甲不站中間的方法種數(shù)有(

)A.24 B.36 C.42 D.48【答案】B【分析】首先將甲乙之外的3人全排列,再分甲在排頭或甲在排尾和乙在中間兩種情況,即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩步分析,①將甲乙之外的3人全排列,共有種排法,排好后有4個(gè)空位,②甲乙相鄰,將甲乙看成一個(gè)整體,甲不站中間,則甲乙在排頭或甲乙在排尾,共種排法,乙在中間,共2種排法,所以甲不站中間的方法種數(shù)共有種.故選:B4.函數(shù)的圖像大致為(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】分別討論與兩種情況,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系研究的圖像,從而得解.【詳解】因?yàn)?,?dāng)時(shí),,則,令,得;令,得;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,從而排除B;當(dāng)時(shí),,則,所以在上單調(diào)遞增,從而排除D;又,從而排除C;由于排除了選項(xiàng)BCD,而選項(xiàng)A又滿足上述的性質(zhì),故A正確.故選:A.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍即可.【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即,故,而,則實(shí)數(shù),故選:C.6.甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽,已知甲勝乙的概率為0.5,乙勝甲的概率為0.3,甲乙兩人平局的概率為0.2.若甲乙兩人比賽兩局,且兩局比賽的結(jié)果互不影響,則乙至少贏甲一局的概率為A.0.36 B.0.49 C.0.51 D.0.75【答案】C【分析】乙至少贏甲一局的對(duì)立事件為甲兩局不輸,由此能求出乙至少贏甲一局的概率.【詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7.已知事件,滿足,,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若,則,是互斥事件B.若,則,是互斥事件C.若,則,是相互獨(dú)立事件D.若,則,是相互獨(dú)立事件【答案】C【分析】利用互斥事件的定義判斷AB;利用相互獨(dú)立事件的定義判斷CD.【詳解】事件,滿足,,對(duì)于A,∵,∴,∴,是互斥事件,故A正確;對(duì)于B,∵,∴,是互斥事件,故B正確;對(duì)于C,∵,∴,∴,∴,不是相互獨(dú)立事件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,∵,∴,是相互獨(dú)立事件,故D正確.故選:C.8.已知不等式成立,則(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將問(wèn)題化為恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值求解.【詳解】解:,原式可化為,即,即,令,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,故此時(shí);當(dāng)時(shí),比快得多,故此時(shí);令,且恒成立,故在上單調(diào)遞減,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故存在,有,即,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增,時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,故,顯然,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故,解得,即即為所求.故選:B.二、多選題9.已知1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則(

)A. B.在單調(diào)遞增C.1是函數(shù)的極大值點(diǎn) D.的對(duì)稱(chēng)中心為【答案】AD【分析】根據(jù),可求得的值,再逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】解:,則,解得,∴,,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,且在處取得極小值,由三次函數(shù)的性質(zhì)可知,其對(duì)稱(chēng)中心為,綜上,選項(xiàng)AD正確,選項(xiàng)BC錯(cuò)誤.故選:AD.10.某工廠有甲、乙、丙3個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的,,,且各車(chē)間的次品率分別為,,.從該工廠的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽查1件產(chǎn)品(

)A.該產(chǎn)品是次品的概率為B.該產(chǎn)品是正品的概率為C.若該產(chǎn)品是次品,則該次品由甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大D.若該產(chǎn)品是正品,則該正品由甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大【答案】ACD【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】解:對(duì)于A,該產(chǎn)品是次品的概率為,故A正確;對(duì)于B,該產(chǎn)品是正品的概率為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若該產(chǎn)品是次品,則該次品由甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性為;若該產(chǎn)品是次品,則該次品由乙車(chē)間生產(chǎn)的可能性為;若該產(chǎn)品是次品,則該次品由丙車(chē)間生產(chǎn)的可能性為;可知該次品甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大,故C正確;對(duì)于D,若該產(chǎn)品是正品,則該正品由甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性為;若該產(chǎn)品是正品,則該正品由乙車(chē)間生產(chǎn)的可能性為;若該產(chǎn)品是正品,則該正品由丙車(chē)間生產(chǎn)的可能性為;可知該正品甲車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大,故D正確.故選:ACD.11.是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),有恒成立,則(

