高中數(shù)學(xué)-離散型隨機變量的分布列

PAGE離散型隨機變量的分布列第17頁共17頁離散型隨機變量的分布列一.基本理論(一)基本概念隨機變量如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機變量來表示,隨機變量常用希臘字母等表示.離散型隨機變量:如果對于隨機變量可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.例如,射擊命中環(huán)數(shù)是一個離散型隨機變量.連續(xù)型隨機變量如果隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機變量叫連續(xù)型隨機變量.（二）離散型隨機變量的分布列1.設(shè)離散型隨機變量可能取的值為,取每一個值的概率,則稱下表……P……為隨機變量的概率分布,簡稱為的分布列.分布列的表達式可以是如下的幾種(A)表格形式;(B)一組等式(C)壓縮為一個帶的形式.2.由概率的性質(zhì)知,任一離散型隨機變量的分布列具有下列二個性質(zhì):(A)(B)3.求分布列三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機變量分布列；(3)由互斥事件、獨立事件的概率求出離散型隨機變量分布列．4..離散型隨機變量的期望與方差一般地,若離散型隨機變量的概率分布列為……P……則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù).或均值.為的均方差.簡稱方差.叫標準差.性質(zhì):(1)(2)(3)（三）幾種常見的隨機變量的分布X10Ppq1.兩點分布如果隨機變量X的分布列為其中0<p<1，q＝1－p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布．2.二項分布在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量.若在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,則在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是得到隨機變量的概率分布如下01……P……稱隨機變量服從二項分布,記作~B(n,p),并記=b(k;n,p)超幾何分布一般地,在含有M件次品中的N件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有X件次品數(shù),則事件發(fā)生的概率為其中稱分布列01…P…人數(shù)記為，求得數(shù)學(xué)期望．【答案】本題是在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，考查了用樣本估計總體等統(tǒng)計知識以及離散型隨機變量的分布列及期望，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，難度中等?！窘馕觥款}型2由古典概型求離散型隨機變量的分布列題3.（2012年韶關(guān)二模）有一個3×4×5的長方體,它的六個面上均涂上顏色.現(xiàn)將這個長方體鋸成60個1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機地任取1個，設(shè)小正方體涂上顏色的面數(shù)為.（１）求的概率；（２）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（１）60個1×1×1的小正方體中，沒有涂上顏色的有6個，…（3分）（２）由（1）可知；；；…（7分）分布列0123p…（10分）E=0×+1×+2×+3×=…（12分）題4.【2012高考真題浙江理19】已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球的2分，取出一個黑球的1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．【答案】本題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識點。(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．；；；．故，所求X的分布列為X3456P(Ⅱ)所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：E(X)＝．題型3.由獨立事件同時發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列題5.【2012高考真題重慶理17】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（Ⅰ）求甲獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】題6.【2012高考真題全國卷理19】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.（Ⅰ）求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；（Ⅱ）表示開始第4次發(fā)球時乙的得分，求的期望.【答案】題型4.兩點分布題7.某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計可獲收益的期望是________．解析設(shè)該公司一年后估計可獲得的錢數(shù)為X元，則隨機變量X的取值分別為50000×12%＝6000(元)，－50000×50%＝－25000(元)．由已知條件隨機變量X的概率分布列是X6000－25000Peq\f(24,25)eq\f(1,25)因此E(X)＝6000×eq\f(24,25)＋(－25000)×eq\f(1,25)＝4760答案4760題型4.二項分布題8.（廣東省惠州市2010屆高三第三次調(diào)研理科）在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。（1）求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（3）記為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望。解：（1）記“蜜蜂落入第一實驗區(qū)”為事件,“蜜蜂落入第二實驗區(qū)”為事件.…1分依題意，……………3分∴∴蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率為?！?分（2）記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)”為事件，則………………5分∴恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率.…8分（3）因為蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，所以變量滿足二項分布，即～………10分∴隨機變量X的數(shù)學(xué)期望=40×=5………12分題9.（2012年茂名二模）在我市“城鄉(xiāng)清潔工程”建設(shè)活動中，社會各界掀起凈化美化環(huán)境的熱潮.某單位計劃在小區(qū)內(nèi)種植四棵風(fēng)景樹，受本地地理環(huán)境的影響，兩棵樹的成活的概率均為，另外兩棵樹為進口樹種，其成活概率都為，設(shè)表示最終成活的樹的數(shù)量.（1）若出現(xiàn)有且只有一顆成活的概率與都成活的概率相等，求的值；（2）求的分布列（用表示）；（3）若出現(xiàn)恰好兩棵樹成活的的概率最大，試求的取值范圍.解：（1）由題意，得，∴.………2分（2）的所有可能取值為0,1,2,3,4.……3分………………4分…………5分…………6分…………7分…………8分得的分布列為：…………9分01234（3）由，顯然,……………10分∴…11分……12分由上述不等式解得的取值范圍是.……13分題型5.超幾何分布題10.某校組織一次冬令營活動，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動的需要，要從這8名同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).（1）求X的概率分布；（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.解（1）X的可能取值為0，1，2，3.根據(jù)公式P（X=m）=算出其相應(yīng)的概率，即X的概率分布為X0123P（2）去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P（X=1）+P（X=2）=+=.題型6.離散型隨機變量的均值和方差題11.(2011·北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示．