高等代數(shù)北大版第5章習題習題與講解(供參考)

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.第五章二次型1．用非退化線性替換化下列二次型為標準形，并利用矩陣驗算所得結(jié)果。1）4xx2xx2xx；1213232）x22xx2x24xx4x2；31122233）x23x22xx2xx6xx；121213234）8xx2xx2xx8xx；143423245）xxxxxxxxxxxx；1213142324346）x22x2x24xx4xx2xx2xx2xx2xx；1241213142324347）x2x2x2x22xx2xx2xx。1234122334解1）已知fx,x,x4xx2xx2xx，123121323先作非退化線性替換xyy2xyy11（1）221xy33則2yyy24y23，2133再作非退化線性替換11yzz22311yz2yz3（2）23則原二次型的標準形為fx,x,xz24z2z2，312312最后將（2）代入（1），可得非退化線性替換為1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.xzz1z12231121xzz1z（3）222123xz33于是相應(yīng)的替換矩陣為1111002211011，22T110010122001001001且有100TAT040。0012）已知fx,x,xx22xx2x24xx4x2，3123112223由配方法可得2，xxx2x32122于是可令yxx211yx2x，322yx33則原二次型的標準形為fx,x,xy2y2，21231且非退化線性替換為xyy2y112xy2y3，2xy2333相應(yīng)的替換矩陣為112T012，001且有2文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.100110112100TAT110122012010。221024001000（3）已知fx,x,xx23x22xx2xx6xx，12312121323由配方法可得122，xxx2xx3232于是可令yxxx3112y2xx，2yx2333則原二次型的標準形為fx,x,xy2y2，21231且非退化線性替換為13xyyy22311211xyy223xy，2233相應(yīng)的替換矩陣為1312211T0，22001且有13110011122100TAT111101330010。220002213000131122（4）已知fx,x,x,x8xx2xx2xx8xx，123412342324先作非退化線性替換3文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.xyy411xy22，xy33xy44則1111228yyyy2yyy2yy，2284123412323再作非退化線性替換yz11yzz3，yzz22323yz44則2z22z2，32再令53wzxx443112wz2wz2，3315wzz3zz28834124則原二次型的標準形為1fx,x,x,x2w22w22w28w2，4234123且非退化線性替換為153xwwww42441123xww2xww23，323x1ww2414相應(yīng)的替換矩陣為15312440110T，0110100124文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.且有20000200。TAT00200008（5）已知fx,x,x,xxxxxxxxxxxxx，1234121314232434先作非退化線性替換x2yy211xy22，xy33xy44則yyyyyy3y2y2112，1224234344再作非退化線性替換zy11zyyyy4，2123zy1y2334zy44即yz11yzzz1z221234，yz1z2433yz44則原二次型的標準形為31234fx,x,x,xz2z2z2z2，44123且非退化線性替換為xzzz1z241123xzzz1z24，2123xz1z2433xz445文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.相應(yīng)的替換矩陣為111121111T2，001120001且有10000100。TAT001030004123（6）已知fx,x,x,xx22x2x24xx4xx2xx14412412132xx2xx2xx，232434由配方法可得13121x2x2xx2xxxxx，2222322342434于是可令yx2x2xx4112331yxxx224，223yxx433yx44則原二次型的標準形為fy22y21y2，2312且非退化線性替換為xy2yyy411233xyyy22234，xyy433xy44故替換矩陣為6文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.12110131T2，00110001且有1000。0200TAT100020000（7）已知fx,x,x,xx2x2x2x22xx2xx2xx，12341234122334由配方法可得1222，x2xxxxxxx1233413于是可令yx11yxxx3，212yxx4yxx33413則原二次型的標準形為fy2y2y2y2，4122且非退化線性替換為xy11xyy224，xyy431xyyy4134相應(yīng)的替換矩陣為1000T0101，10011011且有1000TAT0100。00100001（Ⅱ）把上述二次型進一步化為規(guī)范形，分實系數(shù)、復(fù)系數(shù)兩種情形；并寫出所作的非7文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.退化線性替換。