)A. B.C. D.【答案】AC【分析】令,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】令,∵當(dāng)時(shí),,∴當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增;又為定義在上的奇函數(shù),為定義在上的偶函數(shù),∴為上的奇函數(shù);∴在上單調(diào)遞增.由,可得,故A正確;由,可得,故B錯(cuò)誤;由,可得,故C正確;由,可得,故D錯(cuò)誤.故選:AC.12.某同學(xué)研究得:一個(gè)盒子內(nèi)有5個(gè)白球,1個(gè)紅球,從中任取2球的方法數(shù)可以是,也可以是,故.類(lèi)比可得(

)A.B.C.D.【答案】BC【分析】由組合數(shù)及類(lèi)比推理的知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】對(duì)于A,,,故A錯(cuò)誤,對(duì)于B,由類(lèi)比推理,,故B正確,對(duì)于C,,故C正確,對(duì)于D,由于不一定相等,所以無(wú)法由類(lèi)比推理推出,故D錯(cuò)誤.故選:BC.三、填空題13.一漁船出海打漁,出海后,若不下雨,可獲得3000元收益;若下雨,將損失1000元.根據(jù)預(yù)測(cè)知某天下雨的概率為0.6,則這天該漁船出海獲得收益的期望是______.【答案】600【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合期望公式,即可求解.【詳解】解:預(yù)測(cè)知某天下雨的概率為0.6,則某天不下雨的概率為,故這天該漁船出海獲得收益的期望是.故答案為:600.14.某班宣傳小組有3名男生和2名女生.現(xiàn)從這5名同學(xué)中挑選2人參加小劇場(chǎng)演出,在已知抽取1名男生的條件下,2名都是男生概率是______.【答案】##0.5【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合條件概率公式,即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“抽取1名男生”,事件表示“另1名也是男生”,則,,故.故答案為:.15.已知是坐標(biāo)原點(diǎn),,在函數(shù)的圖象上,為線段的中點(diǎn),則斜率的最大值是______.【答案】【分析】先求出直線的斜率,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】設(shè),∵,為線段的中點(diǎn),∴,,設(shè),則,當(dāng)時(shí),則,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),則,單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),取得最大值為,∴斜率的最大值是,故答案為:.16.楊輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一,它把組合數(shù)的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地體現(xiàn)在數(shù)陣中.在楊輝三角的100行數(shù)字中,存在兩個(gè)相鄰的數(shù)字之比為的共有______行.【答案】33【分析】由題意設(shè)設(shè)第行相鄰的兩個(gè)數(shù)為,根據(jù)組合數(shù)公式化簡(jiǎn),再由整除取值即可.【詳解】由題意,第行各數(shù)從左到右均滿足,設(shè)第行相鄰的兩個(gè)數(shù)為,則,則,化簡(jiǎn)得,即,,1,2,…,100,故,6,…,99,共有33項(xiàng).故答案為:33.四、解答題17.已知的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512.(1)若,求;(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)2(2)【分析】(1)由題意,利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得,再利用賦值法求得要求式子的值.(2)設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大,則,求得的值,可得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】(1)∵的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,∴.∵,∴令,可得,∴再令,可得,即,∴.(2)設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大,則,求得,∴,故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.18.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查,得到該市100位居民的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,,…,分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從這100位居民中月均用水量在的人中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行電話回訪,求至少有2人月均用水量在的概率;(2)把這100位居民的月均用水量的頻率視為該市居民的月均用水量的概率,現(xiàn)從該市隨機(jī)抽取1位,用表示月均用水量不低于噸的人數(shù),求的期望和方差.【答案】(1)(2)數(shù)學(xué)期望為,方差為.【分析】(1)由題意首先求得100位居民中月均用水量在的人數(shù),然后計(jì)算所求的概率即可;(2)首先求得的值,然后利用二項(xiàng)分布的期望方差公式計(jì)算即可.【詳解】(1)由題意,100位居民中月均用水量在的人數(shù):人;其中中6人,[3.5,4)中4人,.(2)由題意,,解得:,則用水量不低于噸的人數(shù)所占的概率為,據(jù)此可得服從二項(xiàng)分布:,其數(shù)學(xué)期望為:,方差為.19.已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)求證:,其中,.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,令,,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍即可;(2)根據(jù),對(duì)賦值累加即可.【詳解】(1)由題可知:的定義域是若,則恒成立,令,,則只需,而,令,解得,令,解得,故在遞增,在遞減,故,故只需,即若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,時(shí),在恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立,令,,則,則,故,故,而,則,∴,即∴,故.20.