浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊第4章相似三角形

第4章相似三角形4.1比例線段四條線段a、b、c、d

中，如果a：b=c：d，那么這四條線段a、b、c、d

叫做成比例的線段，簡稱比例線段.比例線段已知四條線段a、b、c、d

，如果acbd

或a：b=c：d，那么a、b、c、d

叫做組成比例的項，線段a、d

叫做比例外項，線段b、c

叫做比例內(nèi)項，線段d

叫做a、b、c的第四比例項.=如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段

，abbc

=或a：b=b：c，即那么線段b叫做線段a和c的比例中項.兩條線段的比是它們的長度的比，也就是兩個數(shù)的比.關(guān)于成比例的數(shù)具有下面的性質(zhì).比例式是等式，因而具有等式的各個性質(zhì)，此外還有一些特殊性質(zhì)：(1)比例的基本性質(zhì)如果a：b=c：d，那么ad=bc.比例的內(nèi)項乘積等于外項乘積.如果ad=bc，那么a：b=c：d

.如果a：b=b：c，那么b2=ac.說明：(1)一個等積式可以改寫成八個比例式(比值各不相同)；(2)對調(diào)比例式的內(nèi)項或外項，比例式仍然成立(比值變了).(2)合比性質(zhì)如果acbd

=

，那么a±bc±dbd

=.(3)等比性質(zhì)如果

那么acbd

=mn

=…=

(b+d+…+n≠0),a+c+…+mb+d+…+n

=.ab本課小結(jié)：主要內(nèi)容：比例線段的意義，比例的3個主要性質(zhì)及其應(yīng)用.能力要求：通過本課的學(xué)習(xí)，形成比例變形的能力，要做一定量的習(xí)題，達(dá)到熟練.第4章相似三角形4.2由平行線截得的比例線段情境引入你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？4.2由平行線截得的比例線段將向下平移到如圖的位置，直線m,n與的交點分別為，，問題2中的結(jié)論還成立嗎？計算試一試。如果將平移到其他位置呢？abcABCDEF兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。34x7已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段長度如圖所示，你能求出x的值嗎?解：由已知條件可得：如圖4-8，直線a∥b∥c

，分別交直線m,n于

A1，A2，A3，B1，B2，B3

。過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3。如圖4-9有哪些成比例線段？推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例。ABCDE∵DE∥AB例1、如圖，在△ABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且EF∥BC,

（1）如果AE=7,FC=4，那么AF的長是多少？（2）如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的長是多少？ABCEF通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)會了什么？你是如何獲取這些知識的？１．通過歸納與猜想，探索“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”的基本事實．２．通過作平行線構(gòu)造三角形，將平行線分線段成比例的基本事實特殊化，得到一個推論．３．掌握利用基本事實與推論求線段長度的方法．如何不通過測量，運(yùn)用所學(xué)知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3?ABCEDF第4章相似三角形4.3相似三角形經(jīng)過相似變換后得到的像與原像稱為相似圖形.那么，將一個三角形作相似變換后所得到的像與原像稱為相似三角形.

如圖,

在方格紙內(nèi)先任意畫一個△ABC,

然后畫△ABC經(jīng)某一相似變換

(如放大或縮小若干倍)

后得到△A′B′C′

(點A′,B′,C′分別對應(yīng)點A,B,C,頂點在格點上).問題討論1:△A′B′C′與△ABC對應(yīng)角之間有什么關(guān)系?問題討論2:△A′B′C′與△ABC對應(yīng)邊之間有什么關(guān)系?CABB′A′C′CABB′A′C′

對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形,叫做相似三角形.相似用符號“∽”來表示,讀做“相似于”如△A′B′C′與△ABC相似,記作“△A′B′C′∽△ABC”

在寫兩個三角形相似時應(yīng)把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.