解1）已求得二次型的標準形為fy24y23y2，312且非退化線性替換為xyy1y1223112xyy1y1，223212xy33（1）在實數(shù)域上，若作非退化線性替換yz311yz2，22yz31可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2。312（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換yiz111yz2，22yz31可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2。1232）已求得二次型的標準形為且非退化線性替換為21fyy2，2xyy2y3112xy2y，2xy2333故該非退化線性替換已將原二次型化為實數(shù)域上的規(guī)范形和復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形3）已求得二次型21fyy2。28文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.的標準形為且非退化線性替換為21fyy2，213xyyy22311211xyy223，22xy33（1）在實數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即21fyy2。2（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換yz11yiz。22yz33可得二次型的規(guī)范形為21fzz2。2（3）已求得二次型的標準形為f2y22y22y28y2，4123且非退化線性替換為15xyy3yy4xyy2441123223，xyy233x1yy2414（1）在實數(shù)域上，若作非退化線性替換1yz214y1z222，y1z233y1z22149文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。2123（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換iyz211y1z222，yiz233y1z2244可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。2123（5）已求得二次型的標準形為fy2y2y23y2，44123且非退化線性替換為xyyy1y421123xyyy1y4，22123xy1y4233xy44（1）在實數(shù)域上，若作非退化線性替換yz2yz1yz，2133y2z434可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。4123（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換10文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.yiz11yz22yiz，33y2iz434可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。，12346）已求得二次型的標準形為fy22y21y22123且非退化線性替換為xy2yyy112343xyyy22234。xyy433xy44（1）在實數(shù)域上，若作非退化線性替換yz21y1z223，y2z31yz44可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2。312（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換yiz11yiz222，y2z33yz44可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2。3127）已求得二次型的標準形為fy2y2y2y2，412211文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.且非退化線性替換為xy11xyy224。xyy431xyyy4134（1）在實數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即fy2y2y2y2。4122（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換yz1yz122，yz33yiz44可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。4123rr2．證明：秩等于的對稱矩陣可以表成個秩等于1的對稱矩陣之和。證由題設(shè)知AA且rank(A)r，于是存在可逆矩陣使CCACD，D且為對角陣，又因為C,C1,CC11均為可逆矩陣，所以有CACDDD，r12其中00dd2010D,D0,,Ddr12r0000于是1CDCCDCCDC1。111112r因，rankCDC11i1,2,,r1i12文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.且1CDCCDCCDC1。1111iii1CDC1Ar都是對稱矩陣，故可表成個秩為1的對稱矩陣之和。即i3．證明：1i21與i2nin合同，其中iii是1,2,,n的一個排列。12nA,B證題中兩個矩陣分別設(shè)為，與它們相應(yīng)的二次型分別為22nnfxx2x2，211Afyy2y2，2i1Bi2in12n作非退化的線性替換t1,2,,n，ityxtffAB則可化成。故與合同。ABAn4．設(shè)是一個階矩陣，證明：A1）是反對稱矩陣當且僅當對任一個維向量，有nXXAX0。AnXXAX0，那么A0。2）如果是對稱矩陣，且對任一個維向量有證1）必要性。因為AA，即a0,aaij，所以iiijji由于aa0，故ijjiXAXaaxx0。ijjiijij充分性。