物理靜電場(chǎng)經(jīng)典習(xí)題詳解

題7.1：1964年 3的上夸克和兩個(gè)帶1e下夸克構(gòu)成，若將夸克作為經(jīng)典粒子處理（102032.601015m。求它們之間的斥力。7.1解：由于夸克可視為經(jīng)典點(diǎn)電荷，由庫(kù)侖定律 q F 12e e2r402r

9r2 F與er2322E0其中是01010m，故電子、氫核都可視作點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷間的庫(kù)侖引力是維持電子沿圓軌道運(yùn)222mv 40222E1

28022

0402

322

0題7.3：在氯化銫晶體中，一價(jià)氯離于Cl與其最鄰近的八個(gè)一價(jià)格離子Cs+構(gòu)成如圖所示的（2）（l）F1F2的值為 F2（1）r10E10

4r2120Q120Q4r2E線(xiàn)上任意取一線(xiàn)元，其電荷為dq=Qdx/LP的電場(chǎng)強(qiáng)度為dE

dqr2PEPP的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，ELdEPEx軸方向的分量因?qū)ΨQ(chēng)性疊加為P的電場(chǎng)強(qiáng)度就是ELdEyjLsin（1）

，利用幾何關(guān)系rrx則 L2

L

0 00 -L20

L(r

4LrL

rL2

4r20x0PE的方向沿yE

0L4r0r2利用幾何關(guān)系sinrrr2

L2

0-L20

L(x2r2)3L24L24rPE

Q

14r2

r2L21

QdlO強(qiáng)度dE

dqr2

。因圓環(huán)上電荷對(duì)yLdEx0OELdEyjE。解：O的電場(chǎng)強(qiáng)度E

sinQ0 L0

R 由幾何關(guān)系dlRdEO

sind

022R0yPdEP1：如圖所示，在帶電板上取同心細(xì)圓環(huán)為微元，由PdE的方P處的電場(chǎng)強(qiáng)度EdE i

00

(r2x2)3

(r2x2)3證2：如圖所示，取無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線(xiàn)為微元，各微元在點(diǎn)P激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度dE在Oxy平面內(nèi)且對(duì)x軸對(duì)y軸和z軸方向上的分量之Ey、Ez均為零，則點(diǎn)P的EExidEcos xdy20y E

r0。試計(jì)算在分子的對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)上，距分子較遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。7.7分析：p0er0而夾角為2p2er0cosO到場(chǎng)點(diǎn)A的距離x>>r0，利用中電偶極子在延長(zhǎng)線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度1p10 x01：水分子的電偶極矩p2p0cos2er0E 2

4er0cos

1er0x03 x03

33EE00E00

cos

2ecos rx由于r2x2r22xrrx cosxr0rE

2e xr0

14(x2r22xrcos)3 x20 測(cè)量分子的電場(chǎng)時(shí)，總有x>>r0，因 2rcos3 32rcos式中(x2r2

cos)32x31 x31 ，將上式化簡(jiǎn)并略去

E1r0e3 37.8：r0，均勻帶有等量異號(hào)電荷，電荷線(xiàn)密度為（1）求兩導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（x求每一（1）=乘以單位長(zhǎng)度導(dǎo)線(xiàn)所帶電的量，即：FEE是除去自身電荷（1）

EEE-

xrx0 i20x(r02FF2r02FF2r0FF（1）（2）（1）pp可求得正、負(fù)等效電荷中心的間距，并由對(duì)稱(chēng)性求得正、負(fù)電荷中心。（1）dqQdsQ dp2Rcosdqj2QRcosdp2dp4QR lpQ根據(jù)對(duì)稱(chēng)性正、負(fù)電荷中心在y軸上，所以其坐標(biāo)分別為02R和0,2R x12RsinRdθRy12RsinRdθR yO2R7.10：ER的半球面的對(duì)稱(chēng)軸平行，試計(jì)算通過(guò)此半球S7.101：S求積分，即ΦSEdSS EdS1 q S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量在數(shù)值上等于穿出半S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。因而SSΦEdSSS

EEE(cosesinesinerrdSR2sinddrSΦEdSS

ER2sin2dsin R2SSΦEdSSS

EΦER2cosR2題7.11：邊長(zhǎng)為a的立方體如圖所示，其表面分別平行于xy、yz和zx平面，立方體的一個(gè)題7.11解：參見(jiàn)圖。由題意EOxy面平行，所以對(duì)任何與Oxy面平行的立方體表面。電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零。即ΦOABCΦDEFG0。而ΦA(chǔ)BGFEdS[(E1kx)iE2j][dSE2aCDEOABGF的外法線(xiàn)方向相反，ΦCDEOΦA(chǔ)BGFE2a同理ΦA(chǔ)OEFEdS[E1iE2j]dSi)E1aΦBCDGEdS[(E1ka)iE2j](dSi)(E1ka)aΦΦka120Vm，方向指向地面。試求地球表面單位面積所帶的電荷（以每平方厘米的7.11分析：考慮到地球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度指向地球球心，在大氣層中取與地球同心的球面為面，利用定理可求得面內(nèi)的凈電荷。解：在大氣層地球表面處取與地球表面同心的球面為面其半徑RRE（RE為地平均半徑。由定EdSE4R2