CABB′A′C′

對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形,叫做相似三角形.如△A′B′C′與△ABC相似,記作“△A′B′C′∽△ABC”∵∠A′=∠A,∠B′=∠B,∠C′=∠C,AB

A′B′BC

B′C′AC

A′C′==∴△A′B′C′∽△ABC用符號語言表示：CABB′A′C′

相似三角形的對應(yīng)角相等,

對應(yīng)邊成比例.

相似三角形對應(yīng)邊的比,

叫做兩個相似三角形的相似比(或相似系數(shù))(similituderatio).△ABC與△A′B′C′的相似比為2注意:兩個三角形的前后順序.如圖，

,所以△A′B′C′與△ABC的相似比為AEDCBABCDE如圖，△ADE與△ABC相似,根據(jù)圖形分別說出兩個三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角？（1）ABDEC（2）（3）１、兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？２、兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？

兩個等腰直角三角形呢？BCDEFA300450

相似.

因為對應(yīng)角相等,

對應(yīng)邊成比例.

兩個直角三角形不一定相似.

因為對應(yīng)角不一定相等,

對應(yīng)邊也不一定成比例;

兩個等腰直角三角形相似

.

因為對應(yīng)角相等,

對應(yīng)邊成比例.３、兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么？

兩個等邊三角形呢？BCDEFA兩個等腰三角形不一定相似;兩個等邊三角形相似.例1：已知:如圖,

D,

E分別是AB,

AC邊的中點.

求證:

△ADE∽△ABC.EDCBA證明：∵D，E分別是AB，AC的中點，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C在△ADE和△ABC中，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A===∴DE∥BC，DE=BC.∴△ADE∽△ABC（相似三角形的定義）ABCDEF思考題：圖中有幾個三角形相似？已知：D、E、F分別是三角形三邊的中點.相似三角形的傳遞性：如果△ABC∽△A1B1C1，

而△A1B1C1

∽△A2B2C2

那么△ABC∽△A2B2C2.如果△ABC∽△A1B1C1而△A1B1C1

∽△A2B2C2那么△ABC與△A2B2C2是否相似？為什么？例2、已知:

如圖,

D、E分別是△ABC的AB,

AC邊上的點,

△ABC∽△ADE.已知

AD:DB=1:2,

BC=9cm,

求DE的長.EDCBA溫馨提醒:

AD:DB的比是△ADE與△ABC的相似比嗎?DE=91、已知△ABC與△DEF相似,△ABC的三邊為2,3,4,△DEF的最大邊為8,

求其余兩邊.2、已知△ABC與△DEF相似,△ABC的三邊為2,3,4,△DEF的一邊為8,

求其余兩邊.4,

64,6或12,16或16/3,32/3在方格紙中,每個小格的頂點稱為格點,以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形,如圖所示,在10×10的方格中,已知△OAB.xy4-1-143213012A-4-3-2-4-3-2B5-51.作一個格點三角形與△OAB全等.2.作一個格點三角形與△OAB相似.3.作一個格點三角形與△OAB相似且與△OAB

共邊AB.●1、在下面的兩組圖形中,各有兩個相似三角形,試確定x,y,m,n的值.

你準(zhǔn)備如何去做?x=32,

y=20/3,

m=80°

,

n=55°.x203348223045°85°m°n°50°45°3a2ay10(1)(2)ABCDEABCDEF2、如圖，△ABC∽△ACD,點D在AB上,

已知

AC=3cm,AD=2cm,

(1)

求AB的長.

(2)

若BC=5cm,則CD=?

AB=4.5CD=3、已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=BC,CD⊥AB于D

求證:△ACD∽△ABC.改:若在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D且∠A=300則△ACD∽△ABC?△ACD與△CBD呢?

三個角對應(yīng)相等,

三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形,叫做相似三角形(similartrianglec).

△ABC與△DEF相似,

就記作:△ABC∽△DEF.

注意：要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上！

性質(zhì)：相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.