因為XRn，有XAX0，即aaxxax20，2nn22nnnn這說明原式是一個多元零多式項，故有aaa0,aaij，1122nnijji即AA。2）由于是對稱的，且XAX0，即A2axxax20，2n2nnnn13文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.這說明XAX為一個多元零多項式，故有aaa0，1122nn2a0aa0，ijijji即A0。nn5．如果把實階對稱矩陣按合同分類，即兩個實階對稱矩陣屬于同一類當且僅當它們合同，問共有幾類？ABTC解實對稱矩陣與合同的充要條件為存在可逆矩陣與使dTBTCACD。1d2dr00di1,2,,rD下面考慮對角矩陣的相應(yīng)二次型的合同分類情況，在中可分為i共計個合同類。但秩又可分別取n,n1,,2,1,0，故共有r1r個合同類。6．證明：一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于2且符號差等于0，或者秩等于1。證必要性。設(shè)11fx,x,,xaxaxaxbxbxbx，12n1122nn22nna,bi1,2,,nii中其均為實數(shù)。1）若上式右邊的兩個一次式系數(shù)成比例，即不失一般性，可設(shè)a0，則可作非退化線性替換1使二次型化為fx,x,,xky2，112nfx,x,,x的秩為1。12n故二次型aa1bb2）若兩個一次式系數(shù)不成比例，不妨設(shè)2，則可作非退化線性替換1214文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.yaxaxaxnnybxbxbx11122，21122nnyxi3,,nii使fx,x,,xyy。12n12再令yzz2yzz11，212yzi3,,nii則二次型可化為fx,x,,xyyz2z2，212n121fx,x,,x的秩為2，且符號差為0。12n故二次型fx,x,,x的秩為1，則可經(jīng)非退化線性替換ZCY12n充分性。1）若使二次型化為fx,x,,xky2，112nyx,x,,x的一次齊次式，即其中為112nyaxaxax，11122nn且1111kaxkaxkaxaxaxax。nn22nn22fx,x,,x的秩為2，且符號差為0，則可經(jīng)非退化線性替換ZCY12n2）若化為使二次型1111axaxaxbxbxbx，22nn22nnfx,x,,x可表成兩個一次齊次式的乘積。12n故7．判斷下列二次型是否正定：1）99x212xx48xx130x260xx71x2；3112132232）10x28xx24xx2x228xxx2；3112132233）nxxx；2iiji11ijn15文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.4）nn1xxx2i。ii1i1i1解1）二次型的矩陣為99624A613030，243071因為996990,0,A0，3613012故原二次型為正定二次型。2）二次型的矩陣為10412A4214，12141因為A0，所以原二次型非正定。3）記二次型的矩陣為Aa，其中ijnn1,ija1,ij，ij2即1111A2221111222111，12221111222AkAA由于的任意階順序主子式所對應(yīng)的矩陣與為同類型的對稱矩陣，且k1kAk10k1,2,,n2，k故原二次型為正定二次型。4）記二次型的矩陣為AaAk，則的級順序主子式為ijnn16文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.210030102411kkk00010，223k1000k故原二次型為正定二次型。t8．取什么值時，下列二次型是正定的：1）x2x25x22txx2xx4xx2312312132）x24x2x22txx10xx6xx231231213解1）二次型的矩陣為1t1At12，125A因為的各階順序主子式為10，11t0，t121t1At120，3125當原二次型為正定時，有1t20，5t24t0解上面不等式組，可得4t0。52）二次型的矩陣為1t5At43，531A當?shù)乃许樞蛑髯邮蕉即笥诹銜r，即10，117文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.1t4t20，t421t5At43t230t1050，3531由原二次型為正定得4t20，t230t1050t但此不等式組無解，即不存在值使原二次型為正定。AA9．證明：如果是正定矩陣，那么的主子式全大于零。所謂主子式，就是行指標與列指標相同的子式。nn證設(shè)正定矩陣Aa，作正定二次型axx，并令ijijijnni1j1jk,k,,k,kkk，12i12ix0j則可得新二次型kkiaxx，ijijiikjk11A0i1,2,,nAi由正定二次型的定義知該二次型是正定的，故的一切級主子式。i10．設(shè)是實對稱矩陣，證明：當實數(shù)充分大之后，tEA是正定矩陣。At證taaa，11121nataatEA21222naatannn1n2k它的級順序主子式為taai1,2,,niiijt當充分大時，為嚴格主對角占矩優(yōu)陣的行列式，且t，kjit0k1,2,,n故，從而tEA是正定的。k11．證明：如果是正定矩陣，那么A1也是正定矩陣。證因是正定矩陣，故XAX為正定二次型，作非退化線性替換也是對稱矩陣，故AAXA1Y，又A1YA1YYAAA1YXAX0，118文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.從而YA1Y為正定二次型，即證A1為正定矩陣。AnnX0，使12．設(shè)為一個級實對稱矩陣，且A0，證明：必存在實維向量XAX0。證因為A0，于是A0，所以rankAn，且A不是正定矩陣。故必存在非XC1Y退化線性替換使y2y2y2y2y2y2，n12pp1p2ZC1Y中，令yyyp且在規(guī)范形中必含帶負號的平方項。