1S 0

4R2

E1.06109CE0E0n

(e)6.63105

0rRrRk為一常量。試用定理求電場(chǎng)強(qiáng)度E與r的函數(shù)關(guān)系（你能用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求解（1）EdSE4rS根據(jù)定律EdS1dV 帶電球殼，球殼帶電荷為dq4r2drdE0dE

dVr0 2r0rE(r)0rRE(r)0R

0rrEdS1dV得球體內(nèi)(0r E(r)4r21rkr4r2drkr0 r r球體外E(r)4r21Rkr4r2drkR0 44 20dqdV由上述分析，球體內(nèi)(0rr kr 00E(r)0 r er400球體外R kr 00E(r)000

r er4r2xP的電場(chǎng)強(qiáng)度。7.14分析：利用定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的對(duì)稱(chēng)性電場(chǎng)本題的電場(chǎng)分布雖然帶電平板和一個(gè)帶相反電荷（電荷面密度）的圓盤(pán)。這樣中心軸線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度等E0 0enE2

1

xxx2r2x2rE

e。x2x2rnx=0E=1r2nE1r2n

nnr處的電場(chǎng)強(qiáng)度。7.15分析：無(wú)限長(zhǎng)圓柱體的電荷具有軸對(duì)稱(chēng)分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為軸對(duì)稱(chēng)分布，且沿徑矢EdSER2，處于

qr2 定理EdSq0可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，解：取同軸柱面為面，由上述分析得

1r2L

00

r2E R0 R0題7.16：一個(gè)內(nèi)外半徑分別R1為R2和的均勻帶電球殼，總電荷為Q1，球殼外同心罩一個(gè)半徑為R3Q2。求電場(chǎng)分布。電場(chǎng)強(qiáng)度是否是場(chǎng)點(diǎn)與球心的r的連續(xù)函數(shù)？試分析。題7.16分析：以球心O為原點(diǎn)，球心至場(chǎng)點(diǎn)的距離r為半徑，作同心球面為面。由于電荷呈球?qū)ΨQ(chēng)分布電場(chǎng)強(qiáng)度也為球?qū)ΨQ(chēng)分布面上電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑矢方向且大小相等因而EdSE4r2，在確定 面內(nèi)的電荷q后，利用定理EdSqE4r2qr<R1， 面內(nèi)無(wú)電荷，q0，E1= 1 Q(r 1 R<r<R q ，R3 Q(r3R3E 4(R3R3)r R2<r<R3，面內(nèi)電荷為Q1，r0E r0 r>R3，面內(nèi)電荷為Q1+Q2，r0EQ1r0 4r=R3的帶E

如球殼的厚度變小，E的變化就變陡，最后當(dāng)厚度趨于零時(shí)，E的變化成為一躍變。7.17：R1R2(R2>R1)，單位（1）rR1（2）R1R2（3）r7.17分析：電荷分布在無(wú)限長(zhǎng)同軸圓拄面上，電場(chǎng)強(qiáng)度也必定電場(chǎng)強(qiáng)度通量不為零，且EdSE2rL，求出不同半 內(nèi)的電荷q。利用 解：作同軸圓柱面為面。根據(jù)定理E4rLqrR1r

qE1qE2

r

qE3EL Q1Q2Q3Q1、Q3Q2O移到無(wú)窮遠(yuǎn)外力作功WW的負(fù)值，即WWW0Q2EWQ2(V0V)V0Q1、Q3O產(chǎn)生的電勢(shì)（取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)。1：Q1所受的合力為零d00 d001 14(2d解得

1Q1 4 由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加，Q1、Q3y軸上任E

0(d2y2)30？， 1 0Q2WEdl04Q2

dy 8 2：1相同，在任一點(diǎn)電荷所受合力均為零時(shí)O

1QQ1、4V0

Q2O 2QV 2080Err （1）rr1rr2（2）在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，我們?cè)處的電勢(shì)為零，求均勻帶電長(zhǎng)直線(xiàn)附近的電勢(shì)時(shí)，能否這樣?。吭囌f(shuō)明，7.19 U12

E

（2）E

rr荷分布在無(wú)限空間。r0（2）（1）環(huán)軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電勢(shì)，根據(jù)電勢(shì)疊加原理，將這些不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線(xiàn)上一點(diǎn)（2）由軸上電勢(shì)分布的結(jié)果可知，在圓環(huán)中心處（x0）V有極大值，當(dāng)質(zhì)子從Ek0。根據(jù)能量守恒定律，可求出電子所需初速度的最小值。（1）dqdSdV

0(x2r2)10

0(x2r2)10R2r2R2r21R2r2R2r212202

r2)1

（2）根據(jù)能量守恒定律，為使質(zhì)子在圓環(huán)中心處的動(dòng)能Ek0，開(kāi)始時(shí)質(zhì)子的初速率1mv2e(VV) e(Re(RR 0ee(RR 0（1）（2） 理可求得各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，再由VP

EdlV V 1（l）E1 rE2

2r2r

R1rREQ1Q2

rr0 2 r0由電勢(shì)V

Edl可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布。當(dāng)rR1R1rR2V2

EdlR2rR2

E3Q1 1 Q1

0

2

0Q1 rR2V3

E3Q1Q2 R

11Q1E2dl 11Q140

R22（l）V1

R1rR2V 0 40

0若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之外，即rR2VQ1Q2

0

V2r

分析無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒電荷分布呈軸對(duì)稱(chēng)其電場(chǎng)和電勢(shì)的分布也呈軸對(duì)稱(chēng)選取 VEdS1V0

bVaVbaE2b=0解：取高度為l、半徑為r且與帶電律同軸的回柱面為面，由定0rR時(shí)E2rlr2l0E(r)

0rRE2rlR2l0E(r)

rR時(shí)，V(r)Rrdr

(R2r2r2 R rR時(shí)，V(r)

dr 20 Vrm（1）EU12

REdllnR 解得2E

lnR22.110811210742r7.24V0C0C的水，則可融化多少冰？（L=3.34105mEqU8.98104 90A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,R/2)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(R/2,0)UAB7.25分析：Oxy平面上各點(diǎn)產(chǎn)生UABUABA點(diǎn)電