如果△ABC∽△DEF,

那么∠A=∠D,∠B=∠E,

∠C=∠F.第4章相似三角形4.4兩個三角形相似的判定相似三角形的相關(guān)概念三個角對應(yīng)相等,三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形,叫做相似三角形(similartrianglec)相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.相似比等于1的兩個三角形全等.注意：要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.反之,寫在對應(yīng)位置上的字母就是對應(yīng)角的頂點！由于相似三角形與其位置無關(guān),因此,能否弄清對應(yīng)是正確解答的前提和關(guān)鍵.判定三角形相似的方法判定兩個三角形相似的方法:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.類比三角形全等的判定方法:邊角邊(SAS);角邊角(ASA);角角邊(AAS);邊邊邊(SSS);斜邊直角邊(HL).你還能得出判定三角形相似的其它方法嗎?相似與全等類比—新化舊由角邊角(ASA)、角角邊(AAS)可知,有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;由邊邊邊(SSS)可知:有三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似;由邊角邊(SAS)可猜想:兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似;由斜邊直角邊(HL)可猜想:斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.我們已經(jīng)把前兩個猜想變?yōu)楝F(xiàn)實,剩余的還有問題嗎？問題三:如果△ABC與△A′B′C′有一個角相等,且兩邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(1)如果這個角是這兩邊的夾角,那么它們一定相似嗎?我們一起來動手:畫△ABC與△A′B′C′使∠A=∠A′,設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠C與∠C′的大小.△ABC與△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?判定三角形相似的方法兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.如圖,在△ABC與△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.)CBAA′B′C′這又是一個用來判定兩個三角形相似的方法,但使用頻率不是很高,務(wù)必引起重視.且∠A=∠A′,圖中的△ABC∽△A′B′C′,你還能用其它方法來說明其正確性嗎?且∠A=∠A′=450,∴△ABC∽△A′B′C′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.)CBAA′B′C′解法2:如圖,設(shè)小正方形的邊長為1,由勾股定理可得:問題四:在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角邊和斜邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?我們一起來動手:畫△ABC與△A′B′C′,使設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠A與∠A′的大小.Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.如圖,在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′,(斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.)CBAA′B′C′這是一個用來判定兩個直角三角形相似的方法,務(wù)必引起重視.我們重新來看問題三:如果△ABC與△DEF有一個角相等,且兩邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(2).如果這個角是這兩邊中一條邊的對角,那么它們一定相似嗎?小明和小穎分別畫出了下面的△ABC與△DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?兩邊對應(yīng)成比例,且其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定相似。判定三角形相似的常用方法:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似.斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)角平分線的比,對應(yīng)中線的比,對應(yīng)周長的比都等于相似比.如圖，在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D,∠B=∠E,那么△ABC∽△DEF.ABCDEF那么△ABC∽△DEF.且∠A=∠D，那么△ABC∽△DEF.兩角分別相等的兩個三角形相似。兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似三邊成比例的兩個三角形相似在上一節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，本節(jié)課我們將對它們進(jìn)行證明。定義判定相似三角形判定定理的證明定理兩角分別相等的兩個三角形相似ABCA/B/C/已知：如圖，在△ABC和△A/B/C/中，∠A=∠A/,∠B=∠B/.求證：△ABC∽△A/B/C/.證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A/B/,過點D作BC的平行線，交AC于點E（如圖），則∠ADE=∠B,∠AED=∠C（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例）過點D作AC的平行線，交BC于點F,則（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例）∵DE∥BC,DF∥AC∴四邊形DFCE是平行四邊形∴DE=CF而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∵∠A=∠A/,∠ADE=∠B=∠B/,AD=A/B/∴△ADE≌△A/B/C/∴△ABC∽△A/B/C/定理兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似已知：如圖，在△ABC和△A/B/C/中，∠A=∠A/,求證：△ABC∽△A/B/C/.證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A/B/,過點D作BC的平行線，交AC于點E（如圖），則∠B=∠ADE,∠C=∠AED∴△ABC∽△ADE（兩角分別相等的兩個三角形相似）∴AE=A/C/而∠A=∠A/∴△ADE≌△A/B/C/∴△ABC∽△A/B/C/定理三邊成比例的兩個三角形相似已知：如圖，在△ABC和△A/B/C/中，求證：△ABC∽△A/B/C/.證明：在△ABC的邊AB,AC（或它們的延長線）上分別截取AD=A/B/,AE=A/C/,連接DE.而∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）∴DE=B/C/∴△ADE≌△A/B/C/∴△ABC∽△A/B/C/BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于F，你能從中找出幾對相似三角形？

BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于F，你能從中找出幾對相似三角形？

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲和體會？你還有什么困惑？

?本課

小

結(jié)第4章相似三角形4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用相似三角形的識別問：相似三角形的識別方法有哪些？證二組對應(yīng)角相等證三組對應(yīng)邊成比例證二組對應(yīng)邊成比例，且夾角相等相似三角形的特征問：你知道相似三角形的特征是什么嗎？角：對應(yīng)角相等邊：對應(yīng)邊成比例問：什么是相似比？相似比=對應(yīng)邊的比值=

如右圖，△ABC∽△A′B′C′ABCA’B’C’DD’已知：ΔABC∽ΔA’B’C,’相似比為k,它們對應(yīng)高的比是多少？對應(yīng)角平分線的比是多少？對應(yīng)中線的比呢？請證明你的結(jié)論。相似三角形對應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系呢？

相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比A′B′C′D′則:(1)利用方格把三角形擴(kuò)大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′邊上的高A′D′?！鰽BC與△A′B′C′的相似比為多少？AD與A′D′有什么關(guān)系？右圖△ABC，AD為BC邊上的高。DABC相似三角形對應(yīng)角的角平分線有什么關(guān)系呢？相似三角形對應(yīng)角的角平分線之比等于相似比如右圖△ABC，AF為∠A的角平分線。則:(1)把三角形擴(kuò)大2倍后得△A′B′C′，A′F′為∠A′的角平分線，△ABC與△A′B′C′的相似比為多少？AF與A′F′比是多少？ABCFA′B′C′F′相似三角形對應(yīng)邊上的中線比等于相似比相似三角形對應(yīng)邊上的中線有什么關(guān)系呢？如右圖△ABC，AE為BC邊上的中線。則:(1)把三角形擴(kuò)大2倍后得△A′B′C′，A′E′為B′C′邊上的中線?！鰽BC與△A′B′C′的相似比為多少？AE與A′E′比是多少？ABCEA′B′C′E′填空：

（1）兩個三角形的對應(yīng)邊的比為3:4，則這兩個三角形的對應(yīng)角平分線的比為_____

，對應(yīng)邊上的高的比為____，對應(yīng)邊上的中線的比為____(2)相似三角形對應(yīng)角平分線比為0.2,則相似比為_________,對應(yīng)中線的比等于______;相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.你會應(yīng)用嗎？△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它們的對應(yīng)中線，已知，B′D′=4cm，求BD的長.解：∵

△ABC∽△A′B′C′，

BD和B′D′是它們的對應(yīng)中線

∴（相似三角形對應(yīng)中線的比都等于相似比）∴BD=6∴相似三角形的周長比等于相似比。相似三角形的面積比等于相似比的平方。想一想：你發(fā)現(xiàn)上面兩個相似三角形的周長比與相似比有什么關(guān)系？面積比與相似比又有什么關(guān)系？周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方√102√21√5√2ABCA’C’B’小結(jié)