于是只要在120,yyy1,則可得一線性方程組p1p2ncxcxcx01111221nncxcxcx0p11p22pnncxcxcx1，p1,11p1,22p,1nncxcxcx1n11n22nnnXx,x,,x由于C0，故可得唯一組非零解使nss1s2sXAX000111np0，ss即證存在X0，使XAX0。A,Bn13．如果都是階正定矩陣，證明：AB也是正定矩陣。A,B證因為為正定矩陣，所以XAX,XBX為正定二次型，且XAX0，XBX0，因此XABXXAXXBX0，于是XABX必為正定二次型，從而AB為正定矩陣。fx,x,,x是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。12n14．證明：二次型證必要性。采用反證法。若正慣性指數(shù)p秩r，則pr。即fx,x,,xy2y2y2y2y2，r12n12pp1若令19文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.yyy0，yy1，12pp1rfx,x,,x12n則可得非零解x,x,,xfx,x,,x0。這與所給條件使12n12n0矛盾，故pr。充分性。由pr，知fx,x,,xy2y2y2，p12n12故有fx,x,,x0，即證二次型半正定。12n2n是半正定的。n15．證明：nx2xiii1i12nn證nx2xiii1i1n1xxx2xx2xx2xx21222n（121n232xx2xx）2nn1n2xx。ij1ijn可見：1）當x,x,,x不全相等時12n0。2fx,x,,xxx12nij1ijn2）當xxx時n120。2fx,x,,xxxj12ni1ijnfx,x,,x是半正定的。12n故原二次型16．設(shè)fx,x,,xXAX是一實二次型，若有實n維向量X,X使212n1XAX0，XAX0。122n證明：必存在實維向量X0使XAX0。000Ar設(shè)的秩為，作非退化線性替換XCY將原二次型化為標準型XAXdy2dy2dy2，1122rrd其中為1或-1。由已知，必存在兩個向量rX,X1使220文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.XAX0和XAX0，1122故標準型中的系數(shù)d,,d1pq不可能全為1，也不可能全為-1。不妨設(shè)有個1，個-1，r且pqr，即XAXy2y2y2y2，pq1pp1pq這時與存在三種可能：pq，pq，pq下面僅討論pq的情形，其他類似可證。令yy1，yy0，yy1，1qq1pp1pq則由ZCY可求得非零向量X使0XAXy2y2y2y20，001pp1pq即證。A17．是一個實矩陣，證明：rankAArankA。rankArankAA的充分條件是AX0與AAX0為同解方程組，故只要證由于證明AX0與AAX0同解即可。事實上AXAX0AX0，即證AX0與AAX0同解，故rankAArankA。注該結(jié)論的另一證法詳見本章第三部分（補充題精解）第2題的證明，此處略。一、補充題參考解答1．用非退化線性替換化下列二次型為標準型，并用矩陣驗算所得結(jié)果：1）xxxxxxxx；nn112n22n122n12）xxxxxx；1223n1n3）nxxx；2iiji11ijnxxxn。122nxx，其中x4）nii1解1）作非退化線性替換21文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.xyy2nxyy11222n1xyynnn1，xyyn1n1nxyy2n1xyy2n122n12n即XTY，則原二次型的標準形為fy2y2y2y2y2y2，12nn12n12n且替換矩陣1001100111T，1110010110使11TAT，11其中1212A。12122）若22文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.yxxxyxxx3，12223，1221則xxxx，1223n于是當為奇數(shù)時，作變換xxxi2yii12ixxx，yi2i1,3,5,,n2ii12i1yxnn則xxxxxxy2y2y2y2y2y2，n11223n1n1234n2且當n4k1時，得非退化替換矩陣為1111111110000011111T11000，1101當n4k3時，得非退化替換矩陣為1111111110000011111T11000，1101n故當為奇數(shù)時，都有23文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.1。111TAT110n當為偶數(shù)時，作非退化線性替換yxxxii12i2ixxxyii1i12i2i1,3,5,,n3，xxyn1n1n2xxyn1n2n則xxxxxxy2y2y2y2y2y2，n1223n1n1234n1于是當n4k時，得非退化替換矩陣為1111111100001111T1100，1111于是當n4k2時，得非退化替換矩陣為1111111100001111T1100，1111n故當為偶數(shù)時，都有24文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.1TAT111。113）由配方法可得n1n12xxx2，n2n1n2nn1n于是可令1n2yxxj11j2yxx1n322jj3，yx1xnnn1n1yxnn則非退化的線性替換為xyyy1y1y11232n1nn1113nxy1y1y1yn3n1nn1223，xy1ynnxyn1n1nn且原二次型的標準形為3nn1fy2y2yy2，n2n142n12n12相應(yīng)的替換矩陣為25文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.1111123n1n011113n1n11T001，n1n10001n又因為11112221112212A，11111112221222所以1000030000440000TAT。