(1)如果X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數(shù))解(1)當(dāng)X＝8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：eq\x\to(x)＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)；方差為：s2＝eq\f(1,4)×[(8－eq\f(35,4))2＋(8－eq\f(35,4))2＋(9－eq\f(35,4))2＋(10－eq\f(35,4))2]＝eq\f(11,16).(2)當(dāng)X＝9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4×4＝16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y＝17)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).同理可得P(Y＝18)＝eq\f(1,4)；P(Y＝19)＝eq\f(1,4)；P(Y＝20)＝eq\f(1,4)；P(Y＝21)＝eq\f(1,8).所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×eq\f(1,8)＋18×eq\f(1,4)＋19×eq\f(1,4)＋20×eq\f(1,4)＋21×eq\f(1,8)＝19.題12.(2011·福建)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B.已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準．(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望．(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．注：(1)產(chǎn)品的“性價比”＝eq\f(產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望,產(chǎn)品的零售價)；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．[審題視點](1)利用分布列的性質(zhì)P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值．(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判斷．解(1)因為E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＋7b＝3.2，,a＋b＝0.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.2.))(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性．理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為eq\f(6,6)＝1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為eq\f(4.8,4)＝1.2.據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性．《離散型隨機變量的分布列》作業(yè)1.一袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6的6個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出的最大號碼.（1）求X的概率分布；（2）求X＞4的概率.解（1）X的可能取值為3，4，5，6，從而有：P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==.故X的概率分布為X3456P（2）P（X＞4）=P（X=5）+P（X=6）==.2.(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.[審題視點]分別求出隨機變量X取每一個值的概率，然后求其期望．解析由已知條件P(X＝0)＝eq\f(1,12)即(1－P)2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)，解得P＝eq\f(1,2)，隨機變量X的取值分別為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝2×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,6).因此隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案eq\f(5,3)3.（廣東省江門市2010屆高三數(shù)學(xué)理科3月質(zhì)量檢測試題）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率，（I）記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；（=2\*ROMANII）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．4.某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布.解依題意隨機變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）=（k=0，1，2，3，4）. 4分∴P（X=0）==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, 9分∴X的概率分布為X01234P 14分5.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為eq\f(1,7).現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止．每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．[審題視點]對變量的取值要做到不重不漏，計算概率要準確．解(1)設(shè)袋中白球共有x個，根據(jù)已知條件eq\f(C\o\al(2,x),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．(2)X表示取球終止時所需要的次數(shù)，則X的取值分別為：1,2，3,4,5.因此，P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(1,3),A\o\al(1,7))＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(1,4)A\o\al(1,3),A\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，X12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(2,4)A\o\al(1,3),A\o\al(3,7))＝eq\f(6,35)，P(X＝4)＝eq\f(A\o\al(3,4)A\o\al(1,3),A\o\al(4,7))＝eq\f(3,35)，P(X＝5)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(1,3),A\o\al(5,7))＝eq\f(1,35).則隨機變量X的分布列為：(3)甲取到白球的概率為P＝eq\f(A\o\al(1,3),A\o\al(1,7))＋eq\f(A\o\al(2,4)A\o\al(1,3),A\o\al(3,7))＋eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(1,3),A\o\al(5,7))＝eq\f(3,7)＋eq\f(6,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(22,35).6.(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元．令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望．解(1)X的所有可能取值為：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝eq\f(C\o\al(i,4)C\o\al(4－i,4),C\o\al(4,8))(i＝0,1,2,3,4)，則X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)(2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100，2800,3500，則P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝eq\f(1,70)，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝eq\f(8,35)，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝eq\f(53,70)，E