相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例對應(yīng)高之比、對應(yīng)中線之比、對應(yīng)角平分線之比都等于相似比周長之比等于相似比面積之比等于相似比的平方（你學(xué)到了什么呢？）課題：同學(xué)們,怎樣利用相似三角形的有關(guān)知識測量旗桿(或路燈,或樹,或煙囪)的高度?活動方式：全班同學(xué)分成六人小組,選出組長,分頭進(jìn)行戶外實際測量,被測物不一定是旗桿.如樓房,樹,電線桿等.先集中討論方案,再分散實際操作,最后集中總結(jié)交流.利用相似三角形測高ABCDEF方法1:利用陽光下的影子

ACBEF方法2:利用標(biāo)桿ECBDA方法3:利用鏡子如圖,A、B兩點分別位于一個池塘的兩端,小芳想用繩子測量A、B兩點之間的距離,但繩子的長度不夠,一位同學(xué)幫她想了一個主意,先在地上取一個可以直接到達(dá)A、B點的點C,找到AC、BC的中點D、E,并且DE的長為5m,則A、B兩點的距離是多少？CBAED一盜竊犯于夜深人靜之時潛入某單位作案，該單位的自動攝像系統(tǒng)攝下了他作案的全過程.請你為警方設(shè)計一個方案，估計該盜竊犯的大致身高.用較簡單的方法測量河坡電場煙囪的高度.課外完成,寫出實踐報告.第4章相似三角形4.6相似多邊形我們在生活中，常會看到這樣一些的圖片觀察下列各組圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能得出什么結(jié)論？(1)(2)(3)(5)(4)(6)§4.6相似多邊形下列每組圖形形狀相同嗎？（1）正三角形ABC與正三角形（2）正方形ABCD與正方形

（3）正五邊形ABCDE與正五邊形

（1）在每組圖形中，是否有對應(yīng)相等的內(nèi)角？設(shè)法驗證你的猜測．（2）在每組圖形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？想一想：圖中的兩個多邊形分別是計算機(jī)顯示屏上的多邊形ABCDEF和投射到銀幕上的多邊形A1B1C1D1E1F1，它們的形狀相同嗎?（1）在這兩個多邊形中，是否有對應(yīng)相等內(nèi)角？設(shè)法驗證你的猜測．（2）在這兩個多邊形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？

想一想：強(qiáng)調(diào)說明：在上圖中，六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1是形狀相同的多邊形，其中∠A與∠A1，∠B與∠B1，∠C與∠C1，∠D與∠D1，∠E與∠E1，∠F與∠F1，分別相等，稱為對應(yīng)角；AB與A1B1，BC與B1C1，CD與C1D1，DE與D1E1，EF與E1F1，F(xiàn)A與F1A1的比都相等，稱為對應(yīng)邊．歸納總結(jié)，形成概念相似多邊形的概念：各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形（Similarpolygons）.例如，在上圖中六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1相似，記作六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1F1，“∽”讀作“相似于”．相似比的概念：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（Similarityratio）.強(qiáng)調(diào)說明：(1)在記兩個多邊形相似時，要把對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的位置上.

(2)相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定方法，也是最本質(zhì)、最重要的性質(zhì).(3)相似比有順序性.例如，五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1，對應(yīng)邊的比為因此五邊形ABCDE與五邊形A1B1C1D1E1的相似比五邊形

A1B1C1D1E1與五邊形ABCDE的相似比

(4)相似比為1的兩個圖形是全等形.因此全等形是相似圖形特殊情況.

(1)觀察下面兩組圖形，圖（1）中的兩個圖形相似嗎？圖（2）中的兩個圖形呢？為什么？你從中得到什么啟發(fā)？與同桌交流.(2)如果兩個多邊形不相似，那么它們的各角可能對應(yīng)相等嗎？它們的各邊可能對應(yīng)成比例嗎？提出問題：一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板如圖所示，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框7.5cm.邊框的內(nèi)外邊緣所成的矩形相似嗎？為什么？解:∵四邊形ABCD與矩形A1B1C1D1均為矩形∴∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，由題意得AB=315，BC=165∴∴≠ ∴矩形ABCD和矩形A1