6n00002n1n10000n4）令yxx11yxx22，yxxn1n1yxnn則26文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.nx2yy11ii2nxy2yy212ii3。n2xy2yynn1in1i1xynn由于nnyxn1xx，iii1i1則22n1原式y(tǒng)2yyy2yn1nn1iniiii1i1i1i12z23z2nz2，2n1n112其中所作非退化的線性替換為yzzz1z11232n1n1113yzzz1z11343n1n1224，yzn1yzn1nn故非退化的替換矩陣為200013100121401123。11n023n1100001又ZAZ，27文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.所以2000030000240000TAT。3n000000000n12．設(shè)實二次型2fx,x,,xaxaxax，s12ni11i22inni1fx,x,,x的秩等于矩陣12n證明：的秩。證設(shè)rankAr，因fx,x,,xXAAX，12n下面只需證明rankAr即可。由于rankArankA，故存在非退化矩陣P,Q使E0E0r1，PAQ或PAQr0000從而E0E0PAAPQQ，00r11r00令Q1Q，DMBC1r則E0BCE0B0PAAP。00DM0000rrrr是正定的，因此它的級順序主子式B0，從而AA的秩為r。r1r由于Q1Q即證rankArankAA。3．設(shè)fx,x,,xl2l2l2l2l2。pq12n12pp128文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.fx,x,,x的正慣性指12n其中l(wèi)i1,2,,pqx,x,,x的一次齊次式，證明：是i12npq數(shù)，負慣性指數(shù)。證設(shè)lbxbxbxi1,2,,pq，ii11i22innfx,x,,x12sr的正慣性指數(shù)為，秩為，則存在非退化線性替換nycxcxcxi1,2,,n，ii11i22inn使得y2y2y2y2。r1ss1sp下面證明。采用反證法。設(shè)sp，考慮線性方程組bxbx01111nnbxbx0cxcx0，p11pnns1,11s,1nncxcx0n11nnna,a,,a，于是12nn該方程組含pns個方程，小于未知量的個數(shù)，故它必有非零解fa,a,,al2l2y2y2，s12np1pq1上式要成立，必有l(wèi)l0，yy0，p1pq1s這就是說，對于xa,xa,,xa這組非零數(shù)，有1122nny0，y0,,y0，12n這與線性替換YCX的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以sp。同理可證負慣性指數(shù)rsp，即證。4．設(shè)EXA0是一對稱矩陣，且A0，證明：存在TTAT，其中表示一0使110E11A個級數(shù)與相同的矩陣。22E0證只要令TTEAA111，則，12AA1E0E211129文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.注意到AAAA1，11，1111221則有A011。0即證。AA5．設(shè)是反對稱矩陣，證明：合同于矩陣01。10011000證采用歸納法。當n1時，A00A合同于，結(jié)論成立。下面設(shè)為非零反對稱矩陣。n2當時0a第2行乘a101，12a0第2列乘a10A121121201A故與合同，結(jié)論成立。10nk假設(shè)時結(jié)論成立，今考察nk1的情形。這時0aa1k1,k1，Aa0a1kk,k10aa1,k1k,k1如果最后一行（列）元素全為零，則由歸納假設(shè)，結(jié)論已證。若不然，經(jīng)過行列的同時對換，1不妨設(shè)a0，并將最后一行和最后一列都乘以ak,k1A，則可化成k,k10ab，1k1a011kb10130文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.b,ai1,2,,k再將最后兩行兩列的其他非零元化成零，則有iik0b001,k10b000，1,k1由歸納假設(shè)知0010010010b10與1,k1b01,k1A合同，從而合同于矩陣01100110，00110k1再對上面矩陣作行交換和列交換，便知結(jié)論對級矩陣也成立，即證。AncnX6．設(shè)是階實對稱矩陣，證明：存在一正實數(shù)，使對任一個實維向量都有XAXcXX。證因為XAXaxxaxx，ijijijiji,ji,j令amaxa，則iji,jXAXaxx。iji,jx2x2xxij可得利用2ijxx2i2jXAXaanx2cXX，2ii,ji31文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.其中can，即證。7．主對角線上全是1的上三角矩陣稱為特殊上三角矩陣。ATBTAT，證明：與的對應(yīng)順AB1）設(shè)是一對稱矩陣，為特殊上三角矩陣，而序主子式有相同的值；AT2）證明：如果對稱矩陣的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣使TAT成對角形；3）利用以上結(jié)果證明：如果矩陣的順序主子式全大于零，則XAX是正定二次型。A證1）采用歸納法。當n2時，設(shè)aa1bAT，，1112aa012122則10aa1baBTAT。b1aa011112112122BBa11考慮的兩個順序主子式：的一階順序主子式為，而二階順序主子式為BTAT1?A?1A，A與的各階順序主子式相同，故此時結(jié)論成立。n1歸納假設(shè)結(jié)論對階矩陣成立，今考察階矩陣，將寫成分塊矩陣nA,TTA，TA