在京西購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)手機(jī)時(shí),可以選擇是否加購(gòu)“碎屏無(wú)憂”的保障服務(wù),“碎屏無(wú)憂”服務(wù)有兩種(兩種服務(wù)只能購(gòu)買(mǎi)一種):一為“1年碎屏換屏”,價(jià)格100元,在購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)原屏發(fā)生碎屏可免費(fèi)更換一次屏幕;一為“2年碎屏換屏”,價(jià)格150元,在購(gòu)機(jī)后兩年內(nèi)原屏發(fā)生碎屏可免費(fèi)更換一次屏幕,若未購(gòu)買(mǎi)“碎屏無(wú)憂”服務(wù),則碎屏后需更換屏幕,更換一次屏幕需要300元.已知在購(gòu)機(jī)后的第一年,第二年,第三年原屏發(fā)生碎屏的概率分別是0.4,0.2,0.1.每部手機(jī)是否發(fā)生碎屏相互獨(dú)立且每年至多碎屏一次.(1)在京西購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)了一部手機(jī),求這部手機(jī)在第二年原屏才發(fā)生碎屏的概率;(2)擬在京西購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)一部手機(jī),并決定3年后再換部新手機(jī).請(qǐng)問(wèn)是否應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)加購(gòu)“碎屏無(wú)憂”的保障服務(wù)?說(shuō)明理由.【答案】(1)0.12;(2)在京西購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)一部手機(jī),應(yīng)加購(gòu)“碎屏無(wú)憂”的保障服務(wù),理由見(jiàn)解析.【分析】(1)利用獨(dú)立事件的乘法公式可求概率;(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)“1年碎屏換屏”需花費(fèi)元,購(gòu)買(mǎi)“2年碎屏換屏”需花費(fèi)元,不買(mǎi)保險(xiǎn)需花費(fèi)元,則可求各隨機(jī)事件的概率分布及數(shù)學(xué)期望,從而可判斷是否購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn).【詳解】(1)設(shè)該手機(jī)第二年原屏才碎裂為事件,,從而該手機(jī)第二年原屏才碎裂的概率為;(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)“1年碎屏換屏”需花費(fèi)元,則可取值,則,,故,故.設(shè)購(gòu)買(mǎi)“2年碎屏換屏”需花費(fèi)元,則可取值,則,,,故,設(shè)不買(mǎi)保險(xiǎn)需花費(fèi)元,則可取值,故,,故,故,因?yàn)椋试诰┪髻?gòu)物平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)一部手機(jī),應(yīng)加購(gòu)“碎屏無(wú)憂”的保障服務(wù).21.本次數(shù)學(xué)考試的第9-12題是四道多選題,每題有四個(gè)選項(xiàng),全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.若每道多選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)或者三個(gè)選項(xiàng)的概率均為.現(xiàn)甲乙兩位同學(xué)獨(dú)立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對(duì)的概率為,部分選對(duì)的概率為,有選錯(cuò)的概率為;乙全部選對(duì)的概率為,部分選對(duì)的概率為,有選錯(cuò)的概率為,求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率;(2)對(duì)于第12題,甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的,乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的,作答時(shí),應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī),請(qǐng)你幫助甲或者乙做出決策.【答案】(1)(2)甲應(yīng)選擇1個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī);乙應(yīng)選擇3個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).【分析】(1)先分析包含的事件有哪些種,再求概率即可.(2)分別求出選擇1,2,3個(gè)選項(xiàng)三個(gè)情況下的得分的期望,取期望最大的情況即可.【詳解】(1)由題意知:甲比乙多得13分的情況包含:A:甲四道全對(duì);乙一道全對(duì),一道部分選對(duì),兩道選錯(cuò),即甲得20分,乙得7分.:甲三道全對(duì),一道部分選對(duì);乙兩道部分選對(duì),兩道選錯(cuò),即甲得17分,乙得4分.:甲三道全對(duì),一道選錯(cuò);乙一道部分選對(duì),三道選錯(cuò),即甲得15分,乙得2分.....(2)若為甲出方案.則甲可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為:1,2,3.記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分,則期望為.記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分,則得分可能為0,2,5,,,此時(shí)期望為.記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分,則得分可能為0,5,,此時(shí)期望為.∵.∴甲應(yīng)選擇1個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).若為乙出方案.則乙可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為:1,2,3.記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分,類(lèi)比甲的情況,則.記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分,則得分可能為0,2,5,此時(shí).記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分,則得分可能為0,5,此時(shí).∵.∴乙應(yīng)選擇3個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).22.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解;(2)結(jié)合函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化后,結(jié)合題目特點(diǎn)進(jìn)行合理的構(gòu)造,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù),則,,令,則,①當(dāng)或,即時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí),即時(shí),令,得或,∴在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)

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